Algebraické uzavření - Algebraic closure

v matematika, zejména abstraktní algebra, an algebraické uzavření a pole K. je algebraické rozšíření z K. to je algebraicky uzavřeno. Je to jeden z mnoha uzávěry v matematice.

Použitím Zornovo lemma^[1][2][3] nebo slabší ultrafiltrační lemma,^[4][5] lze to ukázat každé pole má algebraické uzavření, a že algebraické uzavření pole K. je jedinečný až do an izomorfismus že opravy každý člen K.. Kvůli této zásadní jedinečnosti často mluvíme o the algebraické uzavření K., spíše než an algebraické uzavření K..

Algebraické uzavření pole K. lze považovat za největší algebraické rozšíření K.Chcete-li to vidět, nezapomeňte, že pokud L je jakékoli algebraické rozšíření K., pak algebraické uzavření L je také algebraické uzavření K.a tak L je obsažen v algebraickém uzavření K.Algebraické uzavření K. je také nejmenší algebraicky uzavřené pole obsahující K.,protože jestli M je jakékoli algebraicky uzavřené pole obsahující K., pak prvky M to jsou algebraické přes K. tvoří algebraický uzávěr K..

Algebraické uzavření pole K. má to samé mohutnost tak jako K. -li K. je nekonečný a je počítatelně nekonečný -li K. je konečný.^[3]

Příklady

• The základní věta o algebře uvádí, že algebraické uzavření pole reálná čísla je obor komplexní čísla.
• Algebraické uzavření pole racionální čísla je obor algebraická čísla.
• Existuje mnoho spočetných algebraicky uzavřených polí v rámci komplexních čísel a přísně obsahuje pole algebraických čísel; jedná se o algebraické uzávěry transcendentálních rozšíření racionálních čísel, např. algebraické uzavření Q(π).
• Pro konečné pole z primární objednávka energie q, algebraický uzávěr je a počítatelně nekonečný pole, které obsahuje kopii pole objednávky qⁿ za každé pozitivní celé číslo n (a je ve skutečnosti spojením těchto kopií).^[6]

Existence algebraického uzavření a rozdělení polí

Nechat ${displaystyle S = {f_ {lambda} | lambda in Lambda}}$ být množina všech monických neredukovatelných polynomů v K.[X].Pro každého ${displaystyle f_ {lambda} v S}$, zavést nové proměnné ${displaystyle u_ {lambda, 1}, ldots, u_ {lambda, d}}$ kde ${displaystyle d = {m {stupeň}} (f_ {lambda})}$.Nechat R být polynomiální prsten K. generováno uživatelem ${displaystyle u_ {lambda, i}}$ pro všechny ${displaystyle lambda in Lambda}$ a všechno ${displaystyle ileq {m {stupeň}} (f_ {lambda})}$. Psát si

${displaystyle f_ {lambda} -prod _ {i = 1} ^ {d} (x-u_ {lambda, i}) = součet _ {j = 0} ^ {d-1} r_ {lambda, j} cdot x ^ {j} v R [x]}$

s ${displaystyle r_ {lambda, j} v R}$.Nechat Já být ideální v R generované ${displaystyle r_ {lambda, j}}$. Od té doby Já je přísně menší než RZornovo lemma znamená, že existuje maximální ideál M v R který obsahuje Já.Pole K.₁=R/M má vlastnost, že každý polynom ${displaystyle f_ {lambda}}$ s koeficienty v K. rozděluje jako produkt ${displaystyle x- (u_ {lambda, i} + M),}$ a proto má všechny kořeny K.₁. Stejným způsobem rozšíření K.₂ z K.₁ lze zkonstruovat atd. Spojením všech těchto rozšíření je algebraické uzavření K., protože jakýkoli polynom s koeficienty v tomto novém poli má v některých své koeficienty K._n s dostatečně velkým na pak jsou jeho kořeny K._{n + 1}, a tedy v samotné unii.

Může být zobrazeno stejným způsobem jako u jakékoli podmnožiny S z K.[X], existuje a rozdělení pole z S přes K..

Oddělitelné uzavření

Algebraické uzavření K.^alg z K. obsahuje jedinečný oddělitelný nástavec K.^září z K. obsahující vše (algebraické) oddělitelná rozšíření z K. v rámci K.^alg. Tato dílčí přípona se nazývá a oddělitelný uzávěr z K.. Vzhledem k tomu, že oddělitelné rozšíření oddělitelného rozšíření je opět oddělitelné, neexistují žádné konečné oddělitelné rozšíření K.^září, stupně> 1. Řekněme to jiným způsobem, K. je obsažen v a oddělitelně uzavřené algebraické pole rozšíření. Je to jedinečné (až do izomorfismus).^[7]

Oddělitelný uzávěr je úplný algebraický uzávěr právě tehdy K. je perfektní pole. Například pokud K. je pole charakteristik p a pokud X je transcendentální K., ${displaystyle K (X) ({sqrt [{p}] {X}}) supset K (X)}$ je neoddělitelné rozšíření algebraického pole.

Obecně platí, že absolutní skupina Galois z K. je skupina Galois z K.^září přes K..^[8]

Viz také

• Algebraicky uzavřené pole
• Algebraické rozšíření
• Rozšíření Puiseux
• Vyplňte pole

Reference

• Kaplansky, Irving (1972). Pole a prsteny. Přednášky z matematiky v Chicagu (druhé vydání). University of Chicago Press. ISBN  0-226-42451-0. Zbl  1001.16500.
• McCarthy, Paul J. (1991). Algebraické rozšíření polí (Opravený dotisk 2. vydání.). New York: Dover Publications. Zbl  0768.12001.