Tropické semiring - Tropical semiring - Wikipedia

v idempotentní analýza, tropický semiring je semiring z rozšířená reálná čísla s provozem minimální (nebo maximum ) a sčítání nahrazující obvyklé („klasické“) operace sčítání a násobení.

Tropický semiring má různé aplikace (viz tropická analýza ) a tvoří základ tropická geometrie.

Definice

The min. tropický semiring (nebo min-plus semiring nebo min-plus algebra) je semiring (ℝ ∪ {+ ∞}, ⊕, ⊗), s operacemi:

${ displaystyle x oplus y = min {x, y },}$

${ displaystyle x ot y = x + y.}$

Operace ⊕ a ⊗ se označují jako tropický přírůstek a tropické rozmnožování resp. Jednotka pro ⊕ je + ∞ a jednotka pro ⊗ je 0.

Podobně max tropické semiring (nebo max-plus semiring nebo max-plus algebra) je semiring (ℝ ∪ {−∞}, ⊕, ⊗) s operacemi:

${ displaystyle x oplus y = max {x, y },}$

${ displaystyle x ot y = x + y.}$

Jednotka pro ⊕ je −∞ a jednotka pro ⊗ je 0.

Tyto semirings jsou izomorfní, pod negací ${ displaystyle x mapsto -x}$a obecně je jeden z nich vybrán a označován jednoduše jako tropický semiring. Konvence se liší mezi autory a podpolemi: některá používají min konvence, někteří používají max konvence.

Tropický přírůstek je idempotentní, tedy tropický semiring je příkladem idempotentní semiring.

Tropický semiring se také označuje jako a tropická algebra,^[1] ačkoli toto by nemělo být zaměňováno s asociativní algebra přes tropický semiring.

Tropická umocňování je definována obvyklým způsobem jako iterované tropické produkty (viz Vysvětlení § V abstraktní algebře ).

Hodnotná pole

Tropické semiringové operace modelují jak ocenění chovat se při sčítání a násobení v a oceňované pole. Pole se skutečnou hodnotou K. je pole vybavené funkcí

${ displaystyle v colon K to mathbb {R} cup { infty }}$

který splňuje následující vlastnosti pro všechny A, b v K.:

${ displaystyle v (a) = infty}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle a = 0,}$

${ displaystyle v (ab) = proti (a) + proti (b) = proti (a) vícekrát proti (b),}$

${ Displaystyle v (a + b) geq min {v (a), v (b) } = proti (a) oplus v (b),}$ s rovností, pokud ${ displaystyle v (a) neq v (b).}$

Proto ocenění proti je téměř semirující homomorfismus z K. k tropickému semiringu, až na to, že vlastnost homomorfismu může selhat, když se spojí dva prvky se stejným oceněním.

Některá běžná oceňovaná pole:

• Q nebo C s triviálním oceněním, proti(A) = 0 pro všechny A ≠ 0,
• Q nebo jeho rozšíření s ocenění p-adic, proti(pⁿA/b) = n pro A a b coprime to p,
• pole formální série Laurent K.((t)) (celočíselné mocniny) nebo pole Série Puiseux K.{{t}} nebo pole Série Hahn, přičemž ocenění vrací nejmenší exponent z t objevit se v seriálu.

Reference