Monoidní kategorie - Monoidal category

v matematika, a monoidní kategorie (nebo kategorie tenzorů) je kategorie ${ displaystyle mathbf {C}}$ vybaven a bifunktor

{ displaystyle otimes: mathbf {C} krát mathbf {C} až mathbf {C}}

to je asociativní až do A přirozený izomorfismus a objekt Já to je obojí vlevo, odjet a správná identita pro ⊗, opět až do přirozeného izomorfismu. Přidružené přírodní izomorfismy podléhají určitým podmínkám podmínky soudržnosti, které zajišťují dojíždění všech příslušných diagramů.

Obyčejný tenzorový produkt dělá vektorové prostory, abelianské skupiny, R- moduly nebo R-algebry do monoidních kategorií. Monoidní kategorie lze chápat jako zobecnění těchto a dalších příkladů. Každá (malá) kategorie monoidů může být také považována za „kategorizace "podkladu monoidní, jmenovitě monoid, jehož prvky jsou třídy izomorfismu objektů kategorie a jehož binární operace je dána tenzorovým součinem kategorie.

Poměrně odlišnou aplikací, z nichž monoidní kategorie lze považovat za abstrakci, je aplikace systému typy dat uzavřeno pod a konstruktor typu který má dva typy a vytváří agregovaný typ; typy jsou objekty a ${ displaystyle otimes}$ je agregační konstruktor. Asociativita až po izomorfismus je pak způsob, jak vyjádřit, že různé způsoby agregace stejných dat - například ${ displaystyle ((a, b), c)}$ a ${ displaystyle (a, (b, c))}$ —Uložte stejné informace, i když souhrnné hodnoty nemusí být stejné. Objekty identity jsou analogické sčítáním algebraických operací (typový součet) a násobením (typový produkt). U typu produktu - objekt identity je jednotka ${ displaystyle ()}$ , triviálně plně obývá svůj typ, takže je pouze jeden obyvatel tohoto typu, a proto je produkt s ním vždy izomorfní s druhým operandem. Pro typový součet je objekt identity neplatný typ, který neuchovává žádné informace a jeho obyvatele nelze oslovit. Koncept monoidní kategorie nepředpokládá, že lze hodnoty těchto agregovaných typů rozebrat; naopak poskytuje rámec, který sjednocuje klasické a kvantová informace teorie.^[1]

v teorie kategorií, monoidní kategorie mohou být použity k definování pojmu a monoidní objekt a přidružená akce na objekty kategorie. Používají se také při definici obohacená kategorie.

Monoidní kategorie mají řadu aplikací mimo vlastní teorii kategorií. Používají se k definování modelů pro multiplikativní fragment intuitivní lineární logika. Tvoří také matematický základ pro topologické pořadí v kondenzované hmotě. Splétané monoidní kategorie mít aplikace v kvantová informace, kvantová teorie pole, a teorie strun.

Formální definice

A monoidní kategorie je kategorie ${ displaystyle mathbf {C}}$ vybavené monoidní strukturou. Monoidní struktura se skládá z následujících:

A bifunktor ${ displaystyle otimes colon mathbf {C} times mathbf {C} to mathbf {C}}$ volal tenzorový produkt nebo monoidní produkt,
objekt ${ displaystyle I}$ volal jednotkový objekt nebo objekt identity,
tři přirozené izomorfismy podléhá jistým podmínky soudržnosti vyjadřující skutečnost, že tenzorová operace
- je asociativní: existuje přirozená (v každém ze tří argumentů ${ displaystyle A}$ , ${ displaystyle B}$ , ${ displaystyle C}$ ) izomorfismus ${ displaystyle alpha}$ , volala spolupracovník, s komponenty ${ displaystyle alpha _ {A, B, C} dvojtečka A otimes (B otimes C) cong (A otimes B) otimes C}$ ,
- má ${ displaystyle I}$ jako levá a pravá identita: existují dva přirozené izomorfismy ${ displaystyle lambda}$ a ${ displaystyle rho}$ , resp vlevo, odjet a pravý unitor, s komponenty ${ displaystyle lambda _ {A} tlusté střevo krát A cong A}$ a ${ displaystyle rho _ {A} dvojtečka A mnohokrát I cong A}$ .

Všimněte si, že dobrý způsob, jak si pamatovat, jak ${ displaystyle lambda}$ a ${ displaystyle rho}$ akt je aliterací; Lambda, ${ displaystyle lambda}$ zruší identitu na vlevo, odjet, zatímco Rho, ${ displaystyle rho}$ zruší identitu na že jo.

Podmínky koherence pro tyto přirozené transformace jsou:

pro všechny ${ displaystyle A}$ , ${ displaystyle B}$ , ${ displaystyle C}$ a ${ displaystyle D}$ v ${ displaystyle mathbf {C}}$ , pětiúhelník diagram

dojíždí;

pro všechny ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ v ${ displaystyle mathbf {C}}$ , trojúhelníkový diagram

Toto je jeden z diagramů použitých při definici monoidní kategorie. Postará se o případ, kdy existuje instance identity mezi dvěma objekty.

dojíždí.

A přísná monoidní kategorie je ten, pro který jsou přirozené izomorfismy α, λ a ρ jsou identity. Každá kategorie monoidů je monoidně ekvivalent do přísné kategorie monoidů.

Příklady

Libovolná kategorie s konečnými produkty lze považovat za monoidní s produktem jako monoidní produkt a koncový objekt jako jednotka. Takové kategorii se někdy říká a kartézská monoidní kategorie. Například:
- Soubor, kategorie sad s kartézským součinem jakákoli konkrétní sada s jedním prvkem sloužící jako jednotka.
- Kočka, kategorie malých kategorií s kategorie produktů kde kategorie s jedním objektem a pouze jeho mapou identity je jednotka.
Dvojí, každá kategorie s konečnou koprodukty je monoidní s vedlejším produktem jako monoidním produktem a počáteční objekt jako jednotka. Taková monoidní kategorie se nazývá kokartézský monoid
R-Mod, kategorie modulů přes komutativní prsten R, je monoidní kategorie s tenzorový produkt modulů ⊗_R sloužící jako monoidní produkt a prsten R (myšleno jako modul nad sebou) sloužící jako jednotka. Jako zvláštní případy máme:
- K.-Vect, kategorie vektorových prostorů přes pole K., s jednorozměrným vektorovým prostorem K. sloužící jako jednotka.
- Ab, kategorie abelianských skupin, se skupinou celá čísla Z sloužící jako jednotka.
Pro jakýkoli komutativní kruh R, kategorie R-algebry je monoidní s tenzorový produkt algeber jako produkt a R jako jednotka.
The kategorie špičatých prostorů (omezeno na kompaktně generované prostory například) je monoidní s rozbít produkt slouží jako produkt a ukázal 0-koule (dvoubodový diskrétní prostor) sloužící jako jednotka.
Kategorie všech endofunktory na kategorii C je přísný monoidní kategorie se složením funktorů jako produktu a funktoru identity jako jednotky.
Stejně jako v jakékoli kategorii E, celá podkategorie překlenutý jakýmkoli daným objektem je monoid, je tomu tak pro jakýkoli 2-kategorie Ea jakýkoli objekt C v Ob (E), celá 2 podkategorie E překlenuto {C} je monoidní kategorie. V případě E = Kočka, dostaneme endofunktory příklad výše.
Ohraničený výše se setkává s polovičními mřížemi jsou přísní symetrické monoidní kategorie: produkt splňuje a identita je top element.
Jakýkoli obyčejný monoid ${ displaystyle (M, cdot, 1)}$ je malá monoidní kategorie se sadou objektů ${ displaystyle M}$ , pouze identity pro morfismy, ${ displaystyle cdot}$ jako tenzorový produkt a ${ displaystyle 1}$ jako jeho objekt identity. Naopak, skupina tříd izomorfismu (pokud má něco takového smysl) pro monoidní kategorii je monoid w.r.t. tenzorový produkt.

Monoidní předobjednávky

Monoidní předobjednávky, známé také jako „předobjednané monoidy“, jsou zvláštními případy monoidních kategorií. Tento druh struktury přichází v teorii systémy přepisování řetězců, ale také v čisté matematice je spousta. Například sada ${ displaystyle mathbb {N}}$ z přirozená čísla má obojí monoidní struktura (pomocí + a 0) a a struktura předobjednávky (pomocí ≤), které společně tvoří monoidní předobjednávku, v podstatě proto, že ${ displaystyle m leq n}$ a ${ displaystyle m ' leq n'}$ naznačuje ${ displaystyle m + m ' leq n + n'}$ . Nyní uvádíme obecný případ.

Je dobře známo, že a předobjednávka lze považovat za kategorii C, tak, že pro každé dva objekty ${ displaystyle c, c ' in mathrm {Ob} ( mathbf {C})}$ , tady existuje nanejvýš jeden morfismus ${ displaystyle c až c '}$ v C. Pokud dojde k morfismu z C na C' , mohli bychom psát ${ displaystyle c leq c '}$ , ale v aktuální sekci považujeme za pohodlnější vyjádřit tuto skutečnost ve formě šipek ${ displaystyle c až c '}$ . Protože existuje nanejvýš jeden takový morfismus, nikdy mu nemusíme dávat jméno, jako např ${ displaystyle f colon c to c '}$ . The reflexivita a tranzitivita vlastnosti objednávky jsou respektovány morfismem identity a vzorcem složení v C. Píšeme ${ displaystyle c cong c '}$ iff ${ displaystyle c leq c '}$ a ${ displaystyle c ' leq c}$ , tj. pokud jsou izomorfní v C. Všimněte si, že v a částečná objednávka, jakékoli dva izomorfní objekty jsou ve skutečnosti stejné.

Do budoucna předpokládejme, že do předobjednávky chceme přidat monoidní strukturu C. To znamená, že si musíme vybrat

objekt ${ displaystyle I in mathbf {C}}$ , nazvaný monoidní jednotka, a
funktor ${ displaystyle mathbf {C} krát mathbf {C} až mathbf {C}}$ , které označíme jednoduše tečkou " ${ displaystyle ; cdot ;}$ ", volal monoidální množení.

Tedy pro jakékoli dva objekty ${ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$ máme objekt ${ displaystyle c_ {1} cdot c_ {2}}$ . Musíme si vybrat ${ displaystyle I}$ a ${ displaystyle cdot}$ být asociativní a jednotný, až do izomorfismu. To znamená, že musíme mít:

{ displaystyle (c_ {1} cdot c_ {2}) cdot c_ {3} cong c_ {1} cdot (c_ {2} cdot c_ {3})}

a

{ displaystyle I cdot c cong c cong c cdot I}

.

Kromě toho skutečnost, že · musí být funktorem, znamená - v projednávaném případě, kde C je předobjednávka - nic víc než následující:

-li

{ displaystyle c_ {1} až c_ {1} '}

a

{ displaystyle c_ {2} až c_ {2} '}

pak

{ displaystyle (c_ {1} cdot c_ {2}) to (c_ {1} ' cdot c_ {2}')}

.

Další podmínky koherence pro monoidní kategorie jsou v tomto případě prázdné, protože každý diagram dojíždí v předobjednávce.

Všimněte si, že pokud C je částečný řád, výše uvedený popis je ještě více zjednodušen, protože izomorfismy asociativity a jednotnosti se stávají rovnocennými. Další zjednodušení nastane, pokud předpokládáme, že množina objektů je volný monoid na generátorové soustavě ${ displaystyle Sigma}$ . V tomto případě bychom mohli psát ${ displaystyle mathrm {Ob} ( mathbf {C}) = Sigma ^ {*}}$ , kde * označuje Kleene hvězda a monoidní jednotka Já znamená prázdný řetězec. Pokud začneme se sadou R generování morfismů (fakta o ≤) získáme obvyklou představu o semi-Thue systém, kde R se nazývá „pravidlo přepisování“.

Chcete-li se vrátit k našemu příkladu, dovolme N být kategorie, jejíž objekty jsou přirozená čísla 0, 1, 2, ..., s jediným morfismem ${ displaystyle i to j}$ -li ${ Displaystyle i leq j}$ v obvyklém pořadí (a bez morfismů z i na j jinak) a monoidní struktura s monoidní jednotkou danou 0 a monoidálním násobením daným obvyklým sčítáním, ${ displaystyle i cdot j: = i + j}$ . Pak N je monoidní předobjednávka; ve skutečnosti je to ten, který je volně generován jediným objektem 1 a jediným morfismem 0 ≤ 1, kde opět 0 je monoidální jednotka.

Vlastnosti a související pojmy

Ze tří definujících podmínek soudržnosti vyplývá, že velká třída diagramů (tj. diagramů, jejichž morfismy jsou vytvořeny pomocí ${ displaystyle alpha}$ , ${ displaystyle lambda}$ , ${ displaystyle rho}$ , identity a tensor product) dojíždět: to je Mac Lane "věta o koherenci To je někdy nepřesně uvedeno Všechno takové diagramy dojíždějí.

Existuje obecná představa o monoidní objekt v monoidní kategorii, která zobecňuje běžnou představu o monoidní z abstraktní algebra. Obyčejné monoidy jsou přesně monoidní objekty v kartézské monoidní kategorii Soubor. Dále lze jakoukoli přísnou monoidní kategorii považovat za monoidní objekt v kategorii kategorií Kočka (vybaven monoidní strukturou vyvolanou kartézským součinem).

Monoidní funktory jsou funktory mezi monoidními kategoriemi, které zachovávají tenzorový součin a monoidní přirozené transformace jsou přirozené transformace mezi těmi funktory, které jsou „kompatibilní“ s tenzorovým součinem.

Každá kategorie monoidů může být považována za kategorii B(∗, ∗) a dvoukategorie B pouze s jedním objektem, označeným ∗.

Kategorie C obohacený v monoidní kategorii M nahrazuje pojem množiny morfismů mezi dvojicemi objektů v C s představou M-objekt morfismů mezi každým dvěma objekty v C.

Zdarma přísná monoidní kategorie

Pro každou kategorii C, volný, uvolnit přísná monoidní kategorie Σ (C) lze zkonstruovat následovně:

jeho objekty jsou seznamy (konečné posloupnosti) A₁, ..., A_n předmětů C;
mezi dvěma objekty jsou šipky A₁, ..., A_m a B₁, ..., B_n jen když m = na poté jsou šipky seznamy (konečné posloupnosti) šipek F₁: A₁ → B₁, ..., F_n: A_n → B_n z C;
tenzorový součin dvou objektů A₁, ..., A_n a B₁, ..., B_m je zřetězení A₁, ..., A_n, B₁, ..., B_m ze dvou seznamů a podobně tenzorový součin dvou morfismů je dán zřetězením seznamů. Objekt identity je prázdný seznam.

Tato operace category kategorie mapování C do Σ (C) lze rozšířit na přísnou 2-monad na Kočka.

Specializace

Pokud v kategorii monoidů ${ displaystyle A otimes B}$ a ${ displaystyle B krát A}$ jsou přirozeně izomorfní způsobem kompatibilním s koherenčními podmínkami, mluvíme o a pletená monoidní kategorie. Pokud je navíc tento přirozený izomorfismus vlastní inverzní, máme a symetrická monoidní kategorie.
A uzavřená monoidní kategorie je monoidní kategorie, kde funktor ${ displaystyle X mapsto X otimes A}$ má pravý adjoint, kterému se říká „vnitřní Hom-funktor“ ${ displaystyle X mapsto mathrm {Hom} _ { mathbf {C}} (A, X)}$ . Mezi příklady patří kartézské uzavřené kategorie jako Soubor, kategorie souprav a kompaktní uzavřené kategorie jako FdVect, kategorie konečných trojrozměrných vektorových prostorů.
Autonomní kategorie (nebo kompaktní uzavřené kategorie nebo přísné kategorie ) jsou monoidní kategorie, ve kterých existují duály s pěknými vlastnostmi; abstrahují myšlenku FdVect.
Dýka symetrické monoidní kategorie, vybavený extra funktorem dýky, který abstrahuje myšlenku FdHilb, konečně-dimenzionální Hilbertovy prostory. Mezi ně patří dýka kompaktní kategorie.
Tannakian kategorie jsou monoidní kategorie obohacené o pole, které jsou velmi podobné reprezentačním kategoriím lineárních algebraických skupin.

Viz také

Reference

^ Baez, Johne; Zůstaňte, Mike (2011). "Fyzika, topologie, logika a výpočet: Rosetta Stone". V Coecke, Bob (ed.). Nové struktury pro fyziku. Přednášky z fyziky. 813. Springer, Berlín. str. 95–172. arXiv:0903.0340. ISBN 9783642128219. ISSN 0075-8450.

Joyal, André; Ulice, Ross (1993). "Kategorie pletených tenzorů". Pokroky v matematice 102, 20–78.
Joyal, André; Ulice, Ross (1988). "Rovinné diagramy a tenzorová algebra ".
Kelly, G. Max (1964). „O podmínkách MacLane pro koherenci přírodních asociací, komutativit atd.“ Journal of Algebra 1, 397–402
Kelly, G. Max (1982). Základní pojmy teorie obohacené kategorie (PDF). Série přednášek London Mathematical Society č. 64. Cambridge University Press.
Mac Lane, Saunders (1963). "Přirozená asociativita a komutativita". Rice University Studies 49, 28–46.
Mac Lane, Saunders (1998), Kategorie pro Working Mathematician (2. vyd.). New York: Springer-Verlag.
Monoidní kategorie v nLab

[1] Baez, Johne; Zůstaňte, Mike (2011). "Fyzika, topologie, logika a výpočet: Rosetta Stone". V Coecke, Bob (ed.). Nové struktury pro fyziku. Přednášky z fyziky. 813. Springer, Berlín. str. 95–172. arXiv:0903.0340. ISBN 9783642128219. ISSN 0075-8450.

[1]