Azumaya algebra - Azumaya algebra - Wikipedia

v matematika, an Azumaya algebra je zobecněním centrální jednoduché algebry na R-algebry kde R nemusí být pole. Taková představa byla zavedena v dokumentu z roku 1951 Goro Azumaya, pro případ, kdy R je komutativní místní kruh. Pojem byl dále rozvinut v teorie prstenů a v algebraická geometrie, kde Alexander Grothendieck vytvořil základ pro svou geometrickou teorii Brauerova skupina v Bourbakiho semináře od 1964–65. Nyní existuje několik přístupových bodů k základním definicím.

Přes prsten

Azumaya algebra^[1] přes komutativní kruh ${ displaystyle R}$ je ${ displaystyle R}$-algebra ${ displaystyle A}$ který je definitivně generován, věrný a projektivní jako ${ displaystyle R}$-modul, takový, že tenzorový produkt ${ displaystyle A otimes _ {R} A ^ { circ}}$ (kde ${ displaystyle A ^ { circ}}$ je opačná algebra ) je izomorfní s maticová algebra ${ displaystyle { text {End}} _ {R} (A) cong M_ {r} (R)}$ zasláním mapy ${ displaystyle a otimes b}$ k endomorfismu ${ displaystyle x mapsto axb}$ z ${ displaystyle A}$.

Příklady nad polem

Přes pole ${ displaystyle k}$, Azumaya algebry jsou zcela klasifikovány podle Artin-Wedderburnova věta protože jsou stejné jako centrální jednoduché algebry. Jedná se o algebry isomorfní s maticovým prstencem ${ displaystyle M_ {n} (D)}$ pro nějakou divizní algebru ${ displaystyle D}$ přes ${ displaystyle k}$. Například, čtveřice algeber uveďte příklady centrálních jednoduchých algeber.

Příklady nad místními kruhy

Vzhledem k místnímu komutativnímu kruhu ${ displaystyle (R, { mathfrak {m}})}$, an ${ displaystyle R}$-algebra ${ displaystyle A}$ je Azumaya právě tehdy, když A nemá kladnou konečnou hodnost jako R-modul a algebru ${ displaystyle A otimes _ {R} (R / { mathfrak {m}})}$ je ústřední jednoduchá algebra ${ displaystyle R / { mathfrak {m}}}$, proto všechny příklady pocházejí z centrálních jednoduchých algeber ${ displaystyle R / { mathfrak {m}}}$.

Cyklické algebry

Existuje třída algeber Azumaya nazývaná cyklické algebry, které generují všechny třídy podobnosti algeber Azumaya přes pole ${ displaystyle K}$, tedy všechny prvky ve skupině Brauer ${ displaystyle { text {Br}} (K)}$ (definováno níže). Vzhledem k konečnému cyklickému rozšíření pole Galois ${ displaystyle L / K}$ stupně ${ displaystyle n}$, pro každého ${ displaystyle b v K ^ {*}}$ a jakýkoli generátor ${ displaystyle sigma v { textu {Gal}} (L / K)}$ existuje zkroucený polynomiální kruh ${ displaystyle L [x] _ { sigma}}$, také označeno ${ displaystyle A ( sigma, b)}$vygenerovaný prvkem ${ displaystyle x}$ takhle

${ displaystyle x ^ {n} = b}$

a následující komutační vlastnost

${ Displaystyle l cdot x = sigma (x) cdot l}$

drží. Jako vektorový prostor ${ displaystyle L}$, ${ displaystyle L [x] _ { sigma}}$ má základ ${ displaystyle 1, x, x ^ {2}, ldots, x ^ {n-1}}$ s násobením daným

${ displaystyle x ^ {i} cdot x ^ {j} = { začít {případy} x ^ {i + j} & { text {if}} i + j$

Všimněte si, že poskytují geometricky integrální rozmanitost^[2] ${ displaystyle X / K}$, existuje také přidružená cyklická algebra pro rozšíření pole kvocientu ${ displaystyle { text {Frac}} (X_ {L}) / { text {Frac}} (X)}$.

Brauerova skupina prstenu

Na polích existuje cohomologická klasifikace algebry Azumaya pomocí Étale cohomology. Ve skutečnosti tato skupina, nazývaná Brauerova skupina, lze také definovat jako třídy podobnosti^[1]str algebry Azumaya přes prsten ${ displaystyle R}$, kde zvoní ${ displaystyle A, A '}$ jsou podobné, pokud existuje izomorfismus

${ displaystyle A otimes _ {R} M_ {n} (R) cong A ' otimes _ {R} M_ {n} (R)}$

pro některé prsteny ${ displaystyle n}$. Pak je tato ekvivalence ve skutečnosti ekvivalenční vztah, a pokud ${ displaystyle A_ {1} sim A_ {1} '}$, ${ displaystyle A_ {2} sim A_ {2} '}$, pak ${ displaystyle A_ {1} otimes _ {R} A_ {2} sim A_ {1} ' otimes _ {R} A_ {2}'}$, zobrazeno

${ displaystyle [A_ {1}] otimes [A_ {2}] = [A_ {1} otimes _ {R} A_ {2}]}$

je dobře definovaná operace. Toto tvoří skupinovou strukturu na množině takových tříd ekvivalence nazývaných Brauerova skupina, označeno ${ displaystyle { text {Br}} (R)}$. Jiná definice je dána torzní podskupinou etale kohomologické skupiny

${ displaystyle { text {Br}} _ {coh} (R): = { text {H}} _ {et} ^ {2} ({ text {Spec}} (R), mathbb {G } _ {m}) _ {tors}}$

který se nazývá cohomologická Brauerova skupina. Tyto dvě definice souhlasí, když ${ displaystyle R}$ je pole.

Brauerova skupina pomocí Galoisovy kohomologie

Existuje další ekvivalentní definice skupiny Brauer Galoisova kohomologie. Pro rozšíření pole ${ displaystyle E / F}$ existuje kohomologická Brauerova skupina definovaná jako

${ displaystyle { text {Br}} ^ {coh} (E / F): = H _ { text {Gal}} ^ {2} ({ text {Gal}} (E / F), E ^ { times})}$

a kohomologická Brauerova skupina pro ${ displaystyle F}$ je definován jako

${ displaystyle { text {Br}} ^ {coh} (F) = { podmnožina {E / F} { text {colim}}} H _ { text {Gal}} ^ {2} ({ text {Gal}} (E / F), E ^ { times})}$

kde je colimit převzat přes všechna konečná rozšíření pole Galois.

Výpočet pro místní pole

Přes místní nearchimédské pole ${ displaystyle F}$, tak jako p-adic čísla ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$, teorie místní třídy pole dává izomorfismus

${ displaystyle { text {Br}} ^ {Coh} (F) cong mathbb {Q} / mathbb {Z}}$^{[3]str. 193}

abelianských skupin. Je to proto, že vzhledem k rozšíření abelian pole ${ displaystyle E_ {2} / E_ {1} / F}$ existuje krátká přesná sekvence Galoisových skupin

${ displaystyle 0 to { text {Gal}} (E_ {2} / E_ {1}) to { text {Gal}} (E_ {2} / F) to { text {Gal}} (E_ {1} / F) až 0}$

a z teorie místní třídy pole existuje následující komutativní diagram

${ displaystyle { begin {matrix} H _ { text {Gal}} ^ {2} ({ text {Gal}} (E_ {2} / F), E_ {1} ^ { times}) & to & H _ { text {Gal}} ^ {2} ({ text {Gal}} (E_ {1} / F), E_ {1} ^ { times}) downarrow && downarrow left ({ frac {1} {[E_ {2}: E_ {1}]}} mathbb {Z} right) / mathbb {Z} & to & left ({ frac {1} { [E_ {1}: F]}} mathbb {Z} vpravo) / mathbb {Z} end {matrix}}}$^[4]

kde vertikální mapy jsou izomorfismy a horizontální mapy jsou injekce.

n-torze pro pole

Připomeňme, že existuje Kummerova sekvence^[5]

${ displaystyle 1 to mu _ {n} to mathbb {G} _ {m} xrightarrow { cdot n} mathbb {G} _ {m} až 1}$

dávat dlouhou přesnou sekvenci v cohomologii pro pole ${ displaystyle F}$. Od té doby Hilbertova věta 90 naznačuje ${ displaystyle H ^ {1} (F, mathbb {G} _ {m}) = 0}$, je přidružena krátká přesná sekvence

${ displaystyle 0 to H_ {et} ^ {2} (F, mu _ {n}) to { text {Br}} (F) xrightarrow { cdot n} { text {Br}} (F) to 0}$

ukazující druhou ethomologickou kohomologickou skupinu s koeficienty v n-tých kořenech jednoty ${ displaystyle mu _ {n}}$ je

${ displaystyle H_ {et} ^ {2} (F, mu _ {n}) = { text {Br}} (F) _ {n-tors}}$

Generátory n-torzních tříd ve skupině Brauer přes pole

The Galoisův symbol, nebo symbol zbytku normy, je mapa z n-torze Teorie Milnora K. skupina ${ displaystyle K_ {2} ^ {M} (F) otimes mathbb {Z} / n}$ do skupiny etale cohomology ${ displaystyle H_ {et} ^ {2} (F, mu _ {n} ^ { otimes 2})}$, označeno

${ displaystyle R_ {n, F}: K_ {2} ^ {M} (F) otimes _ { mathbb {Z}} mathbb {Z} / n mathbb {Z} až H_ {et} ^ {2} (F, mu _ {n} ^ { otimes 2})}$^[5]

Vychází ze složení kalíškového produktu v etale cohomologii s izomorfismem Hilbertovy věty 90

${ displaystyle chi _ {n, F}: F ^ {*} otimes _ { mathbb {Z}} mathbb {Z} / n až H_ {et} ^ {1} (F, mu _ {n})}$

proto

${ displaystyle R_ {n, F} ( {a, b }) = chi _ {n, F} (a) cup chi _ {n, F} (b)}$

Ukazuje se, že tato mapa faktory prostřednictvím ${ displaystyle H_ {et} ^ {2} (F, mu _ {n}) = { text {Br}} (F) _ {n-tors}}$, jehož třída pro ${ displaystyle {a, b }}$ je reprezentována cyklickou algebrou ${ displaystyle [A ( sigma, b)]}$. Pro Prodloužení Kummer ${ displaystyle E / F}$ kde ${ displaystyle E = F ({ sqrt [{n}] {a}})}$, vzít generátor ${ displaystyle sigma v { textu {Gal}} (E / F)}$ cyklické skupiny a konstrukt ${ displaystyle [A ( sigma, b)]}$. Existuje alternativní, ale ekvivalentní konstrukce Galoisova kohomologie a etická kohomologie. Zvažte krátkou přesnou posloupnost triviálních ${ displaystyle { text {Gal}} ({ overline {F}} / F)}$- moduly

${ displaystyle 0 až mathbb {Z} až mathbb {Z} až mathbb {Z} / n až 0}$

Dlouhá přesná sekvence poskytuje mapu

${ displaystyle H_ {Gal} ^ {1} (F, mathbb {Z} / n) xrightarrow { delta} H_ {Gal} ^ {2} (F, mathbb {Z})}$

Pro jedinečnou postavu

${ displaystyle chi: { text {Gal}} (E / F) to mathbb {Z} / n}$

s ${ displaystyle chi ( sigma) = 1}$, je zde jedinečný výtah

${ displaystyle { overline { chi}}: { text {Gal}} ({ overline {F}} / F) to mathbb {Z} / n}$

a

${ displaystyle delta ({ overline { chi}}) cup (b) = [A ( sigma, b)] in { text {Br}} (F)}$

všimněte si třídy ${ displaystyle (b)}$ je z mapy Hilbertsovy věty 90 ${ displaystyle chi _ {n, F} (b)}$. Potom, protože existuje primitivní kořen jednoty ${ displaystyle zeta in mu _ {n} podmnožina F}$, existuje také třída

${ displaystyle delta ({ overline { chi}}) cup (b) cup ( zeta) v H_ {et} ^ {2} (F, mu _ {n} ^ { otimes 2 })}$

Ukázalo se, že toto je přesně ta třída ${ displaystyle R_ {n, F} ( {a, b })}$. Kvůli Věta o izomorfismu zbytku normy, ${ displaystyle R_ {n, F}}$ je izomorfismus a ${ displaystyle n}$- kurzy kurzů v ${ displaystyle { text {Br}} (F) _ {n-tors}}$ jsou generovány cyklickými algeberami ${ displaystyle [A ( sigma, b)]}$.

Věta Skolem-Noether

Jedním z důležitých strukturních výsledků u algebry Azumaya je Věta Skolem-Noether: dostal komutativní prsten ${ displaystyle R}$ a algebra Azumaya ${ displaystyle R do A}$, jediné automorfismy z ${ displaystyle A}$ jsou vnitřní. Význam, mapa

${ displaystyle A ^ {*} na { text {Aut}} (A)}$^[6]

odesílání

${ displaystyle a mapsto (x mapsto a ^ {- 1} xa)}$

je surjektivní. To je důležité, protože to přímo souvisí s cohomologickou klasifikací tříd podobnosti Azumaya algeber nad schématem. Zejména to znamená, že algebra Azumaya má strukturní skupinu ${ displaystyle { text {PGL}} _ {n}}$ pro některé ${ displaystyle n}$a Čechova kohomologie skupina

${ displaystyle { check {H}} ^ {1} ((X) _ {et}, { text {PGL}} _ {n})}$

dává cohomologickou klasifikaci takových svazků. Pak to může souviset s ${ displaystyle H_ {et} ^ {2} (X, mathbb {G} _ {m})}$ pomocí přesné sekvence

${ displaystyle 1 to mathbb {G} _ {m} to { text {GL}} _ {n} to { text {PGL}} _ {n} to 1}$

Ukazuje se obraz ${ displaystyle H ^ {1}}$ je podskupinou torzní podskupiny ${ displaystyle H_ {et} ^ {2} (X, mathbb {G} _ {m}) _ {tors}}$.

Na schématu

Azumaya algebra na schématu X s struktura svazek ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$, podle původního semináře Grothendieck, je svazek ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ z ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-algebry, které jsou étale lokálně izomorfní s svazkem algebry matice; je však třeba přidat podmínku, že každý svazek maticové algebry má kladné hodnocení. Tato definice umožňuje algebru Azumaya ${ displaystyle (X, { mathcal {O}} _ {X})}$ do „zkroucené formy“ snopu ${ displaystyle M_ {n} ({ mathcal {O}} _ {X})}$. Milne, Étale kohomologie, místo toho vychází z definice, že jde o svazek ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ z ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-algebry, jejichž stopka ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {x}}$ v každém bodě ${ displaystyle x}$ je algebra Azumaya nad místní prsten ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X, x}}$ ve smyslu uvedeném výše.

Dvě algebry Azumaya ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {1}}$ a ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {2}}$ jsou ekvivalent pokud existují místně zdarma snopy ${ displaystyle { mathcal {E}} _ {1}}$ a ${ displaystyle { mathcal {E}} _ {2}}$ konečné kladné hodnosti v každém bodě tak, že

${ displaystyle A_ {1} otimes mathrm {End} _ {{ mathcal {O}} _ {X}} ({ mathcal {E}} _ {1}) simeq A_ {2} otimes mathrm {End} _ {{ mathcal {O}} _ {X}} ({ mathcal {E}} _ {2}),}$^[1]str

kde ${ displaystyle mathrm {End} _ {{ mathcal {O}} _ {X}} ({ mathcal {E}} _ {i})}$ je snop endomorfismu ${ displaystyle { mathcal {E}} _ {i}}$. Skupina Brauer ${ displaystyle B (X)}$ z X (analog Brauerova skupina pole) je množina tříd ekvivalence algebry Azumaya. Skupinová operace je dána tenzorovým součinem a inverzní je dána opačnou algebrou. Toto je odlišné od cohomologická Brauerova skupina který je definován jako ${ displaystyle H_ {et} ^ {2} (X, mathbb {G} _ {m})}$.

Příklad přes Spec (Z [1 / n])

Konstrukci algebry čtveřice nad polem lze globalizovat ${ displaystyle { text {specifikace}} ( mathbb {Z} [1 / n])}$ zvážením nekomutativního ${ displaystyle mathbb {Z} [1 / n]}$-algebra

${ displaystyle A_ {a, b} = { frac { mathbb {Z} [1 / n] langle i, j, k rangle} {i ^ {2} -a, j ^ {2} -b , ij-k, ji + k}}}$

pak, jako snop ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-algebry, ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {a, b}}$ má strukturu algebry Azumaya. Důvod omezení na otevřenou afinní množinu ${ displaystyle { text {Spec}} ( mathbb {Z} [1 / n]) hookrightarrow { text {Spec}} ( mathbb {Z})}$ je proto, že čtveřice algebra je divize algebra přes body ${ displaystyle (p)}$ je a pouze v případě, že Hilbertův symbol

${ displaystyle (a, b) _ {p} = 1}$

což je vůbec pravda, ale konečně mnoho prvočísel.

Příklad nad Pⁿ

Přes ${ displaystyle mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$ Azumaya algebry mohou být konstruovány jako ${ displaystyle { mathcal {End}} _ {k} ({ mathcal {E}}) další _ {k} A}$ pro algebru Azumaya ${ displaystyle A}$ přes pole ${ displaystyle k}$. Například snop endomorfismu ${ displaystyle { mathcal {O}} (a) oplus { mathcal {O}} (b)}$ je svazek matice

${ displaystyle { mathcal {End}} _ {k} ({ mathcal {O}} (a) oplus { mathcal {O}} (b)) = { begin {pmatrix} { mathcal {O }} & { mathcal {O}} (ba) { mathcal {O}} (ab) & { mathcal {O}} end {pmatrix}}}$

takže algebra Azumaya skončila ${ displaystyle mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$ může být sestaven z tohoto svazku tenzorovaného algebrou Azumaya ${ displaystyle A}$ přes ${ displaystyle k}$, jako je kvartérová algebra.

Aplikace

Tam byly významné aplikace Azumaya algeber v diofantická geometrie, po práci Jurij Manin. The Maninská obstrukce do Hasseův princip je definována pomocí Brauerovy skupiny schémat.

Viz také

• Gerbe
• Teorie pole třídy
• Algebraická K-teorie
• Motivační kohomologie
• Věta o izomorfismu zbytku normy

Reference

Brauerova skupina a Azumaya algebry

• Milne, Johne. Etale cohomology. Ch IV
• Knus, Max-Albert; Ojanguren, Manuel (1974), Théorie de la descente et algèbres d'AzumayaPřednášky z matematiky, 389, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0057799, PAN  0417149, Zbl  0284.13002
• Mathoverflow Thread on "Výslovné příklady algebry Azumaya "

Divize algebry

• Knus, Max-Albert (1991), Kvadratická a hermitovská forma přes prstenyGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 294, Berlín atd .: Springer-Verlag, ISBN  3-540-52117-8, Zbl  0756.11008
• Saltman, David J. (1999). Přednášky o divizních algebrách. Regionální konferenční seriál z matematiky. 94. Providence, RI: Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-0979-2. Zbl  0934.16013.