Funkční pole algebraické odrůdy - Function field of an algebraic variety

v algebraická geometrie, funkční pole z algebraická rozmanitost PROTI sestává z objektů, které jsou interpretovány jako racionální funkce na PROTI. V klasickém algebraická geometrie oni jsou poměry polynomů; v komplexní algebraická geometrie tyto jsou meromorfní funkce a jejich analogy s vyšší dimenzí; v moderní algebraická geometrie jsou to prvky nějakého kvocientu prstenců pole zlomků.

Definice pro komplexní potrubí

Ve složité algebraické geometrii jsou studované objekty složité analytické odrůdy, o kterém máme místní představu komplexní analýza, kterými můžeme definovat meromorfní funkce. Funkční pole odrůdy je pak množinou všech meromorfních funkcí odrůdy. (Stejně jako všechny meromorfní funkce mají i tyto své hodnoty ${ displaystyle mathbb {C} pohár infty}$ .) Spolu s operacemi sčítání a násobení funkcí se jedná o a pole ve smyslu algebry.

Pro Riemannova koule, což je odrůda ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ přes komplexní čísla jsou globální meromorfní funkce přesně ty racionální funkce (tj. poměry komplexních polynomiálních funkcí).

Konstrukce v algebraické geometrii

V klasické algebraické geometrii zobecňujeme druhý úhel pohledu. Pro Riemannovu sféru výše není pojem polynomu definován globálně, ale jednoduše s ohledem na afinní souřadnicový graf, jmenovitě ten, který se skládá ze složité roviny (až na severní pól koule). Na obecné odrůdě PROTI, říkáme, že racionální funkce na otevřené afinní podmnožině U je definován jako poměr dvou polynomů v afinní souřadnicový kruh z U, a že racionální funkce na všech PROTI se skládá z takových místních údajů, jako je shoda na křižovatkách otevřených afinit. Můžeme definovat funkční pole PROTI být pole zlomků afinního souřadnicového kruhu jakékoli otevřené afinní podmnožiny, protože všechny takové podmnožiny jsou husté.

Zobecnění na libovolné schéma

V nejobecnějším prostředí, v moderním teorie schémat vezmeme výše uvedený úhel pohledu jako výchozí bod. Jmenovitě, pokud ${ displaystyle X}$ je integrál systém, pak pro každou otevřenou afinní podmnožinu ${ displaystyle U}$ z ${ displaystyle X}$ kruh sekcí ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (U)}$ na ${ displaystyle U}$ je integrální doménou, a proto má pole zlomků. Dále lze ověřit, že jsou všechny stejné a všechny se rovnají místní prsten z obecný bod z ${ displaystyle X}$ . Funkční pole tedy ${ displaystyle X}$ je jen lokální kruh jeho obecného bodu. Tento úhel pohledu je dále rozvinut v funkční pole (teorie schématu). Vidět Robin Hartshorne (1977 ).

Geometrie funkčního pole

Li PROTI je odrůda definovaná nad polem K., pak funkční pole K.(PROTI) je definitivně generován rozšíření pole pozemního pole K.; své stupeň transcendence se rovná dimenze odrůdy. Všechna rozšíření z K. které jsou definitivně generovány jako pole nad K. vznikají tímto způsobem z nějaké algebraické odrůdy. Tato rozšíření pole jsou také známá jako algebraické funkční pole přes K..

Vlastnosti odrůdy PROTI které jsou závislé pouze na funkčním poli, jsou studovány v birational geometrie.

Příklady

Funkční pole bodu nad K. je K..

Funkční pole afinní linky přes K. je isomorfní s polem K.(t) z racionální funkce v jedné proměnné. Toto je také funkční pole projektivní linie.

Uvažujme křivku afinní roviny definovanou rovnicí ${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {5} +1}$ . Jeho funkčním polem je pole K.(X,y), generované prvky X a y to jsou transcendentální přes K. a uspokojit algebraický vztah ${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {5} +1}$ .

Viz také

Funkční pole (teorie schématu): zobecnění
Algebraické funkční pole
Cartier dělitel

Reference

David M. Goldschmidt (2002). Algebraické funkce a projektivní křivky. Postgraduální texty z matematiky. 215. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95432-5.
Hartshorne, Robine (1977), Algebraická geometrie, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, PAN 0463157, OCLC 13348052, část II.3 Cvičení První vlastnosti schémat 3.6