Semifield - Semifield
Algebraická struktura → Prstenová teorie Prstenová teorie |
---|
![]() |
Základní pojmy |
Komutativní prsteny
p-adic teorie čísel a desetinná místa
|
v matematika, a polopole je algebraická struktura se dvěma binární operace, sčítání a násobení, které je podobné a pole, ale s některými axiomy uvolněnými.
Přehled
Termín semifield má dva protichůdné významy, oba obsahují pole jako speciální případ.
- v projektivní geometrie a konečná geometrie (MSC 51A, 51E, 12K10), a polopole je neasociativní dělící kruh s multiplikativním prvkem identity.[1] Přesněji řečeno, je to neasociativní kruh jejichž nenulové prvky tvoří a smyčka pod násobením. Jinými slovy, semifield je sada S se dvěma operacemi + (přidání) a · (násobení), takové, že
- (S, +) je abelianská skupina,
- násobení je distribuční vlevo i vpravo,
- existuje multiplikativ prvek identity, a
- divize je vždy možné: pro každého A a každý nenulový b v Sexistují jedinečné X a y v S pro který b·X = A a y·b = A.
- Zvláště si povšimněte, že za množení se nepředpokládá komutativní nebo asociativní. Polooblast, který je asociativní, je dělící prsten, a ten, který je asociativní i komutativní, je a pole. Semifield podle této definice je speciální případ a quasifield. Li S je konečný, poslední axiom ve výše uvedené definici lze nahradit předpokladem, že neexistují žádné nulové dělitele, aby A·b = 0 to znamená A = 0 nebo b = 0.[2] Všimněte si, že kvůli nedostatku asociativity je poslední axiom ne ekvivalentní předpokladu, že každý nenulový prvek má multiplikativní inverzi, jak se obvykle nachází v definicích polí a dělících prstenů.
- v teorie prstenů, kombinatorika, funkční analýza, a teoretická informatika (MSC 16Y60), a polopole je semiring (S, +, ·), Ve kterém mají všechny nenulové prvky multiplikativní inverzi.[3][4] Tyto objekty se také nazývají správné polopole. Varianta této definice nastane, pokud S obsahuje absorbující nulu, která se liší od multiplikativní jednotky E, je požadováno, aby byly nenulové prvky invertovatelné, a A·0 = 0·A = 0. Protože násobení je asociativní, (nenulové) prvky polopole tvoří a skupina. Dvojice (S, +) je pouze a poloskupina, tj. aditivní inverzní nemusí existovat, nebo, hovorově, „neexistuje odčítání“. Někdy se nepředpokládá, že násobení je asociativní.
Primitivita polopole
Semifield D se nazývá pravý (resp. Levý) primitivní, pokud má prvek w takový, že množina nenulových prvků D * se rovná množině všech pravých (resp. Levých) hlavních mocností w.
Příklady
Uvádíme pouze příklady semifieldů ve druhém smyslu, tj. Aditivní pologrupy s distribučním násobením. Navíc je sčítání komutativní a násobení je v našich příkladech asociativní.
- Pozitivní racionální čísla s obvyklým sčítáním a množením tvoří komutativní semifield.
- To může být prodlouženo o absorbující 0.
- Kladná reálná čísla s obvyklým sčítáním a množením tvoří komutativní semifield.
- To lze rozšířit o absorbující 0, tvořící pravděpodobnostní semiring, který je isomorfní s semiring logů.
- Racionální funkce formuláře F /G, kde F a G jsou polynomy v jedné proměnné s kladnými koeficienty tvoří komutativní polopole.
- To lze rozšířit o 0.
- The reálná čísla R lze zobrazit polopole, kde je součet dvou prvků definován jako jejich maximum a součin jako jejich běžný součet; tento polopole je kompaktněji označen (R, max, +). Podobně (R, min, +) je polopole. Tito se nazývají tropický semiring.
- To lze rozšířit o −∞ (absorbující 0); toto je limit (tropizace ) z semiring logů protože základna jde do nekonečna.
- Zobecnění předchozího příkladu, pokud (A, ·, ≤) je a mřížkově uspořádaná skupina pak (A, +, ·) Je aditivní idempotentní semifield se součtem semifield definovaným jako supremum dvou prvků. Naopak jakýkoli aditivně idempotentní polopole (A, +, ·) Definuje mřížkově uspořádanou skupinu (A, ·, ≤), kde A≤b kdyby a jen kdyby A + b = b.
- Boolovský polopole B = {0, 1} s přidáním definovaným logické nebo a násobení definované pomocí logické a.
Viz také
- Rovinný ternární kruh (první smysl)
Reference
- ^ Donald Knuth, Konečné polo pole a projektivní roviny. J. Algebra, 2, 1965, 182-217 PAN0175942.
- ^ Landquist, E.J., „Na kruzích neasociativních divizí a projektivních rovinách“, Copyright 2000.
- ^ Golan, Jonathan S., Semirings a jejich aplikace. Aktualizovaná a rozšířená verze Teorie semiringsů s aplikacemi v matematice a teoretické informatice (Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, PAN1163371. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii + 381 stran ISBN 0-7923-5786-8 PAN1746739.
- ^ Hebisch, Udo; Weinert, Hanns Joachim, Semirings a semifields. Handbook of algebra, Vol. 1, 425-462, North-Holland, Amsterdam, 1996. PAN1421808.