Objednaný prsten - Ordered ring

The reálná čísla jsou objednaný prsten, který je také objednané pole. The celá čísla, podmnožina reálných čísel, jsou uspořádaný prsten, který není uspořádaným polem.

v abstraktní algebra, an objednaný prsten je (obvykle komutativní ) prsten R s celková objednávka ≤ takové, že pro všechny A, b, a C v R:^[1]

• -li A ≤ b pak A + C ≤ b + C.
• pokud 0 ≤ A a 0 ≤ b pak 0 ≤ ab.

Příklady

Objednané prsteny jsou známé z aritmetický. Mezi příklady patří celá čísla, racionální a reálná čísla.^[2] (Racionály a realita ve skutečnosti tvoří seřazená pole.) komplexní čísla, na rozdíl od toho netvoří uspořádaný kruh nebo pole, protože mezi prvky 1 a není žádný inherentní řádový vztah i.

Pozitivní prvky

Analogicky se skutečnými čísly nazýváme prvek C objednaného prstenu R pozitivní pokud 0 < C, a negativní -li C <0. 0 se nepovažuje za pozitivní ani negativní.

Sada pozitivních prvků uspořádaného prstenu R je často označován R₊. Alternativní notace, oblíbená v některých oborech, je použít R₊ pro soubor nezáporných prvků a R₊₊ pro soubor pozitivních prvků.

Absolutní hodnota

Li ${ displaystyle a}$ je prvek objednaného prstenu R, pak absolutní hodnota z ${ displaystyle a}$, označeno ${ displaystyle | a |}$, je definován takto:

${ displaystyle | a |: = { begin {cases} a, & { mbox {if}} 0 leq a, - a, & { mbox {jinak}}, end {cases}}}$

kde ${ displaystyle -a}$ je aditivní inverzní z ${ displaystyle a}$ a 0 je aditivum prvek identity.

Diskrétní uspořádané prsteny

A diskrétní objednaný prsten nebo diskrétně seřazený prsten je uspořádaný kruh, ve kterém není žádný prvek mezi 0 a 1. Celá čísla jsou diskrétní uspořádaný kruh, ale racionální čísla nejsou.

Základní vlastnosti

Pro všechny A, b a C v R:

• Li A ≤ b a 0 ≤ C, pak ac ≤ před naším letopočtem.^[3] Tato vlastnost se někdy používá k definování uspořádaných kruhů namísto druhé vlastnosti ve výše uvedené definici.
• |ab| = |A| |b|.^[4]
• Objednaný prsten, který není triviální je nekonečný.^[5]
• Platí přesně jedna z následujících možností: A je pozitivní, -A je pozitivní, nebo A = 0.^[6] Tato vlastnost vyplývá ze skutečnosti, že objednané prsteny jsou abelian, lineárně uspořádané skupiny s ohledem na sčítání.
• V uspořádaném prstenci není žádný negativní prvek čtvercem.^[7] Je to proto, že pokud A ≠ 0 a A = b² pak b ≠ 0 a A = (-b)²; jako buď b nebo -b je pozitivní, A musí být nezáporné.

Viz také

• Částečně objednaný prsten

Poznámky

Níže uvedený seznam obsahuje odkazy na věty formálně ověřené IsarMathLib projekt.