Nulový prsten - Zero ring

Algebraická struktura → Prstenová teorie Prstenová teorie
Základní pojmy Prsteny • Podřetězce • Ideál • Kvocient prstenu • Zlomkový ideál • Celkový kvocient kvocientu • Produktový prsten • Zdarma produkt asociativních algeber • Tenzorový produkt prstenů Prstencové homomorfismy • Jádro • Vnitřní automorfismus • Frobeniova endomorfismus Algebraické struktury • Modul • Asociativní algebra • Tříděný prsten • Intuutivní prsten • Kategorie prstenů • Počáteční zvonění ${ displaystyle mathbb {Z}}$ • Svorkovnice ${ displaystyle 0 = mathbb {Z} _ {1}}$ Související struktury • Pole • Konečné pole • Neasociativní prsten • Lež prsten • Jordan prsten • Semiring • Semifield
Komutativní algebra Komutativní prsteny • Integrovaná doména • Integrovaná uzavřená doména • Doména GCD • Unikátní faktorizační doména • Hlavní ideální doména • Euklidovská doména • Pole • Konečné pole • Složení prsten • Polynomiální kruh • Formální prsten řady power Algebraická teorie čísel • Algebraické číselné pole • Kruh čísel • Algebraická nezávislost • Teorie transcendentních čísel • Stupeň transcendence p-adic teorie čísel a desetinná místa • Přímý limit /Inverzní limit • Nulový prsten ${ displaystyle mathbb {Z} _ {1}}$ • Celá čísla modulo pn ${ displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}}$ • Prüfer p-prsten ${ displaystyle mathbb {Z} (p ^ { infty})}$ • Základna -p kruhový prsten ${ displaystyle mathbb {T}}$ • Základna -p celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z}}$ • p-adic racionální ${ displaystyle mathbb {Z} [1 / p]}$ • Základna -p reálná čísla ${ displaystyle mathbb {R}}$ • p-adická celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ • p-adická čísla ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ • p-adický solenoid ${ displaystyle mathbb {T} _ {p}}$ Algebraická geometrie • Afinní odrůda
Nekomutativní algebra Nezávazné prsteny • Divizní prsten • Semiprimitivní prsten • Jednoduché zazvonění • Komutátor Nekomutativní algebraická geometrie Zdarma algebra Cliffordova algebra • Geometrická algebra Operátorská algebra

v teorie prstenů, pobočka matematika, nulový kroužek^{[1][2][3][4][5]} nebo triviální prsten je jedinečný prsten (až do izomorfismus ) skládající se z jednoho prvku. (Méně často se termín „nulový kruh“ používá k označení libovolného rng čtvercové nuly, tj. a rng ve kterém xy = 0 pro všechny X a y. Tento článek se týká prstenu s jedním prvkem.)

V kategorie prstenů, nulový kruh je koncový objekt, zatímco kruh celých čísel Z je počáteční objekt.

Definice

Nulový kruh, označený {0} nebo jednoduše 0, se skládá z sada jednoho prvku {0} s operacemi + a · definovanými tak, že 0 + 0 = 0 a 0 · 0 = 0.

Vlastnosti

• Nulový prsten je jedinečný prsten, ve kterém aditivní identita 0 a multiplikativní identita 1 se shoduje.^[6][7] (Důkaz: Pokud 1 = 0 v kruhu R, pak pro všechny r v R, my máme r = 1r = 0r = 0.)
• Rovněž je označen nulový kruh Z₁.^{[Citace je zapotřebí ]}
• Nulový kruh je komutativní.
• Prvek 0 v nulovém kruhu je a jednotka, který slouží jako jeho vlastní multiplikativní inverzní.
• The skupina jednotek nulového kruhu je triviální skupina {0}.
• Prvek 0 v nulovém kruhu není a nulový dělitel.
• Jediný ideál v nulovém kruhu je nulový ideál {0}, který je také jednotkovým ideálem, rovný celému kruhu. Tento ideál není ani jeden maximální ani primární.
• Nulový kruh není a pole; to souhlasí s tím, že jeho nulový ideál není maximální. Ve skutečnosti neexistuje žádné pole s méně než 2 prvky. (Když matematici mluví o „pole s jedním prvkem ", odkazují na neexistující objekt a jejich záměrem je definovat kategorii, která by byla kategorií schémat nad tímto objektem, pokud by existoval.)
• Nulový kruh není integrální doména.^[8] Zda je nulový kruh považován za a doména vůbec je věcí konvence, ale to, že to není doména, má dvě výhody. Nejprve to souhlasí s definicí, že doménou je kruh, ve kterém 0 je jediným nulovým dělitelem (zejména je nutné, aby 0 byl nulovým dělitelem, který v nulovém kruhu selže). Zadruhé, tímto způsobem, pro kladné celé číslo n, prsten Z/nZ (nebo Z_n, který je izomorfní s Z/nZ) je doména právě tehdy n je prvočíslo, ale 1 není prvočíslo.
• Pro každý prsten Aexistuje jedinečný kruhový homomorfismus z A k nulovému kruhu. Nulový kruh je tedy a koncový objekt v kategorie prstenů.^[9]
• Li A je nenulový kruh, potom od nulového kruhu do neexistuje kruhový homomorfismus A. Zejména nulový kruh není a podřízený jakéhokoli nenulového kruhu.^[10]
• Nulový kruh je jedinečný kruh charakteristický 1.
• Jediný modul pro nulový kruh je nulový modul. Je zdarma za hodnocení א pro jakékoli hlavní číslo א.
• Nulový kruh není a místní prsten. Je to však a semilocal prsten.
• Nulový kruh je Artinian a proto) Noetherian.
• The spektrum nulového kruhu je prázdný systém.^[11]
• The Dimenze Krull nulového kruhu je −∞.
• Nulový kruh je polojednoduchý ale ne jednoduchý.
• Nulový kruh není a centrální jednoduchá algebra přes jakékoli pole.
• The celkový kvocient kvocientu nulového kruhu je sám.

Stavby

• Pro jakýkoli prsten A a ideální Já z A, kvocient A/Já je nulový prsten právě tehdy Já = A, tj. pokud a pouze pokud Já je jednotka ideální.
• Pro jakýkoli komutativní kruh A a multiplikativní sada S v A, lokalizace S⁻¹A je nulový prsten právě tehdy S obsahuje 0.
• Li A je jakýkoli prsten, pak prsten M₀(A) 0 × 0 matice přes A je nulový kruh.
• The přímý produkt prázdné kolekce prstenů je nulový prsten.
• The endomorfismus prsten z triviální skupina je nulový kruh.
• Prsten z kontinuální funkce se skutečnou hodnotou prázdné topologický prostor je nulový kruh.

Poznámky

Reference

• Michael Artin, Algebra, Prentice-Hall, 1991.
• Siegfried Bosch, Algebraická geometrie a komutativní algebra, Springer, 2012.
• M. F. Atiyah a I. G. Macdonald, Úvod do komutativní algebry, Addison-Wesley, 1969.
• N. Bourbaki, Algebra I, kapitoly 1-3.
• Robin Hartshorne, Algebraická geometrieSpringer, 1977.
• T. Y. Lam, Cvičení z klasické prstenové teorie, Springer, 2003.
• Serge Lang, Algebra 3. vydání, Springer, 2002.