Tenzorový produkt algeber - Tensor product of algebras

Algebraická struktura → Prstenová teorie Prstenová teorie
Základní pojmy Prsteny • Podřetězce • Ideál • Kvocient prstenu • Zlomkový ideál • Celkový kvocient kvocientu • Produktový prsten • Zdarma produkt asociativních algeber • Tenzorový produkt prstenů Prstencové homomorfismy • Jádro • Vnitřní automorfismus • Frobeniova endomorfismus Algebraické struktury • Modul • Asociativní algebra • Tříděný prsten • Intuutivní prsten • Kategorie prstenů • Počáteční zvonění ${ displaystyle mathbb {Z}}$ • Svorkovnice ${ displaystyle 0 = mathbb {Z} _ {1}}$ Související struktury • Pole • Konečné pole • Neasociativní prsten • Lež prsten • Jordan prsten • Semiring • Semifield
Komutativní algebra Komutativní prsteny • Integrovaná doména • Integrovaná uzavřená doména • Doména GCD • Unikátní faktorizační doména • Hlavní ideální doména • Euklidovská doména • Pole • Konečné pole • Složení prsten • Polynomiální kruh • Formální prsten řady power Algebraická teorie čísel • Algebraické číselné pole • Kruh čísel • Algebraická nezávislost • Teorie transcendentních čísel • Stupeň transcendence p-adic teorie čísel a desetinná místa • Přímý limit /Inverzní limit • Nulový prsten ${ displaystyle mathbb {Z} _ {1}}$ • Celá čísla modulo pn ${ displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}}$ • Prüfer p-prsten ${ displaystyle mathbb {Z} (p ^ { infty})}$ • Základna -p kruhový prsten ${ displaystyle mathbb {T}}$ • Základna -p celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z}}$ • p-adic racionální ${ displaystyle mathbb {Z} [1 / p]}$ • Základna -p reálná čísla ${ displaystyle mathbb {R}}$ • p-adická celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ • p-adická čísla ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ • p-adický solenoid ${ displaystyle mathbb {T} _ {p}}$ Algebraická geometrie • Afinní odrůda
Nekomutativní algebra Nezávazné prsteny • Divizní prsten • Semiprimitivní prsten • Jednoduché zazvonění • Komutátor Nekomutativní algebraická geometrie Zdarma algebra Cliffordova algebra • Geometrická algebra Operátorská algebra

v matematika, tenzorový produkt ze dvou algebry přes komutativní prsten R je také R-algebra. To dává tenzorový produkt algeber. Když je prsten a pole Nejběžnější aplikací těchto produktů je popis produkt reprezentací algebry.

Definice

Nechat R být komutativní prsten a nechat A a B být R-algebry. Od té doby A a B lze oba považovat za R- moduly, jejich tenzorový produkt

${ displaystyle A otimes _ {R} B}$

je také R-modul. Tenzorovému produktu lze dát strukturu prstence definováním produktu na prvcích formuláře A ⊗ b podle^[1][2]

${ displaystyle (a_ {1} otimes b_ {1}) (a_ {2} otimes b_ {2}) = a_ {1} a_ {2} otimes b_ {1} b_ {2}}$

a poté se rozšíří o linearitu na všechny A ⊗_R B. Tento prsten je R-algebra, asociativní a unital s prvkem identity daným 1_A ⊗ 1_B.^[3] kde 1_A a 1_B jsou prvky identity A a B. Li A a B jsou komutativní, pak je tenzorový produkt také komutativní.

Tenzorový produkt otočí kategorie z R-algebry do a symetrická monoidní kategorie.^{[Citace je zapotřebí ]}

Další vlastnosti

Existují přirozené homomorfismy z A a B na A ⊗_R B dána^[4]

${ displaystyle a mapsto a otimes 1_ {B}}$

${ displaystyle b mapsto 1_ {A} mnohokrát b}$

Tyto mapy dělají tenzorový produkt koprodukt v kategorie komutativního R-algebry. Tenzorový produkt je ne koprodukt v kategorii všech R-algebry. Tam je koprodukt dán obecnějším produkt algeber zdarma. Nicméně tenzorový produkt nekomutativních algeber lze popsat a univerzální vlastnictví podobné jako u koproduktu:

${ displaystyle { text {Hom}} (A otimes B, X) cong lbrace (f, g) in { text {Hom}} (A, X) times { text {Hom}} (B, X) mid forall a in A, b in B: [f (a), g (b)] = 0 rbrace,}$

kde [-, -] označuje komutátor.v přirozený izomorfismus je dána identifikací morfismu ${ displaystyle phi: A otimes B až X}$ na levé straně s dvojicí morfismů ${ displaystyle (f, g)}$ na pravé straně, kde ${ displaystyle f (a): = phi (a otimes 1)}$ a podobně ${ displaystyle g (b): = phi (1 otimes b)}$.

Aplikace

Tenzorový produkt komutativních algeber je neustále používán v algebraická geometrie. Pro afinní schémata X, Y, Z s morfismem z X a Z na Y, tak X = Spec (A), Y = Spec (B), a Z = Spec (C) pro některé komutativní kruhy A, B, C, schéma vlákenných výrobků je afinní schéma odpovídající tenzorovému produktu algebry:

${ displaystyle X times _ {Y} Z = operatorname {Spec} (A otimes _ {B} C).}$

Obecněji je vláknový produkt schémat definován slepením afinních vláknitých produktů této formy.

Příklady

• Tenzorový produkt lze použít jako prostředek k odběru křižovatky dvou podsystémů v a systém: zvažte ${ displaystyle mathbb {C} [x, y]}$-algebry ${ displaystyle mathbb {C} [x, y] / f}$, ${ displaystyle mathbb {C} [x, y] / g}$, pak je jejich tenzorový produkt ${ displaystyle mathbb {C} [x, y] / (f) otimes _ { mathbb {C} [x, y]} mathbb {C} [x, y] / (g) cong mathbb {C} [x, y] / (f, g)}$, který popisuje průsečík algebraické křivky F = 0 a G = 0 v afinní rovině C.
• Produkty Tensor lze použít jako prostředek ke změně koeficientů. Například, ${ displaystyle mathbb {Z} [x, y] / (x ^ {3} + 5x ^ {2} + x-1) další _ { mathbb {Z}} mathbb {Z} / 5 cong mathbb {Z} / 5 [x, y] / (x ^ {3} + x-1)}$ a ${ displaystyle mathbb {Z} [x, y] / (f) otimes _ { mathbb {Z}} mathbb {C} cong mathbb {C} [x, y] / (f)}$.
• K odběru lze také použít produkty Tensor produkty afinních schémat nad polem. Například, ${ displaystyle mathbb {C} [x_ {1}, x_ {2}] / (f (x)) otimes _ { mathbb {C}} mathbb {C} [y_ {1}, y_ {2 }] / (g (y))}$ je izomorfní k algebře ${ displaystyle mathbb {C} [x_ {1}, x_ {2}, y_ {1}, y_ {2}] / (f (x), g (y))}$ což odpovídá afinnímu povrchu v ${ displaystyle mathbb {A} _ { mathbb {C}} ^ {4}}$ -li F a G nejsou nula.

Viz také

• Rozšíření skalárů
• Tenzorový produkt modulů
• Tenzorový produkt polí
• Lineárně disjunktní
• Multilineární podprostorové učení

Poznámky

Reference

• Kassel, Christian (1995), Kvantové skupiny„Postgraduální texty z matematiky, 155Springer, ISBN  978-0-387-94370-1CS1 maint: ref = harv (odkaz).
• Lang, Serge (2002) [poprvé publikováno v roce 1993]. Algebra. Postgraduální texty z matematiky. 21. Springer. ISBN  0-387-95385-X.CS1 maint: ref = harv (odkaz)