Centrální jednoduchá algebra - Central simple algebra

v teorie prstenů a související oblasti matematika A centrální jednoduchá algebra (CSA) přes pole K. je konečně-dimenzionální asociativní K.-algebra A, který je jednoduchý, a pro které centrum je přesně K.. Jako příklad si všimněte, že jakákoli jednoduchá algebra je centrální jednoduchá algebra nad jejím středem.

Například komplexní čísla C tvoří CSA nad sebou, ale ne nad reálná čísla R (střed města C je vše z C, ne jen R). The čtveřice H tvoří 4-dimenzionální CSA R, a ve skutečnosti představují jediný netriviální prvek Brauerova skupina skutečností (viz níže).

Vzhledem k tomu, dvě centrální jednoduché algebry A ~ M(n,S) a B ~ M(m,T) přes stejné pole F, A a B jsou nazývány podobný (nebo Brauerův ekvivalent ) pokud jejich dělení zvoní S a T jsou izomorfní. Sada všech tříd ekvivalence centrálních jednoduchých algeber nad daným polem F, v rámci tohoto vztahu ekvivalence, může být vybaven a skupinová operace dané tenzorový produkt algeber. Výsledná skupina se nazývá Brauerova skupina Br (F) pole F.^[1] Vždy je torzní skupina.^[2]

Vlastnosti

• Podle Artin – Wedderburnova věta konečná trojrozměrná jednoduchá algebra A je izomorfní s maticovou algebrou M(n,S) pro některé dělící prsten S. Proto v každé Brauerově třídě ekvivalence existuje jedinečná dělící algebra.^[3]
• Každý automorfismus centrální jednoduché algebry je vnitřní automorfismus (vyplývá z Věta Skolem – Noether ).
• The dimenze centrální jednoduché algebry jako vektorového prostoru nad jejím středem je vždy čtverec: the stupeň je druhá odmocnina této dimenze.^[4] The Schurův index centrální jednoduché algebry je stupeň ekvivalentní dělení algebry:^[5] záleží jen na Brauerova třída algebry.^[6]
• The doba nebo exponent centrální jednoduché algebry je pořadí její Brauerovy třídy jako prvku Brauerovy skupiny. Je to dělitel indexu,^[7] a dvě čísla se skládají ze stejných hlavních faktorů.^[8][9][10]
• Li S je jednoduchý subalgebra centrální jednoduché algebry A pak ztlumit_F S rozděluje dim_F A.
• Každá čtyřrozměrná centrální jednoduchá algebra nad polem F je izomorfní s a čtveřice algebra; ve skutečnosti je to buď dva ku dvěma maticová algebra nebo divize algebra.
• Li D je algebra ústřední divize K. pro které má index primární faktorizaci

${ displaystyle mathrm {ind} (D) = prod _ {i = 1} ^ {r} p_ {i} ^ {m_ {i}} }$

pak D má rozklad tenzorového produktu

${ displaystyle D = bigotimes _ {i = 1} ^ {r} D_ {i} }$

kde každá složka D_i je centrální divize algebry indexu ${ displaystyle p_ {i} ^ {m_ {i}}}$a komponenty jsou jednoznačně určeny až po izomorfismus.^[11]

Rozdělovací pole

Říkáme pole E A rozdělení pole pro A přes K. -li A⊗E je izomorfní s maticovým prstencem E. Každý konečný rozměrný CSA má dělící pole: v případě kdy A je divizní algebra, pak a maximální podpole z A je dělící pole. Obecně podle vět o Wedderburn a Koethe existuje štěpící pole, které je oddělitelný nástavec z K. stupně rovného indexu Aa toto dělící pole je izomorfní s podpolem A.^[12][13] Jako příklad pole C rozděluje čtveřici algebry H přes R s

${ displaystyle t + x mathbf {i} + y mathbf {j} + z mathbf {k} leftrightarrow left ({ begin {array} {* {20} c} t + xi & y + zi -y + zi & t-xi end {pole}} vpravo).}$

K definování můžeme použít existenci dělícího pole snížená norma a snížená stopa pro CSA A.^[14] Mapa A na maticový kruh nad dělícím polem a definovat redukovanou normu a stopu jako kompozit této mapy s determinantem a stopou. Například v algebře čtveřice H, rozdělení výše ukazuje, že prvek t + X i + y j + z k má sníženou normu t² + X² + y² + z² a snížená stopa 2t.

Redukovaná norma je multiplikativní a redukovaná stopa je aditivní. Prvek A z A je invertibilní tehdy a jen tehdy, je-li jeho snížená norma v nenulové: CSA je proto algebra dělení právě tehdy, když je snížená norma na nenulových prvcích nenulová.^[15]

Zobecnění

CSA nad polem K. jsou nekomutativní analog pole rozšíření přes K. - v obou případech nemají netriviální oboustranné ideály a mají ve svém středu rozlišovací pole, ačkoli CSA může být nekomutativní a nemusí mít inverze (nemusí být divize algebra ). To je zvláště zajímavé pro nekomutativní teorie čísel jako zobecnění počet polí (rozšíření racionálu Q); vidět nekomutativní číselné pole.

Viz také

• Azumaya algebra, zobecnění CSA, kde je základní pole nahrazeno komutativním místním kruhem
• Odrůda Severi – Brauer
• Posnerova věta

Reference

• Cohn, P.M. (2003). Další algebra a aplikace (2. vyd.). Springer. ISBN  1852336676. Zbl  1006.00001.
• Jacobson, Nathan (1996). Konečně-dimenzionální dělení algeber na pole. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  3-540-57029-2. Zbl  0874.16002.
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Úvod do kvadratických forem nad poli. Postgraduální studium matematiky. 67. Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-1095-2. PAN  2104929. Zbl  1068.11023.
• Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Springer. ISBN  978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001.

Další čtení

• Albert, A.A. (1939). Struktura algeber. Publikace kolokvia. 24 (7. revidovaný dotisk ed.). Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-1024-3. Zbl  0023.19901.
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Centrální jednoduché algebry a galoisova kohomologie. Cambridge studia pokročilé matematiky. 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-86103-9. Zbl  1137.12001.