Kruh čísel - Ring of integers

v matematika, kruh celých čísel z algebraické číslo pole $K.$ je prsten ze všech integrální prvky obsaženo v $K.$ . Integrálním prvkem je a kořen A monický polynom s celé číslo koeficienty, $X n + C n -1 X n -1 + \dots + C 0$ . Tento prsten je často označován $Ó K.$ nebo ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ . Protože jakýkoli celé číslo patří $K.$ a je nedílnou součástí $K.$ , prsten $Z$ je vždy podřízený z $Ó K.$ .

Prsten $Z$ je nejjednodušší možný kruh celých čísel.^[1] A to, $Z = O. Q$ kde $Q$ je pole z racionální čísla.^[2] A opravdu, v algebraická teorie čísel prvky $Z$ se proto často nazývají „racionální celá čísla“.

Kroužek celých čísel algebraického číselného pole je jedinečným maximem objednat v oboru.

Vlastnosti

Kruh celých čísel $Ó K.$ je konečně vygenerovaný $Z$ -modul. Ve skutečnosti je to volný, uvolnit $Z$ -modul, a tedy má integrální základ, to je a základ $b 1, \dots , b n \in O K.$ z $Q$ -vektorový prostor $K.$ tak, že každý prvek $X$ v $Ó K.$ lze jednoznačně reprezentovat jako

{ displaystyle x = sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i},}

s $A i \in Z$ .^[3] Hodnost $n$ z $Ó K.$ jako zdarma $Z$ -module se rovná stupeň z $K.$ přes $Q$ .

Kruhy celých čísel v číselných polích jsou Dedekindovy domény.^[4]

Příklady

Výpočtový nástroj

Užitečný nástroj pro výpočet integrálního uzavření kruhu celých čísel v algebraickém poli ${ displaystyle K / mathbb {Q}}$ používá diskriminační. Li ${ displaystyle K}$ je stupně ${ displaystyle n}$ přes ${ displaystyle mathbb {Q}}$ , a ${ displaystyle alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n} in { mathcal {O}} _ {K}}$ tvoří základ ${ displaystyle K}$ přes ${ displaystyle mathbb {Q}}$ , nastavit ${ displaystyle d = Delta _ {K / mathbb {Q}} ( alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n})}$ . Pak, ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ je submodul z ${ displaystyle mathbb {Z}}$ modul překlenut ${ displaystyle alpha _ {1} / d, ldots, alpha _ {n} / d}$ ^[5] ^{str. 33}. Ve skutečnosti, pokud ${ displaystyle d}$ je bez čtverců, pak tvoří nedílnou základnu pro ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ ^[5] ^{str. 35}.

Cyklomtomické nástavce

Li $str$ je primární, ζ je a $str$ th kořen jednoty a $K. = Q (ζ)$ je odpovídající cyklotomické pole, pak integrální základ $Ó K. = Z [ζ]$ darováno $(1, ζ, ζ 2,\dots, Ζ str -2)$ .^[6]

Kvadratická rozšíření

Li ${ displaystyle d}$ je celé číslo bez čtverců a ${ displaystyle K = mathbb {Q} ({ sqrt {d}})}$ je odpovídající kvadratické pole, pak ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ je prsten z kvadratická celá čísla a jeho integrální základ je dán $(1, (1 + \sqrt d)/2)$ -li $d \equiv 1 (mod 4)$ a tím $(1, \sqrt d)$ -li $d \equiv 2, 3 (mod 4)$ .^[7] To lze zjistit výpočtem minimální polynom libovolného prvku ${ displaystyle a + b { sqrt {d}} in mathbb {Q} ({ sqrt {d}})}$ kde ${ displaystyle a, b in mathbb {Z}}$ .

Multiplikativní struktura

V kruhu celých čísel má každý prvek faktorizaci neredukovatelné prvky, ale prsten nemusí mít vlastnost jedinečná faktorizace: například v kruhu celých čísel ℤ [√-5], prvek 6 má dvě v podstatě odlišné faktorizace na neredukovatelné:^[4]^[8]

{ displaystyle 6 = 2 cdot 3 = (1 + { sqrt {-5}}) (1 - { sqrt {-5}}) .}

Kruh celých čísel je vždy a Dedekind doména, a tak má jedinečnou faktorizaci ideálů do hlavní ideály.^[9]

The Jednotky kruhu celých čísel Ó_K. je konečně generovaná abelianská skupina podle Dirichletova věta o jednotce. The torzní podskupina se skládá z kořeny jednoty z K.. Sada torzních generátorů se nazývá sada základní jednotky.^[10]

Zobecnění

Jeden definuje kruh celých čísel a non-archimedean místní pole $F$ jako soubor všech prvků $F$ s absolutní hodnotou $\leq 1$ ; toto je prsten kvůli silné nerovnoměrnosti trojúhelníku.^[11] Li $F$ je dokončení algebraického číselného pole, jeho kruh celých čísel je dokončení druhého prstence celých čísel. Kruh celých čísel algebraického číselného pole lze charakterizovat jako prvky, které jsou celými čísly v každém nearchimédském dokončení.^[2]

Například $str$ -adická celá čísla $Z str$ jsou kruh celých čísel $str$ -adická čísla $Q str$ .

Viz také

Minimální polynom (teorie pole)
Integrální uzavření - dává techniku pro výpočet integrálních uzávěrů

Reference

Cassels, J.W.S. (1986). Místní pole. Studentské texty London Mathematical Society. 3. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraická teorie čísel. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 322. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. PAN 1697859. Zbl 0956.11021.
Samuel, Pierre (1972). Algebraická teorie čísel. Hermann / Kershaw.

Poznámky

^ Kruh celých čísel, bez zadání pole, odkazuje na prsten $Z$ „obyčejných“ celých čísel, prototypový objekt pro všechny tyto prsteny. Je to důsledek dvojznačnosti slova „celé číslo "v abstraktní algebře.
^ ^A ^b Cassels (1986) str.192
^ Cassels (1986) str.193
^ ^A ^b Samuel (1972), s. 49
^ ^A ^b Pekař. „Algebraická teorie čísel“ (PDF). str. 33–35.
^ Samuel (1972), s. 43
^ Samuel (1972), s. 35
^ Artin, Michael (2011). Algebra. Prentice Hall. str. 360. ISBN 978-0-13-241377-0.
^ Samuel (1972) str.50
^ Samuel (1972), str. 59-62
^ Cassels (1986), str. 41

[1] Kruh celých čísel, bez zadání pole, odkazuje na prsten $Z$ „obyčejných“ celých čísel, prototypový objekt pro všechny tyto prsteny. Je to důsledek dvojznačnosti slova „celé číslo "v abstraktní algebře.

[Cas192-2] A ^b Cassels (1986) str.192

[Cas193-3] Cassels (1986) str.193

[Sam49-4] A ^b Samuel (1972), s. 49

[:0-5] A ^b Pekař. „Algebraická teorie čísel“ (PDF). str. 33–35.

[Sam43-6] Samuel (1972), s. 43

[Sam35-7] Samuel (1972), s. 35

[8] Artin, Michael (2011). Algebra. Prentice Hall. str. 360. ISBN 978-0-13-241377-0.

[Sam50-9] Samuel (1972) str.50

[10] Samuel (1972), str. 59-62

[Cas41-11] Cassels (1986), str. 41

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]