Artin – Wedderburnova věta - Artin–Wedderburn theorem

v algebra, Artin – Wedderburnova věta je věta o klasifikaci pro polojednoduché kroužky a polojednoduché algebry. Věta říká, že (Artinian) ^[1] polojednoduchý prsten R je izomorfní s a produkt konečně mnoha n_i-podle-n_i maticové kroužky přes dělící kroužky D_i, pro některá celá čísla n_i, které jsou jednoznačně určeny až do permutace indexu i. Zejména jakékoli jednoduchý vlevo nebo vpravo Artinian prsten je izomorfní s n-podle-n maticový prsten přes dělící prsten D, kde oba n a D jsou jednoznačně určeny.^[2]

Také Artin – Wedderburnova věta říká, že a polojednoduchá algebra to je konečně-dimenzionální nad polem ${ displaystyle k}$ je izomorfní s konečným produktem ${ displaystyle prod M_ {n_ {i}} (D_ {i})}$ Kde ${ displaystyle n_ {i}}$ jsou přirozená čísla, ${ displaystyle D_ {i}}$ jsou konečné dimenzionální divize algebry přes ${ displaystyle k}$ (možná konečná pole rozšíření z $k$ ), a ${ displaystyle M_ {n_ {i}} (D_ {i})}$ je algebra ${ displaystyle n_ {i} krát n_ {i}}$ matice přes ${ displaystyle D_ {i}}$ . Tento produkt je opět jedinečný až do permutace faktorů.

Jako přímý důsledek Artin – Wedderburnova věta znamená, že každý jednoduchý prsten, který je konečně-dimenzionální nad dělícím prstencem (a jednoduchá algebra) je maticový prsten. Tohle je Joseph Wedderburn původní výsledek. Emil Artin později to zobecnil na případ Artinianových prstenů.

Všimněte si, že pokud R je konečná trojrozměrná jednoduchá algebra nad dělícím prstencem E, D nemusí být obsažen v E. Například matice zvoní nad komplexní čísla jsou konečné trojrozměrné jednoduché algebry nad reálná čísla.

Následek

Artin – Wedderburnova věta redukuje klasifikaci jednoduchých prstenů přes dělící prsten na klasifikaci dělících prstenů, které obsahují daný dělící prsten. To lze zase zjednodušit: centrum z D musí být pole K. Proto R je K.-algebra a sama má K. jako jeho střed. Konečná trojrozměrná jednoduchá algebra R je tedy a centrální jednoduchá algebra nad K. Tedy Artin – Wedderburnova věta redukuje problém klasifikace konečných trojrozměrných centrálních jednoduchých algeber na problém klasifikace dělících prstenů s daným středem.

Viz také

Reference

^ Poloviční kroužky jsou nutně Artinian prsteny. Někteří autoři používají „polojediný“, což znamená, že prsten má triviální význam Jacobson radikální. U artiniánských prstenů jsou tyto dva pojmy ekvivalentní, takže je zde zahrnut výraz „Artinian“, který tuto nejednoznačnost eliminuje.
^ John A. Beachy (1999). Úvodní přednášky o prstenech a modulech. Cambridge University Press. p.156. ISBN 978-0-521-64407-5.

P. M. Cohn (2003) Základní algebra: Skupiny, prsteny a pole, strany 137–9.
J.H.M. Wedderburn (1908). „Na číslech hyperkomplexu“. Proceedings of the London Mathematical Society. 6: 77–118. doi:10,1112 / plms / s2-6.1.77.
Artin, E. (1927). „Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen“. 5: 251–260. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[1] Poloviční kroužky jsou nutně Artinian prsteny. Někteří autoři používají „polojediný“, což znamená, že prsten má triviální význam Jacobson radikální. U artiniánských prstenů jsou tyto dva pojmy ekvivalentní, takže je zde zahrnut výraz „Artinian“, který tuto nejednoznačnost eliminuje.

[Beachy1999-2] John A. Beachy (1999). Úvodní přednášky o prstenech a modulech. Cambridge University Press. p.156. ISBN 978-0-521-64407-5.

[1]

[2]