Burnsideův prsten - Burnside ring
Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace.Květen 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika, Burnsideův prsten a konečná skupina je algebraická konstrukce, která kóduje různé způsoby, jakými skupina může akt na konečných množinách. Myšlenky představil William Burnside na konci devatenáctého století. Algebraické prstencová struktura je novější vývoj díky Solomonovi (1967).
Formální definice
Vzhledem k tomu, konečná skupina G, generátory jeho Burnsideova kruhu Ω(G) jsou formální rozdíly tříd izomorfismu konečné G-sady. Pro prstencová struktura, přidání je dáno disjunktní unie z G- množiny a násobení jejich kartézský součin.
Prsten Burnside je zdarma Z-modul, jejichž generátory jsou (třídy izomorfismu) typy oběžné dráhy z G.
Li G působí na konečnou množinu X, pak lze psát (disjunktní unie), kde každý Xi je nezadaný G-obíhat. Výběr libovolného prvku Xi v Xi vytváří izomorfismus G/Gi → Xi, kde Gi je podskupina stabilizátoru (izotropie) G na Xi. Jiný výběr zástupce yi v Xi dává konjugovanou podskupinu Gi jako stabilizátor. To ukazuje, že generátory Ω (G) jako Z-module jsou oběžné dráhy G/H tak jako H pohybuje se nad třídy konjugace podskupin z G.
Jinými slovy, typický prvek Ω(G) je
kde Ai v Z a G1, G2, ..., GN jsou zástupci tříd konjugace podskupin z G.
Známky
Stejně jako teorie znaků zjednodušuje práci s skupinové reprezentace, známky zjednodušit práci s permutační reprezentace a Burnsideův prsten.
Li G jedná X, a H ≤ G (H je podskupina z G), poté označit z H na X je počet prvků X které jsou opraveny každým prvkem H: , kde
Li H a K. jsou tedy konjugované podskupiny mX(H) = mX(K.) pro jakoukoli konečnou G-soubor X; opravdu, pokud K. = gHg−1 pak XK. = G · XH.
Je také snadno vidět, že pro každého H ≤ G, mapa Ω(G) → Z : X ↦ mX(H) je homomorfismus. To znamená, že znát značky G, stačí je vyhodnotit na generátorech Ω(G), viz. oběžné dráhy G/H.
Pro každou dvojici podskupin H,K. ≤ G definovat
Tohle je mX(H) pro X = G/K.. Kondice HgK = gK je ekvivalentní k G−1Hg ≤ K., takže když H není konjugovaný s podskupinou K. pak m(K., H) = 0.
Chcete-li zaznamenat všechny možné značky, vytvoří se jedna tabulka, Burnsideova Tabulka známek, takto: Let G1 (= triviální podskupina), G2, ..., GN = G být zástupci N třídy konjugace podskupin G, objednáno takovým způsobem, že kdykoli Gi je konjugován do podskupiny Gj, pak i ≤ j. Nyní definujte N × N tabulka (čtvercová matice), jejíž (i, j) th položka je m(Gi, Gj). Tato matice je nižší trojúhelníková a prvky na úhlopříčce jsou nenulové, takže je invertibilní.
Z toho vyplývá, že pokud X je G-set, a u jeho řádkový vektor značek, tak ui = mX(Gi), pak X rozkládá se jako disjunktní unie z Ai kopie oběžné dráhy typu Gi, kde vektor A splňuje,
- AM = u,
kde M je matice tabulky známek. Tato věta je způsobena (Burnside 1897 ).
Příklady
Tabulka značek pro cyklickou skupinu řádu 6:
Z6 | 1 | Z2 | Z3 | Z6 |
Z6 / 1 | 6 | . | . | . |
Z6 / Z2 | 3 | 3 | . | . |
Z6 / Z3 | 2 | 0 | 2 | . |
Z6 / Z6 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Tabulka značek pro symetrickou skupinu S3:
S3 | 1 | Z2 | Z3 | S3 |
S3 / 1 | 6 | . | . | . |
S3 / Z2 | 3 | 1 | . | . |
S3 / Z3 | 2 | 0 | 2 | . |
S3 / S3 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Tečky ve dvou tabulkách jsou všechny nuly, pouze zdůrazňují skutečnost, že tabulky jsou nižší trojúhelníkové.
(Někteří autoři používají transpozici tabulky, ale tak ji Burnside původně definoval.)
Skutečnost, že poslední řádek je všechny 1 s, je proto, že [G/G] je jediný bod. Úhlopříčky jsou m(H, H) = | NG(H)/H |. Čísla v prvním sloupci ukazují stupeň znázornění.
Prstencová struktura Ω(G) lze odvodit z těchto tabulek: generátory prstenu (jako a Z-module) jsou řádky tabulky a součin dvou generátorů má značku danou součinem značek (tedy komponentní násobení vektorů řádků), které lze poté rozložit jako a lineární kombinace všech řádků. Například s S3,
as (3, 1, 0, 0). (2, 0, 2, 0) = (6, 0, 0, 0).
Permutační reprezentace
Přidružené k jakékoli konečné sadě X je vektorový prostor V = VX, což je vektorový prostor s prvky X jako základ (pomocí libovolného zadaného pole). Akce omezené skupiny G na X indukuje lineární akci na PROTI, nazývané permutace zastoupení. Sada všech konečných dimenzionálních reprezentací G má strukturu prstenu, reprezentační prsten, označeno R (G).
Za dané G-soubor X, charakter přidruženého zastoupení je
kde je cyklická skupina generovaná .
Výsledná mapa
brát a G-nastavení odpovídající reprezentace obecně není injektivní ani surjektivní.
Nejjednodušší příklad ukazující, že β není obecně injektivní, je pro G = S3 (viz tabulka výše) a je dán vztahem
Rozšíření
Burnsideův prsten pro kompaktní skupiny je popsán v (Tom Dieck 1987 ).
The Segalova domněnka souvisí s Burnsideovým prstenem homotopy.
Viz také
Reference
- Burnside, William (1897), Teorie skupin konečného řádu, Cambridge University Press
- Tom Dieck, Tammo (1987), Transformační skupiny, de Gruyter Studium matematiky, 8, Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-009745-0, PAN 0889050, OCLC 217014538
- Dress, Andreas (1969), „Charakterizace řešitelných skupin“, Matematika. Z., 110 (3): 213–217, doi:10.1007 / BF01110213
- Kerber, Adalbert (1999), Aplikované akce konečných skupinAlgoritmy a kombinatorika, 19 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65941-9, PAN 1716962, OCLC 247593131
- Solomon, L. (1967), „Burnsideova algebra konečné skupiny“, J. Comb. Teorie, 1: 603–615