Poissonův prsten - Poisson ring

v matematika, a Poissonův prsten je komutativní prsten na které antikomutativní a distribuční binární operace ${displaystyle [cdot, cdot]}$ uspokojení Jacobi identita a produktové pravidlo je definováno. Taková operace je pak známá jako Poissonova závorka Poissonova prstenu.

Mnoho důležitých operací a výsledků symplektická geometrie a Hamiltoniánská mechanika mohou být formulovány ve smyslu Poissonovy závorky, a proto platí pro Poissonovy algebry také. Toto pozorování je důležité při studiu klasický limit z kvantová mechanika —The nekomutativní algebra z operátory na Hilbertův prostor má Poissonovu algebru funkcí na a symplektické potrubí jako singulární limit a vlastnosti nekomutativní algebry přecházejí na odpovídající vlastnosti Poissonovy algebry.

Definice

Poissonova závorka musí splňovat identity

• ${displaystyle [f, g] = - [g, f]}$ (šikmá symetrie)
• ${displaystyle [f + g, h] = [f, h] + [g, h]}$ (distribučnost)
• ${displaystyle [fg, h] = f [g, h] + [f, h] g}$ (derivace )
• ${displaystyle [f, [g, h]] + [g, [h, f]] + [h, [f, g]] = 0}$ (Jacobi identita )

pro všechny ${displaystyle f, g, h}$ v ringu.

A Poissonova algebra je Poissonův prsten, který je také algebra nad polem. V tomto případě přidejte další požadavek

${displaystyle [sf, g] = s [f, g]}$

pro všechny skaláry s.

Pro každého G v Poissonově kruhu A, operace ${displaystyle ad_ {g}}$ definováno jako ${displaystyle ad_ {g} (f) = [f, g]}$ je derivace. Pokud je sada ${displaystyle {ad_ {g} | gin A}}$ generuje sadu derivací A, pak A se říká, že je nedegenerovaný.

Pokud nedegenerovaný Poissonův prsten je izomorfní jako komutativní kruh do algebra hladkých funkcí na potrubí M, pak M musí být symplektické potrubí a ${displaystyle [cdot, cdot]}$ je Poissonova závorka definovaná symlektická forma.

Reference

• „Pokud je algebra funkcí na potrubí různým Poissonovým prstencem, pak je potrubí symlektické“. PlanetMath.

Tento článek včlení materiál od Poisson Ring na PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.