Kategorie abelianských skupin - Category of abelian groups

v matematika, kategorie Ab má abelianské skupiny tak jako předměty a skupinové homomorfismy tak jako morfismy. Toto je prototyp abelianská kategorie:[1] opravdu každý malý abelianská kategorie lze vložit do Ab.[2]

Vlastnosti

The nulový objekt z Ab je triviální skupina {0} který se skládá pouze z jeho neutrální prvek.

The monomorfismy v Ab jsou injekční skupinové homomorfismy epimorfismus jsou surjektivní skupinové homomorfismy a izomorfismy jsou bijektivní skupinové homomorfismy.

Ab je celá podkategorie z Grp, kategorie Všechno skupiny. Hlavní rozdíl mezi Ab a Grp je součet dvou homomorfismů F a G mezi abelianskými skupinami je opět skupinový homomorfismus:

(F+G)(X+y) = F(X+y) + G(X+y) = F(X) + F(y) + G(X) + G(y)
       = F(X) + G(X) + F(y) + G(y) = (F+G)(X) + (F+G)(y)

Třetí rovnost vyžaduje, aby skupina byla abelian. Toto přidání morfismu se obrací Ab do preadditive kategorie, a protože přímý součet konečně mnoha abelianských skupin přináší a dvojprodukt, opravdu máme kategorie přísad.

v Ab, pojem jádro ve smyslu teorie kategorií se shoduje s jádro v algebraickém smyslu, tj. kategorické jádro morfismu F : A → B je podskupina K. z A definován K. = {X ∈ A : F(X) = 0}, spolu s inkluzním homomorfismem i : K. → A. Totéž platí pro jádra; koksovna F je kvocientová skupina C = B / F(A) společně s přirozenou projekcí str : B → C. (Všimněte si dalšího zásadního rozdílu mezi Ab a Grp: v Grp může se to stát F(A) není normální podskupina z B, a to tedy kvocientová skupina B / F(A) nelze vytvořit.) S těmito konkrétními popisy jader a jader je snadné to ověřit Ab je skutečně abelianská kategorie.

The produkt v Ab je dán produkt skupin, vytvořený převzetím kartézský součin podkladových sad a provedení skupinové operace po částech. Protože Ab má jádra, pak to může ukázat Ab je úplná kategorie. The koprodukt v Ab je dán přímým součtem; od té doby Ab má jádra, z toho vyplývá Ab je také dokončit.

Máme zapomnětlivý funktor Ab → Soubor který přiřazuje každé abelianské skupině podkladové soubor a ke každé skupině homomorfismus základní funkce. Tento funktor je věřící, a proto Ab je konkrétní kategorie. Zapomnětlivý funktor má vlevo adjoint (který přidruží danou sadu bezplatná abelianská skupina s touto sadou jako základem), ale nemá správné adjoint.

Brát přímé limity v Ab je přesný funktor. Protože skupina celých čísel Z slouží jako generátor kategorie Ab je tedy a Kategorie Grothendieck; ve skutečnosti jde o prototypický příklad kategorie Grothendieck.

Objekt v Ab je injekční právě když je to dělitelná skupina; to je projektivní právě když je to bezplatná abelianská skupina. Kategorie má projektivní generátor (Z) a an vstřikovací kogenerátor (Q/Z).

Vzhledem ke dvěma abelianským skupinám A a B, jejich tenzorový produkt A⊗B je definováno; je to opět abelianská skupina. S touto představou o produktu Ab je Zavřeno symetrická monoidní kategorie.

Ab není topos protože např. má nulový objekt.

Viz také

Reference

  1. ^ Pedicchio & Tholen (2004), s. 200
  2. ^ Mac Lane (1998) str.209
  • Lang, Serge (2002), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, PAN  1878556
  • Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie pro Working Mathematician. Postgraduální texty z matematiky. 5 (2. vyd.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98403-8. Zbl  0906.18001.
  • Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Kategorické základy. Speciální témata v pořadí, topologie, algebra a teorie svazků. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-83414-7. Zbl  1034.18001.