Kohomologický prsten - Cohomology ring

v matematika konkrétně algebraická topologie, cohomologický prsten a topologický prostor X je prsten vytvořený z kohomologie skupiny X společně s pohárový produkt sloužící jako množení prstenů. Zde se „kohomologii“ obvykle rozumí singulární kohomologie, ale prstencová struktura je přítomna i v jiných teoriích jako např de Rhamova kohomologie. Je to také funkční: pro průběžné mapování z prostorů jeden získá a kruhový homomorfismus na cohomologických kruzích, což je v rozporu.

Konkrétně vzhledem k posloupnosti kohomologických skupin H^k(X;R) zapnuto X s koeficienty v a komutativní prsten R (typicky R je Z_n, Z, Q, Rnebo C) lze definovat pohárový produkt, který má podobu

${ displaystyle H ^ {k} (X; R) krát H ^ { ell} (X; R) až H ^ {k + ell} (X; R).}$

Produkt na šálku znásobuje přímý součet skupin kohomologie

${ displaystyle H ^ { bullet} (X; R) = bigoplus _ {k in mathbb {N}} H ^ {k} (X; R).}$

Toto násobení se otočí H^•(X;R) do kruhu. Ve skutečnosti je to přirozeně N-odstupňovaný prsten s nezáporným celým číslem k slouží jako titul. Výrobek ze šálků respektuje toto třídění.

Cohomologický prsten je odstupňované-komutativní v tom smyslu, že pohárový produkt dojíždí až ke znaku určenému klasifikací. Konkrétně pro čisté prvky stupně k a ℓ; my máme

${ displaystyle ( alpha ^ {k} úsměv beta ^ { ell}) = (- 1) ^ {k ell} ( beta ^ { ell} úsměv alfa ^ {k}).}$

Numerický invariant odvozený z kohomologického kruhu je délka šálku, což znamená maximální počet odstupňovaných prvků stupně ≥ 1, které po vynásobení dávají nenulový výsledek. Například a složitý projektivní prostor má délku šálku stejnou komplexní dimenze.

Příklady

• ${ displaystyle operatorname {H} ^ {*} ( mathbb {R} P ^ {n}; mathbb {F} _ {2}) = mathbb {F} _ {2} [ alfa] / ( alpha ^ {n + 1})}$ kde ${ displaystyle | alpha | = 1}$.
• ${ displaystyle operatorname {H} ^ {*} ( mathbb {R} P ^ { infty}; mathbb {F} _ {2}) = mathbb {F} _ {2} [ alfa]}$ kde ${ displaystyle | alpha | = 1}$.
• Podle Künneth vzorec, cohomologický kruh mod 2 kartézského součinu n kopie ${ displaystyle mathbb {R} P ^ { infty}}$ je polynomiální kruh v n proměnné s koeficienty v ${ displaystyle mathbb {F} _ {2}}$.

Viz také

• Kvantová kohomologie

Reference

• Novikov, S. P. (1996). Topologie I, obecný průzkum. Springer-Verlag. ISBN  7-03-016673-6.
• Hatcher, Allen (2002), Algebraická topologie, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  0-521-79540-0.