Zlomkový ideál - Fractional ideal

Algebraická struktura → Prstenová teorie Prstenová teorie
Základní pojmy Prsteny • Podřetězce • Ideál • Kvocient prstenu • Zlomkový ideál • Celkový kvocient kvocientu • Produktový prsten • Zdarma produkt asociativních algeber • Tenzorový produkt prstenů Prstencové homomorfismy • Jádro • Vnitřní automorfismus • Frobeniova endomorfismus Algebraické struktury • Modul • Asociativní algebra • Tříděný prsten • Intuutivní prsten • Kategorie prstenů • Počáteční zvonění ${ displaystyle mathbb {Z}}$ • Svorkovnice ${ displaystyle 0 = mathbb {Z} _ {1}}$ Související struktury • Pole • Konečné pole • Neasociativní prsten • Lež prsten • Jordan prsten • Semiring • Semifield
Komutativní algebra Komutativní prsteny • Integrovaná doména • Integrovaná uzavřená doména • Doména GCD • Unikátní faktorizační doména • Hlavní ideální doména • Euklidovská doména • Pole • Konečné pole • Složení prsten • Polynomiální kruh • Formální prsten řady power Algebraická teorie čísel • Algebraické číselné pole • Kruh čísel • Algebraická nezávislost • Teorie transcendentních čísel • Stupeň transcendence str-adic teorie čísel a desetinná místa • Přímý limit /Inverzní limit • Nulový prsten ${ displaystyle mathbb {Z} _ {1}}$ • Celá čísla modulo strn ${ displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}}$ • Prüfer str-prsten ${ displaystyle mathbb {Z} (p ^ { infty})}$ • Základna -str kruhový prsten ${ displaystyle mathbb {T}}$ • Základna -str celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z}}$ • str-adic racionální ${ displaystyle mathbb {Z} [1 / p]}$ • Základna -str reálná čísla ${ displaystyle mathbb {R}}$ • str-adická celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ • str-adická čísla ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ • str-adický solenoid ${ displaystyle mathbb {T} _ {p}}$ Algebraická geometrie • Afinní odrůda
Nekomutativní algebra Nezávazné prsteny • Divizní prsten • Semiprimitivní prsten • Jednoduché zazvonění • Komutátor Nekomutativní algebraická geometrie Zdarma algebra Cliffordova algebra • Geometrická algebra Operátorská algebra

v matematika, zejména komutativní algebra, pojem zlomkový ideál je představen v kontextu integrální domény a je zvláště plodná při studiu Dedekindovy domény. V jistém smyslu částečné ideály integrální doména jsou jako ideály kde jmenovatelé jsou povoleny. V kontextech, kde jsou zlomkové ideály a obyčejné zvonit ideály jsou oba v diskusi, ty jsou někdy nazývány integrální ideály pro přehlednost.

Definice a základní výsledky

Nechat R být integrální doména a nechte K. být jeho pole zlomků.

A zlomkový ideál z R je R-submodul Já z K. takové, že existuje nenulová r ∈ R takhle rI ⊆ R. Prvek r lze považovat za vyklizení jmenovatelů v Já.

The hlavní dílčí ideály jsou to R-podmoduly z K. generováno jediným nenulovým prvkem K.. Částečný ideál Já je obsažen v R pokud, a pouze v případě, že je to („integrální“) ideál R.

Částečný ideál Já je nazýván invertibilní pokud existuje další zlomkový ideál J takhle

IJ = R

(kde IJ = {a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n : a_i ∈ Já, b_i ∈ J, n ∈ Z_>0 } se nazývá produkt dvou dílčích ideálů).

V tomto případě zlomkový ideál J je jednoznačně určena a rovná se generalizované ideální kvocient

${ displaystyle (R: I) = {x v K: xI subseteq R }.}$

Sada invertibilních zlomkových ideálů tvoří abelianská skupina s ohledem na výše uvedený produkt, kde je totožnost jednotka ideální R sám. Tato skupina se nazývá skupina dílčích ideálů z R. Hlavní zlomkové ideály tvoří podskupinu. (Nenulový) zlomkový ideál je invertibilní tehdy a jen tehdy, je-li projektivní jako R-modul.

Každý definitivně generováno R-modul z K. je zlomkový ideál a pokud R je noetherian to jsou všechny dílčí ideály R.

Dedekindovy domény

v Dedekindovy domény, situace je mnohem jednodušší. Zejména každý nenulový zlomkový ideál je invertibilní. Ve skutečnosti tato vlastnost charakterizuje Dedekindovy domény:

An integrální doména je Dedekind doména pokud, a pouze v případě, že každý nenulový zlomkový ideál je invertibilní.

Sada zlomkových ideálů nad a Dedekind doména ${ displaystyle R}$ je označen ${ displaystyle { text {Div}} (R)}$.

Své kvocientová skupina frakčních ideálů podskupinou hlavních frakčních ideálů je důležitý invariant a Dedekind doména volal ideální třídní skupina.

Číselná pole

Připomeňme, že kruh celých čísel ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ a pole s číslem ${ displaystyle K}$ je Dedekind doména.

Říkáme zlomkový ideál, který je podmnožinou ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ integrální.

Jedna z důležitých vět o struktuře pro zlomkové ideály a pole s číslem uvádí, že každý zlomkový ideál ${ displaystyle I}$ se jednoznačně rozkládá až po objednání jako

${ displaystyle I = ({ mathfrak {p}} _ {1} ldots { mathfrak {p}} _ {n}) ({ mathfrak {q}} _ {1} ldots { mathfrak {q }} _ {m}) ^ {- 1}}$

pro hlavní ideály

${ displaystyle { mathfrak {p}} _ {i}, { mathfrak {q}} _ {j} in { text {Spec}} ({ mathcal {O}} _ {K})}$.

Například,

${ displaystyle { frac {2} {5}} { mathcal {O}} _ { mathbb {Q} (i)}}$ faktory jako ${ displaystyle (1 + i) (1-i) ((1 + 2i) (1-2i)) ^ {- 1}}$

Také proto, že částečné ideály nad a pole s číslem jsou definitivně generovány, můžeme je vyčistit jmenovatelé vynásobením některými ${ displaystyle alpha}$ získat ideál ${ displaystyle J}$. Proto

${ displaystyle I = { frac {1} { alpha}} J}$

Další věta o užitečné struktuře je, že integrální zlomkové ideály jsou generovány až 2 prvky.

Tady je přesná sekvence

${ displaystyle 0 to { mathcal {O}} _ {K} ^ {*} to K ^ {*} to { text {Div}} ({ mathcal {O}} _ {K}) to C_ {K} to 0}$

spojené s každým pole s číslem,

kde

${ displaystyle C_ {K}}$ je ideální třídní skupina z ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$.

Příklady

• ${ displaystyle { frac {5} {4}} mathbb {Z}}$ je zlomkový ideál ${ displaystyle mathbb {Z}}$

• v ${ displaystyle mathbb {Q} _ { zeta _ {3}}}$ máme faktorizaci ${ displaystyle (3) = (2 zeta _ {3} +1) ^ {2}}$.

Je to proto, že když to vynásobíme, dostaneme

${ displaystyle { begin {aligned} (2 zeta _ {3} +1) ^ {2} & = 4 zeta _ {3} ^ {2} +4 zeta _ {3} +1 & = 4 ( zeta _ {3} ^ {2} + zeta _ {3}) + 1 end {zarovnáno}}}$

Od té doby ${ displaystyle zeta _ {3}}$ splňuje ${ displaystyle zeta _ {3} ^ {2} + zeta _ {3} = - 1}$, má naše faktorizace smysl.

• v ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {-23}})}$ můžeme znásobit zlomkové ideály

• ${ displaystyle I = (2, (1/2) { sqrt {-23}} - (1/2))}$ a
• ${ displaystyle J = (4, (1/2) { sqrt {-23}} + (3/2))}$

získat ideál

${ displaystyle IJ = (- (1/2) { sqrt {-23}} - (3/2))}$

Divisorial ideální

Nechat ${ displaystyle { tilde {I}}}$ označují průnik všech hlavních zlomkových ideálů obsahujících nenulový zlomkový ideál Já.

Ekvivalentně

${ displaystyle { tilde {I}} = (R: (R: I)),}$

kde, jak je uvedeno výše

${ displaystyle (R: I) = {x v K: xI subseteq R }.}$

Li ${ displaystyle { tilde {I}} = I}$ pak Já je nazýván dělicí.^[1]

Jinými slovy, dělitelským ideálem je nenulová křižovatka nějaké neprázdné množiny zlomkových hlavních ideálů.

Li Já je dělicí a J je nenulový zlomkový ideál, pak (Já : J) je dělicí.

Nechat R být místní Krull doména (např Noetherian integrálně uzavřeno místní doména).

Pak R je diskrétní oceňovací kruh jen a jen pokud maximální ideál z R je dělicí.^[2]

An integrální doména který uspokojuje vzestupné řetězové podmínky na dělení ideálů se nazývá a Mori doména.^[3]

Viz také

• Dělitelský svazek

Poznámky

Reference

• Stein, William, Výpočetní úvod do teorie algebraických čísel (PDF)
• Kapitola 9 Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1994), Úvod do komutativní algebry, Westview Press, ISBN  978-0-201-40751-8
• Kapitola VII.1 Bourbaki, Nicolasi (1998), Komutativní algebra (2. vyd.), Springer Verlag, ISBN  3-540-64239-0
• Kapitola 11 Matsumura, Hideyuki (1989), Komutativní prstencová teorie, Cambridge studia pokročilé matematiky, 8 (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-36764-6, PAN  1011461