Věta o univerzálním koeficientu - Universal coefficient theorem

v algebraická topologie, věty o univerzálních koeficientech navázat vztahy mezi skupinami homologie (nebo skupinami homologie) s různými koeficienty. Například pro každého topologický prostor X, své integrální homologické skupiny:

H_i(X; Z)

zcela určit jeho homologické skupiny s koeficienty v A, pro všechny abelianská skupina A:

H_i(X; A)

Tady H_i může být zjednodušená homologie, nebo obecněji singulární homologie: samotný výsledek je čistým kouskem homologická algebra o řetězové komplexy z bezplatné abelianské skupiny. Forma výsledku je ta druhá koeficienty A lze použít za cenu použití a Tor funktor.

Například je běžné brát A být Z/2Z, takže koeficienty jsou modulo 2. To se stává přímým při absenci 2kroucení v homologii. Výsledek obecně naznačuje vztah, který existuje mezi Betti čísla b_i z X a čísla Betti b_i,F s koeficienty v a pole F. Ty se mohou lišit, ale pouze když charakteristický z F je prvočíslo str pro které jsou nějaké str-torze v homologii.

Prohlášení o případu homologie

Zvažte tenzorový produkt modulů H_i(X; Z) ⊗ A. Věta říká, že existuje krátká přesná sekvence zahrnující Tor funktor

${ displaystyle 0 až H_ {i} (X; mathbf {Z}) další A , { přesahující { mu} { to}} , H_ {i} (X; A) k operatorname {Tor} _ {1} (H_ {i-1} (X; mathbf {Z}), A) na 0.}$

Dále tato posloupnost rozdělí se, i když ne přirozeně. Tady μ je mapa indukovaná bilineární mapou H_i(X; Z) × A → H_i(X; A).

Pokud zazvoní koeficient A je Z/strZ, toto je zvláštní případ Bocksteinova spektrální sekvence.

Věta o univerzálním koeficientu pro kohomologii

Nechat G být modulem nad hlavní ideální doménou R (např., Z nebo pole.)

Je tam také věta o univerzálním koeficientu pro kohomologie zahrnující Ext funktor, který tvrdí, že existuje přirozená krátká přesná sekvence

${ displaystyle 0 to operatorname {Ext} _ {R} ^ {1} (H_ {i-1} (X; R), G) až H ^ {i} (X; G) , { překročit {h} { to}} , operatorname {Hom} _ {R} (H_ {i} (X; R), G) na 0.}$

Stejně jako v případě homologie se sekvence rozdělí, i když ne přirozeně.

Ve skutečnosti předpokládejme

${ displaystyle H_ {i} (X; G) = ker částečný _ {i} další G / operatorname {im} částečný _ {i + 1} další G}$

a definovat:

${ displaystyle H ^ {*} (X; G) = ker ( operatorname {Hom} ( částečný, G)) / operatorname {im} ( operatorname {Hom} ( částečný, G)).}$

Pak h výše je kanonická mapa:

${ displaystyle h ([f]) ([x]) = f (x).}$

Alternativní úhel pohledu může být založen na reprezentaci cohomologie pomocí Eilenberg – MacLaneův prostor kde je mapa h bere třídu homotopy map z X na K.(G, i) na odpovídající homomorfismus indukovaný v homologii. Prostor Eilenberg – MacLane je tedy a slabé právo adjoint k homologii funktor.^[1]

Příklad: mod 2 cohomologie reálného projektivního prostoru

Nechat X = Pⁿ(R), skutečný projektivní prostor. Vypočítáme singulární kohomologii X s koeficienty v R = Z/2Z.

S vědomím, že celočíselná homologie je dána vztahem:

${ displaystyle H_ {i} (X; mathbf {Z}) = { begin {cases} mathbf {Z} & i = 0 { text {or}} i = n { text {odd,}} mathbf {Z} / 2 mathbf {Z} & 0$

My máme Ext (R, R) = R, Ext (Z, R) = 0, takže výše uvedené přesné sekvence poskytnou

${ displaystyle forall i = 0, ldots, n: qquad H ^ {i} (X; R) = R.}$

Ve skutečnosti celkem cohomologický prsten struktura je

${ displaystyle H ^ {*} (X; R) = R [w] / left langle w ^ {n + 1} right rangle.}$

Dodatky

Zvláštním případem věty je výpočet integrální kohomologie. Pro konečný komplex CW X, H_i(X; Z) je definitivně generován, a tak máme následující rozklad.

${ displaystyle H_ {i} (X; mathbf {Z}) cong mathbf {Z} ^ { beta _ {i} (X)} oplus T_ {i},}$

kde β_i(X) jsou Betti čísla z X a ${ displaystyle T_ {i}}$ je torzní částí ${ displaystyle H_ {i}}$. Jeden to může zkontrolovat

${ displaystyle operatorname {Hom} (H_ {i} (X), mathbf {Z}) cong operatorname {Hom} ( mathbf {Z} ^ { beta _ {i} (X)}, mathbf {Z}) oplus operatorname {Hom} (T_ {i}, mathbf {Z}) cong mathbf {Z} ^ { beta _ {i} (X)},}$

a

${ displaystyle operatorname {Ext} (H_ {i} (X), mathbf {Z}) cong operatorname {Ext} ( mathbf {Z} ^ { beta _ {i} (X)}, mathbf {Z}) oplus operatorname {Ext} (T_ {i}, mathbf {Z}) cong T_ {i}.}$

Toto dává následující prohlášení pro integrální kohomologii:

${ displaystyle H ^ {i} (X; mathbf {Z}) cong mathbf {Z} ^ { beta _ {i} (X)} oplus T_ {i-1}.}$

Pro X an orientovatelný, Zavřeno, a připojeno n-potrubí, tento důsledek spolu s Poincaré dualita dává to β_i(X) = β_n−i(X).

Poznámky

Reference

• Allen Hatcher, Algebraická topologie, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN  0-521-79540-0. Moderní, geometricky ochucený úvod do algebraické topologie. Kniha je k dispozici zdarma ve formátech PDF a PostScript na webu domovská stránka autora.
• Kainen, P. C. (1971). "Slabé adjunktové funktory". Mathematische Zeitschrift. 122: 1–9. doi:10.1007 / bf01113560. S2CID  122894881.

externí odkazy

• Věta o univerzálním koeficientu s prstencovými koeficienty