Čtvercová matice - Square matrix - Wikipedia

Čtvercová matice řádu 4. Položky ${ displaystyle a_ {ii}}$ tvoří hlavní úhlopříčka čtvercové matice. Například hlavní úhlopříčka matice 4 x 4 výše obsahuje prvky A₁₁ = 9, A₂₂ = 11, A₃₃ = 4, A₄₄ = 10.

v matematika, a čtvercová matice je matice se stejným počtem řádků a sloupců. An n-podle-n matice je známá jako čtvercová matice řádu ${ displaystyle n}$. Lze přidat a vynásobit libovolné dvě čtvercové matice stejného pořadí.

Čtvercové matice se často používají k reprezentaci jednoduchých lineární transformace, jako stříhání nebo otáčení. Například pokud ${ displaystyle R}$ je čtvercová matice představující rotaci (rotační matice ) a ${ displaystyle v}$ je vektor sloupce popisující pozice bodu ve vesmíru, produkt ${ displaystyle Rv}$ získá další vektor sloupce popisující polohu tohoto bodu po této rotaci. Li ${ displaystyle v}$ je řádek vektor, stejnou transformaci lze získat pomocí ${ displaystyle vR ^ { mathsf {T}}}$, kde ${ displaystyle R ^ { mathsf {T}}}$ je přemístit z ${ displaystyle R}$.

Hlavní úhlopříčka

Položky ${ displaystyle a_ {ii}}$ (i = 1, ..., n) tvoří hlavní úhlopříčka čtvercové matice. Leží na imaginární čáře, která vede z levého horního rohu do pravého dolního rohu matice. Například hlavní úhlopříčka matice 4 x 4 výše obsahuje prvky A₁₁ = 9, A₂₂ = 11, A₃₃ = 4, A₄₄ = 10.

Je volána úhlopříčka čtvercové matice z pravého horního rohu do levého dolního rohu antidiagonální nebo protiběžně.

Speciální druhy

název	Příklad s n = 3
Diagonální matice	${ displaystyle { begin {bmatrix} a_ {11} & 0 & 0 0 & a_ {22} & 0 0 & 0 & a_ {33} end {bmatrix}}}$
Dolní trojúhelníková matice	${ displaystyle { begin {bmatrix} a_ {11} & 0 & 0 a_ {21} & a_ {22} & 0 a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} end {bmatrix}}}$
Horní trojúhelníková matice	${ displaystyle { begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} 0 & a_ {22} & a_ {23} 0 & 0 & a_ {33} end {bmatrix}}}$

Diagonální nebo trojúhelníková matice

Pokud jsou všechny položky mimo hlavní úhlopříčku nulové, ${ displaystyle A}$ se nazývá a diagonální matice. Pokud jsou pouze všechny položky nad (nebo pod) hlavní úhlopříčkou nula, ${ displaystyle A}$se nazývá dolní (nebo horní) trojúhelníková matice.

Matice identity

The matice identity ${ displaystyle I_ {n}}$ velikosti ${ displaystyle n}$ je ${ displaystyle n krát n}$ matice, ve které jsou všechny prvky na hlavní úhlopříčka jsou rovny 1 a všechny ostatní prvky jsou rovny 0, např.

${ displaystyle I_ {1} = { begin {bmatrix} 1 end {bmatrix}}, I_ {2} = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}}, cdots, I_ {n} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & cdots & 0 0 & 1 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & 1 end {bmatrix}}.}$

Je to čtvercová matice řádu ${ displaystyle n}$, a také speciální druh diagonální matice. Říká se tomu matice identity, protože násobení s ní ponechává matici beze změny:

AI_n = Já_mA = A pro všechny m-podle-n matice ${ displaystyle A}$.

Invertibilní matice a její inverze

Čtvercová matice ${ displaystyle A}$ je nazýván invertibilní nebo ne singulární pokud existuje matice ${ displaystyle B}$ takhle

${ displaystyle AB = BA = I_ {n}}$.^[1][2]

Li ${ displaystyle B}$ existuje, je jedinečný a nazývá se inverzní matice z ${ displaystyle A}$, označeno ${ displaystyle A ^ {- 1}}$.

Symetrická nebo zkosená symetrická matice

Čtvercová matice ${ displaystyle A}$ to se rovná jeho transpozici, tj. ${ displaystyle A ^ { mathsf {T}} = A}$, je symetrická matice. Pokud místo ${ displaystyle A ^ { mathsf {T}} = - A}$, pak ${ displaystyle A}$ se nazývá a šikmo symetrická matice.

Pro složitou čtvercovou matici ${ displaystyle A}$, vhodným analogem transpozice je často konjugovat transponovat ${ displaystyle A ^ {*}}$, definovaný jako transpozice komplexní konjugát z ${ displaystyle A}$. Složitá čtvercová matice ${ displaystyle A}$ uspokojující ${ displaystyle A ^ {*} = A}$ se nazývá a Hermitova matice. Pokud místo ${ displaystyle A ^ {*} = - A}$, pak ${ displaystyle A}$ se nazývá a šikmo-hermitovská matice.

Podle spektrální věta, skutečné symetrické (nebo komplexní hermitovské) matice mají ortogonální (nebo jednotnou) vlastní základna; tj. každý vektor je vyjádřitelný jako a lineární kombinace vlastních vektorů. V obou případech jsou všechna vlastní čísla skutečná.^[3]

Určitá matice

Pozitivní určitý	Neurčitý
${ displaystyle { begin {bmatrix} 1/4 & 0 0 & 1 end {bmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {bmatrix} 1/4 & 0 0 & -1 / 4 end {bmatrix}}}$
Q(X,y) = 1/4 X2 + y2	Q(X,y) = 1/4 X2 − 1/4 y2
Body takové, že Q(X,y) = 1 (Elipsa ).	Body takové, že Q(X,y) = 1 (Hyperbola ).

Symetrický n×n-matice je volána pozitivní-definitivní (respektive záporně definitivní; neurčitý), pokud pro všechny nenulové vektory ${ displaystyle x in mathbb {R} ^ {n}}$ přidružené kvadratická forma dána

Q(X) = X^TSekera

bere pouze kladné hodnoty (respektive pouze záporné hodnoty; obě negativní a některé pozitivní hodnoty).^[4] Pokud kvadratická forma nabývá pouze nezáporných (respektive pouze nezáporných) hodnot, nazývá se symetrická matice kladně semidefinitně (respektive negativně semidefinitem); tedy matice je neurčitá přesně, když není ani kladně-semidefinitní, ani záporně-semidefinitní.

Symetrická matice je kladně definitivní právě tehdy, jsou-li všechny její vlastní hodnoty kladné.^[5] Tabulka vpravo ukazuje dvě možnosti pro matice 2 na 2.

Povolení jako vstupu místo toho poskytne dva různé vektory bilineární forma spojené s A:

B_A (X, y) = X^TAy.^[6]

Ortogonální matice

An ortogonální matice je čtvercová matice s nemovitý položky, jejichž sloupce a řádky jsou ortogonální jednotkové vektory (tj., ortonormální vektory). Ekvivalentně matice A je ortogonální, pokud je přemístit se rovná jeho inverzní:

${ displaystyle A ^ { textyf {T}} = A ^ {- 1}, ,}$

což s sebou nese

${ displaystyle A ^ { textyf {T}} A = AA ^ { textyf {T}} = já, ,}$

kde Já je matice identity.

Ortogonální matice A je nutně invertibilní (s inverzní A⁻¹ = A^T), unitární (A⁻¹ = A*), a normální (A*A = AA*). The určující libovolné ortogonální matice je buď +1 nebo -1. The speciální ortogonální skupina ${ displaystyle operatorname {SO} (n)}$ se skládá z n × n ortogonální matice s určující +1.

The komplex analogem ortogonální matice je a unitární matice.

Normální matice

Skutečná nebo složitá čtvercová matice ${ displaystyle A}$ je nazýván normální -li ${ displaystyle A ^ {*} A = AA ^ {*}}$. Pokud je skutečná čtvercová matice symetrická, šikmo symetrická nebo ortogonální, pak je to normální. Pokud je složitá čtvercová matice hermitovská, zkosená-hermitská nebo jednotková, pak je to normální. Normální matice jsou zajímavé hlavně proto, že zahrnují právě uvedené typy matic a tvoří nejširší třídu matic, pro které spektrální věta drží.^[7]

Operace

Stopa

The stopa, tr (A) čtvercové matice A je součet jeho diagonálních záznamů. Zatímco maticové násobení není komutativní, stopa produktu dvou matic je nezávislá na pořadí faktorů:

${ displaystyle operatorname {tr} (AB) = operatorname {tr} (BA)}$

To je bezprostřední z definice násobení matic:

${ displaystyle operatorname {tr} (AB) = sum _ {i = 1} ^ {m} sum _ {j = 1} ^ {n} A_ {ij} B_ {ji} = operatorname {tr} (BA).}$

Stopa matice se také rovná stopě její transpozice, tj.

${ displaystyle operatorname {tr} (A) = operatorname {tr} (A ^ { mathrm {T}})}$.

Rozhodující

Lineární transformace zapnuta ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ dané indikovanou maticí. Determinant této matice je −1, protože plocha zeleného rovnoběžníku vpravo je 1, ale mapa obrátí orientace, protože otočí proti směru hodinových ručiček orientaci vektorů ve směru hodinových ručiček.

The určující ${ displaystyle det (A)}$ nebo ${ displaystyle | A |}$ čtvercové matice ${ displaystyle A}$ je číslo kódující určité vlastnosti matice. Matice je invertibilní kdyby a jen kdyby jeho determinant je nenulový. Své absolutní hodnota rovná se ploše (v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$) nebo objem (v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$) obrazu jednotkového čtverce (nebo krychle), zatímco jeho znaménko odpovídá orientaci odpovídající lineární mapy: determinant je pozitivní právě tehdy, je-li orientace zachována.

Determinant matic 2 x 2 je dán vztahem

${ displaystyle det { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}} = reklama-bc.}$

Determinant matic 3 ku 3 zahrnuje 6 termínů (vláda Sarrus ). Čím zdlouhavější Leibnizův vzorec zobecní tyto dva vzorce na všechny dimenze.^[8]

Determinant součinu čtvercových matic se rovná součinu jejich determinantů:^[9]

${ displaystyle det (AB) = det (A) cdot det (B)}$

Přidání násobku libovolného řádku do jiného řádku nebo násobku libovolného sloupce do jiného sloupce nezmění determinant. Záměna dvou řádků nebo dvou sloupců ovlivní determinant vynásobením −1.^[10] Pomocí těchto operací lze libovolnou matici transformovat na dolní (nebo horní) trojúhelníkovou matici a pro takové matice se determinant rovná součinu položek na hlavní úhlopříčce; toto poskytuje metodu pro výpočet determinantu jakékoli matice. Nakonec Laplaceova expanze vyjadřuje determinant z hlediska nezletilí, tj. determinanty menších matic.^[11] Tuto expanzi lze použít pro rekurzivní definici determinantů (přičemž jako výchozí případ se vezme determinant matice 1: 1, což je její jedinečná položka, nebo dokonce determinant matice 0: 0, což je 1) , což lze považovat za ekvivalent Leibnizova vzorce. K řešení lze použít determinanty lineární systémy použitím Cramerovo pravidlo, kde rozdělení determinantů dvou souvisejících čtvercových matic se rovná hodnotě každé z proměnných systému.^[12]

Vlastní čísla a vlastní vektory

Číslo λ a nenulový vektor ${ displaystyle mathbf {v}}$ uspokojující

${ displaystyle A mathbf {v} = lambda mathbf {v}}$

se nazývají vlastní číslo a vlastní vektor z ${ displaystyle A}$, resp.^[13][14] Číslo λ je vlastní hodnota an n×n-matice A kdyby a jen kdyby A−λJá_n není invertibilní, což je ekvivalent na

${ displaystyle det ({ mathsf {A}} - lambda { mathsf {I}}) = 0.}$^[15]

Polynom p_A v neurčitý X dané hodnocením determinantu det (XJá_n−A) se nazývá charakteristický polynom z A. Je to monický polynom z stupeň n. Proto polynomiální rovnice p_A(λ) = 0 má maximálně n různá řešení, tj. vlastní čísla matice.^[16] Mohou být složité, i když položky z A jsou skutečné. Podle Cayley-Hamiltonova věta, p_A(A) = 0, tj. Výsledek dosazení samotné matice do jejího charakteristického polynomu vede k nulová matice.

Viz také

• Kartanová matice

Poznámky

Reference

• Brown, William C. (1991), Matice a vektorové prostory, New York, NY: Marcel Dekker, ISBN  978-0-8247-8419-5
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Maticová analýza, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-38632-6
• Mirsky, Leonid (1990), Úvod do lineární algebry Publikace Courier Dover, ISBN  978-0-486-66434-7

externí odkazy

• Média související s Čtvercové matice na Wikimedia Commons