Topologický prsten - Topological ring
v matematika, a topologický prsten je prsten R to je také a topologický prostor takové, že sčítání i násobení jsou kontinuální jako mapy
- R × R → R,
kde R × R nese topologie produktu. To znamená R je přísada topologická skupina a multiplikativní topologická poloskupina.
Obecné komentáře
The skupina jednotek R× z R je topologická skupina když obdařen topologie pocházející z vkládání z R× do produktu R × R tak jako (X,X−1). Pokud je však skupina jednotek obdařena topologie podprostoru jako podprostor R, nemusí to být topologická skupina, protože inverze zapnuta R× nemusí být spojité s ohledem na topologii podprostoru. Příkladem této situace je Adele prsten a globální pole; jeho skupina jednotek, nazývaná ideální skupina, není topologická skupina v topologii podprostoru. Pokud je inverze zapnutá R× je spojitá v subprostorové topologii R pak tyto dvě topologie na R× jsou stejní.
Pokud jeden nevyžaduje prsten, aby měl jednotku, musí přidat požadavek kontinuity inverzní přísady nebo ekvivalentně definovat topologický kruh jako kruh, který je topologická skupina (pro +), ve kterém je také násobení spojité.
Příklady
Topologické prsteny se vyskytují v matematická analýza, například jako prstence spojitých skutečných hodnot funkce na nějakém topologickém prostoru (kde je topologie dána bodovou konvergencí) nebo jako prstence spojitého lineární operátory na některých normovaný vektorový prostor; Všechno Banachovy algebry jsou topologické kruhy. The Racionální, nemovitý, komplex a str-adic čísla jsou také topologické kruhy (i topologická pole, viz níže) s jejich standardními topologiemi. V letadle, rozdělená komplexní čísla a duální čísla tvoří alternativní topologické kruhy. Vidět hyperkomplexní čísla pro další nízkodimenzionální příklady.
v algebra, společná je následující konstrukce: jeden začíná a komutativní prsten R obsahující ideál Já, a poté vezme v úvahu Já-adická topologie na R: a podmnožina U z R je otevřeno kdyby a jen kdyby pro každého X v U existuje přirozené číslo n takhle X + Ján ⊆ U. To se otočí R do topologického kruhu. The Já-adická topologie je Hausdorff jen a jen pokud průsečík všech pravomocí Já je nulový ideál (0).
The str-adická topologie na celá čísla je příkladem Já-adická topologie (s Já = (str)).
Dokončení
Každý topologický kruh je a topologická skupina (s ohledem na přidání), a tedy a jednotný prostor přirozeným způsobem. Lze se tedy zeptat, zda daný topologický kruh R je kompletní. Pokud tomu tak není, pak to může být dokončeno: lze najít v podstatě jedinečný kompletní topologický kruh S který obsahuje R jako hustý podřízený tak, aby daná topologie byla zapnuta R rovná se topologie podprostoru vyplývající z SPokud je startovací kruh R je metrický, prsten S lze zkonstruovat jako soubor tříd ekvivalence Cauchyovy sekvence v R, tento vztah ekvivalence dělá prsten S Hausdorff a pomocí konstantních sekvencí (které jsou Cauchy) si člověk uvědomí (jednotně) spojitý morfismus (CM v pokračování) C : R → S takové, že pro všechny CM F : R → T kde T je Hausdorff a úplný, existuje jedinečný CM G : S → T takhle . Li R není metrický (jako například kruh všech reálných proměnných racionálních hodnotových funkcí, tj. všech funkcí F : R → Q obdařen topologií bodové konvergence) používá standardní konstrukce minimální Cauchyovy filtry a splňuje stejnou univerzální vlastnost jako výše (viz Bourbaki, Obecná topologie, III.6.5).
Prsteny z formální mocenské řady a str-adická celá čísla jsou přirozeně definovány jako dokončení určitých topologických prstenů nesoucích Já-adické topologie.
Topologická pole
Některé z nejdůležitějších příkladů jsou také pole F. Mít topologické pole měli bychom to také specifikovat inverze je spojitý, pokud je omezen na F {0}. Viz článek o místní pole pro některé příklady.
Reference
- L. V. Kuzmin (2001) [1994], "Topologický prsten", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- D. B. Shakhmatov (2001) [1994], "Topologické pole", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Seth Warner: Topologické prsteny. Severní Holandsko, červenec 1993, ISBN 0-444-89446-2
- Vladimir I. Arnautov, Sergej T. Glavatsky a Aleksandr V. Michalev: Úvod do teorie topologických prstenů a modulů. Marcel Dekker Inc, únor 1996, ISBN 0-8247-9323-4.
- N. Bourbaki, Éléments de Mathématique. Topologie Générale. Hermann, Paříž 1971, kap. III §6