Artinian prsten - Artinian ring
v abstraktní algebra, an Artinian prsten (někdy Artin prsten) je prsten který uspokojuje sestupný stav řetězu na ideály; to znamená, že neexistuje žádná nekonečná sestupná posloupnost ideálů. Artinian prsteny jsou pojmenovány po Emil Artin, který nejprve objevil, že sestupná řetězová podmínka pro ideály se současně zobecňuje konečné kroužky a prsteny, které jsou konečně trojrozměrné vektorové prostory přes pole. Definici artiniánských prstenů lze přepracovat zaměněním sestupné řetězové podmínky za ekvivalentní pojem: minimální podmínka.
Prsten je odešel Artinian pokud splňuje sestupnou podmínku řetězu na levých ideálech, pravý Artinian pokud splňuje podmínku sestupného řetězu na správných ideálech, a Artinian nebo oboustranný Artinian pokud je to levý i pravý Artinian. Pro komutativní prsteny levá a pravá definice se shodují, ale obecně se od sebe liší.
The Artin – Wedderburnova věta charakterizuje vše jednoduchý Artinian prsteny jako kruh matic přes dělící prsten. To znamená, že jednoduchý prsten je ponechán Artinianovi právě tehdy, je-li pravým Artinianem.
Lze použít stejnou definici a terminologii moduly, s ideály nahrazenými submoduly.
I když se sestupná podmínka řetězce jeví jako duální vzestupný stav řetězu, v prstenech je to ve skutečnosti silnější stav. Konkrétně důsledkem Věta Akizuki – Hopkins – Levitzki je to, že levý (resp. pravý) Artinianův prsten je automaticky levý (resp. pravý) Noetherian ring. To neplatí pro obecné moduly; to je, an Artinian modul nemusí být Noetherian modul.
Příklady
- An integrální doména je Artinian právě tehdy, pokud se jedná o pole.
- Prsten s konečně mnoha, řekněme vlevo, ideály, je ponechán Artinianovi. Zejména a konečný prsten (např., ) je levý a pravý Artinian.
- Nechat k být pole. Pak je Artinian pro každé kladné celé číslo n.
- Podobně, je Artinian prsten s maximálním ideálem
- Li Já je nenulový ideál a Dedekind doména A, pak je ředitel školy Artinian prsten.[1]
- Pro každého , plný maticový kruh přes levý Artinian (resp. levý Noetherian) prsten R je vlevo Artinian (resp. vlevo Noetherian).[2]
Kruh celých čísel je noetherovský prsten, ale není artiniánský.
Moduly přes Artinianovy prsteny
Nechat M být levým modulem nad levým Artinianovým prstenem. Pak jsou následující ekvivalentní (Hopkinsova věta ): (i) M je definitivně generováno, (ii) M má konečná délka (tj. má kompoziční série ), (iii) M je Noetherian, (iv) M je Artinian.[3]
Komutativní Artinian prsteny
Nechat A být komutativním netherianským prstenem s jednotou. Pak jsou ekvivalentní následující.
- A je Artinian.
- A je konečný produkt komutativních Artinianských místních kruhů.[4]
- A / nil (A) je polojednoduchý prsten, kde nula (A) je nilradikální z A.[Citace je zapotřebí ]
- Každý konečně vygenerovaný modul skončil A má konečnou délku. (viz výše)
- A má Dimenze Krull nula.[5] (Zejména nilradikál je Jacobsonovým radikálem, protože hlavní ideály jsou maximální.)
- je konečný a diskrétní.
- je diskrétní.[6]
Nechat k být oborem a A definitivně generováno k-algebra. Pak A je Artinian právě tehdy A je definitivně generován jako k-modul.
Artinianský místní kruh je dokončen. Kvocient a lokalizace Artinianova prstenu je Artinian.
Jednoduchý artinianský prsten
Jednoduchý artinianský prsten A je maticový kruh nad dělícím kruhem. Vskutku,[7] nechat Já být minimálním (nenulovým) správným ideálem A. Pak od té doby je oboustranný ideál, od té doby A je jednoduchý. Můžeme si tedy vybrat aby . Převzít k je minimální s ohledem na tuto vlastnost. Zvažte mapu vpravo A-moduly:
Je to surjektivní. Pokud to není injekční, pak řekněme s nenulovou hodnotou . Potom, minimálností Já, my máme: . Následuje:
- ,
což je v rozporu s minimem k. Proto, a tudíž .
Viz také
Poznámky
- ^ Věta 20.11. z http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf
- ^ Cohn 2003, 5.2 Cvičení 11
- ^ Bourbaki, VIII, s. 7
- ^ Atiyah a Macdonald1969 Věty 8.7
- ^ Atiyah a Macdonald1969 Věty 8.5
- ^ Atiyah a Macdonald1969, Ch. 8, cvičení 2.
- ^ Milnor, John Willard (1971), Úvod do algebraické K-teorie, Annals of Mathematics Studies, 72, Princeton, NJ: Princeton University Press, str. 144, PAN 0349811, Zbl 0237.18005
Reference
- Auslander, Maurice; Reiten, Idun; Smalø, Sverre O. (1995), Teorie reprezentace Artinových algeber, Cambridge studia pokročilé matematiky, 36, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511623608, ISBN 978-0-521-41134-9, PAN 1314422
- Bourbaki, Algèbre
- Charles Hopkins. Prsteny s minimální podmínkou pro levé ideály. Ann. matematiky. (2) 40, (1939). 712–730.
- Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1969), Úvod do komutativní algebry, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
- Cohn, Paul Moritz (2003). Základní algebra: skupiny, kroužky a pole. Springer. ISBN 978-1-85233-587-8.