Každý blok Jordan je tedy specifikován svou dimenzí n a jeho vlastní číslo a je označen jako .Žádný bloková diagonální matice jehož bloky jsou bloky Jordan se nazývá a Jordanova matice; pomocí buď nebo "„“ Symbol bloková diagonální čtvercová matice skládající se z diagonální bloky, kde první je , druhý je , , -tento , lze kompaktně označit jako nebo Například matice
je Jordanova matice s a blokovat s vlastní číslo, dva bloky s vlastní hodnotou imaginární jednotkaa blok s vlastní hodnotou 7. Jeho Jordan-block strukturu lze také zapsat jako kteroukoli nebo .
Žádný čtvercová matice jehož prvky jsou v algebraicky uzavřené pole je podobný na Jordanovu matici , také v , což je jedinečné až do permutace samotných jeho diagonálních bloků. se nazývá Jordan normální forma z a odpovídá zevšeobecnění postupu diagonalizace.[1][2][3] A diagonalizovatelná matice je ve skutečnosti podobný speciálnímu případu Jordanovy matice: matice, jejíž bloky jsou všechny .[4][5][6]
Obecněji řečeno, vzhledem k Jordanově matici , tj. jehož diagonální blok, je blok Jordan a jehož diagonální prvky nemusí být všechny odlišné, geometrická multiplicita z pro matici , označeno jako , odpovídá počtu bloků Jordan, jejichž vlastní hodnota je . Vzhledem k tomu, že index vlastního čísla pro , označeno jako , je definován jako rozměr největšího jordánského bloku přidruženého k tomuto vlastnímu číslu.
Totéž platí pro všechny matice podobný , tak lze podle toho definovat s ohledem na Jordan normální forma z pro některý z jeho vlastních čísel . V tomto případě lze zkontrolovat, zda je index pro se rovná jeho multiplicitě jako a vykořenit z minimální polynom z (vzhledem k tomu, že podle definice algebraická multiplicita pro , , je jeho multiplicita jako kořen charakteristický polynom z , tj. Ekvivalentní nezbytná a dostatečná podmínka pro být diagonalizovatelný v je, že všechny jeho vlastní hodnoty mají index rovný , tj. jeho minimální polynom má pouze jednoduché kořeny.
Všimněte si, že znalost spektra matice se všemi jejími algebraickými / geometrickými multiplicitami a indexy vždy neumožňuje výpočet jejího Jordan normální forma (toto může být dostatečná podmínka pouze pro spektrálně jednoduché, obvykle nízkodimenzionální matice): the Jordanův rozklad je obecně výpočetně náročný úkol vektorový prostor z pohledu je Jordanův rozklad je ekvivalentní k nalezení ortogonálního rozkladu (tj. pomocí přímé částky vlastních prostorů představovaných Jordanovými bloky) domény, ke které je přidružen zobecněné vlastní vektory udělat základ pro.
The Jordan normální forma umožňuje výpočet funkcí matic bez výslovného výpočtu nekonečná řada, což je jeden z hlavních úspěchů Jordanových matic. S využitím faktů, že Napájení () úhlopříčky bloková matice je diagonální bloková matice, jejíž bloky jsou pravomoci příslušných bloků, tj. , a to , stane se výše uvedená maticová výkonová řada
kde poslední řada nemusí být výslovně počítána pomocí výkonových řad každého bloku Jordan. Ve skutečnosti, pokud , jakýkoli holomorfní funkce jordánského bloku je následující svršek trojúhelníková matice:
V důsledku toho je výpočet jakýchkoli funkcí matice přímý, kdykoli je známa její Jordanova normální forma a její matice změny základny. , tj. každé vlastní číslo odpovídá vlastnímu číslu , ale má to obecně jiné algebraická multiplicita, geometrická multiplicita a index. Algebraickou multiplicitu však lze vypočítat takto:
Nyní předpokládejme (komplex) dynamický systém je jednoduše definována rovnicí
kde je (-dimenzionální) parametrizace křivky oběžné dráhy na Riemannův povrch dynamického systému, zatímco je komplexní matice, jejíž prvky jsou komplexní funkce a -dimenzionální parametr .I kdyby (tj. průběžně závisí na parametru ) Jordan normální forma matice se nepřetržitě deformuje téměř všude na ale obecně ne všude: existuje nějaká kritická podmanifold na kterém Jordánská forma náhle změní svou strukturu, kdykoli se parametr protne nebo jednoduše „cestuje“ kolem něj (monodromy ). Takové změny znamenají, že několik bloků Jordan (ať už patří k různým vlastním číslům, nebo ne) se spojí do jedinečného bloku Jordan, nebo naopak (tj. Jeden blok Jordan se rozdělí na dva nebo více různých). teorie bifurkace pro spojité i diskrétní dynamické systémy lze interpretovat analýzou funkčních Jordanových matic.
Z tečný prostor dynamika, to znamená, že ortogonální rozklad dynamického systému fázový prostor změny a například různé oběžné dráhy získávají periodicitu nebo ji ztrácejí nebo přecházejí z určitého druhu periodicity na jiný (například zdvojnásobení období, srov. logistická mapa ).
Ve větě se může kvalitativní chování takového dynamického systému podstatně změnit jako versální deformace jordánské normální formy .
Lineární obyčejné diferenciální rovnice
Nejjednodušší příklad a dynamický systém je systém lineárních, konstantních koeficientů, obyčejných diferenciálních rovnic, tj. let a :
Funkce matice se nazývá resolventní matice z operátor diferenciálu. to je meromorfní s ohledem na komplexní parametr protože její maticové prvky jsou racionální funkce, jejichž jmenovatel je pro všechny stejný . Jeho polární singularity jsou vlastní čísla , jehož pořadí se rovná jejich indexu, tj. .