Aditivní identita - Additive identity

v matematika, aditivní identita a soubor který je vybaven úkon z přidání je živel který, když se přidá k jakémukoli prvku X v souboru, výnosy X. Jednou z nejznámějších aditivních identit je číslo 0 z elementární matematika, ale aditivní identity se vyskytují v jiných matematických strukturách, kde je definováno přidání, například v skupiny a prsteny.

Základní příklady

• Aditivní identita známá z elementární matematika je nula, označeno 0.^[1] Například,

  ${displaystyle 5 + 0 = 5 = 0 + 5}$

• V přirozená čísla N a všechny jeho nadmnožiny (dále jen celá čísla Z, racionální čísla Q, reálná čísla R nebo komplexní čísla C), aditivní identita je 0. Tedy pro kteroukoli z nich čísla n,

  ${displaystyle n + 0 = n = 0 + n}$

Formální definice

Nechat N být skupina která je uzavřena pod úkon z přidání, označeno +. Doplňková identita pro N, označeno E,^[2] je prvek v N takový, že pro jakýkoli prvek n v N,

E + n = n = n + E

Příklad: Vzorec je n + 0 = n = 0 + n.

Další příklady

• V skupina, aditivní identita je prvek identity skupiny, je často označována 0 a je jedinečná (důkaz viz níže).
• A prsten nebo pole je skupina v operaci sčítání, a proto mají také jedinečnou identitu aditiva 0. To je definováno jako odlišné od multiplikativní identita 1 pokud prsten (nebo pole) má více než jeden prvek. Pokud je identita aditiva a multiplikativní identita stejná, pak kruh je triviální (prokázáno níže).
• V kruhu M._m×n(R) z m podle n matice přes prsten R, aditivní identita je nulová matice,^[3] označeno Ó^[2] nebo 0, a je m podle n matice, jejíž položky se skládají výhradně z prvku identity 0 v R. Například v maticích 2 x 2 nad celými čísly M₂(Z) aditivní identita je

  ${displaystyle 0 = {egin {pmatrix} 0 & 0 0 & 0end {pmatrix}}}$

• V čtveřice, 0 je aditivní identita.
• V kruhu funkce z R na R, funkce mapování každé číslo do 0 je aditivní identita.
• V aditivní skupina z vektory v Rⁿ, původ nebo nulový vektor je aditivní identita.

Vlastnosti

Aditivní identita je ve skupině jedinečná

Nechť (G, +) být skupina a nechat 0 a 0 'dovnitř G oba označují aditivní identity, takže pro všechny G v G,

0 + G = G = G + 0 a 0 '+ G = G = G + 0'

Z výše uvedeného vyplývá

0' = 0' + 0 = 0' + 0 = 0

Aditivní identita ničí prvky prstenu

V systému s operací násobení, která distribuuje přes sčítání, je identita aditiva multiplikativní absorpční prvek, což znamená, že pro všechny s v S, s 路 0 = 0. To lze vidět, protože:

${displaystyle {egin {aligned} scdot 0 & = scdot (0 + 0) = scdot 0 + scdot 0 Rightarrow scdot 0 & = scdot 0-scdot 0 Rightarrow scdot 0 & = 0end {aligned}}}$

Aditivní a multiplikativní identity se v netriviálním kruhu liší

Nechat R být prsten a předpokládejme, že aditivní identita 0 a multiplikativní identita 1 jsou stejné, nebo 0 = 1. Nechť r být kdokoli živel z R. Pak

r = r × 1 = r × 0 = 0

což dokazuje R je triviální, to znamená, R = {0}. The kontrapozitivní, to když R je netriviální, pak 0 se nerovná 1, proto se zobrazí.

Viz také

• 0 (číslo)
• Aditivní inverzní
• Prvek identity
• Multiplikativní identita

Reference

Bibliografie

• David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstraktní algebra, Wiley (3. vydání): 2003, ISBN  0-471-43334-9.

externí odkazy

• Jedinečnost doplňkové identity v kruhu v PlanetMath.org.