Prsten sad - Ring of sets
v matematika, existují dva různé pojmy a prsten sad, oba odkazují na jisté rodiny sad.
v teorie objednávek, neprázdné rodina sad se nazývá kruh (sad), pokud je Zavřeno pod svaz a průsečík.[1] To znamená, že následující dva příkazy platí pro všechny sady a ,
- naznačuje a
- naznačuje
v teorie míry, neprázdná rodina souprav se nazývá prsten (sad), pokud je uzavřen pod sjednocením a relativní doplněk (set-teoretický rozdíl).[2] To znamená, že následující dva příkazy platí pro všechny sady a ,
- naznačuje a
- naznačuje
To znamená, že prsten v teoreticko-teoretickém smyslu vždy obsahuje prázdná sada. Dále pro všechny sady A a B,
což ukazuje, že rodina množin uzavřených pod relativním doplňkem je také uzavřena v průsečíku, takže prsten v míře-teoretickém smyslu je také prsten v řádu-teoretickém smyslu.
Příklady
Li X je libovolná sada, pak napájecí sada z X (rodina všech podskupin X) tvoří kruh množin v obou směrech.
Li (X, ≤) je částečně objednaná sada, pak jeho horní sady (podmnožiny X s další vlastností, že pokud X patří do horní sady U a X ≤ y, pak y musí také patřit U) jsou uzavřeny pod křižovatkami i odbory. Obecně však nebude uzavřen pod rozdíly sad.
The otevřené sady a uzavřené sady ze všech topologický prostor jsou uzavřeny pod odbory i křižovatkami.[1]
Na skutečné linii ℝ, rodina množin skládající se z prázdné množiny a všech konečných spojení polootevřených intervalů formuláře (A, b], s A, b ∈ ℝ je prsten v míře-teoretickém smyslu.
Li T je libovolná transformace definovaná v prostoru, pak množiny, které jsou do sebe mapovány T jsou uzavřeny pod odbory i křižovatkami.[1]
Pokud jsou dva kroužky sad definovány na stejných prvcích, pak sady, které patří k oběma prstencům, tvoří kruh sad.[1]
Související struktury
Prsten množin v řádu-teoretickém smyslu tvoří a distribuční mříž ve kterém křižovatka a spojovací operace odpovídají mřížce setkat se a připojit se operace, resp. Naopak každá distribuční mřížka je izomorfní s prstencem množin; v případě konečný distribuční mřížky, to je Birkhoffova věta o reprezentaci a množiny lze brát jako spodní množiny částečně uspořádané množiny.[1]
Rodina sad uzavřených pod sjednocením a relativního doplňku je také uzavřena pod symetrický rozdíl a křižovatka. Naopak každá rodina množin uzavřených pod symetrickým rozdílem a průnikem je také uzavřena pod sjednocením a relativním doplňkem. To je způsobeno identitami
- a
Symetrický rozdíl a průnik společně dávají prstenci v míře-teoretickém smyslu strukturu a booleovský prsten.
V míře-teoretickém smyslu, a σ-kroužek je prsten uzavřený pod počitatelný odbory a 8-kroužek je kruh uzavřený pod spočetnými křižovatkami. Explicitně zazvoní σ X je sada takové, že pro jakoukoli sekvenci , my máme .
Vzhledem k sadě X, a pole množin - nazývá se také algebra X - je prsten, který obsahuje X. Tato definice znamená, že algebra je uzavřena pod absolutním doplňkem . A σ-algebra je algebra, která je také uzavřena v počitatelných uniích, nebo ekvivalentně σ-kruh, který obsahuje X. Ve skutečnosti tím de Morganovy zákony, 8-kruh, který obsahuje X je nutně také σ-algebra. Pole množin, zejména σ-algeber, jsou ústřední pro moderní teorii pravděpodobnost a definice opatření.
A půlkruh (of sets) is a family of sets s vlastnostmi
- naznačuje a
- naznačuje pro nějakou disjunktnost
Je zřejmé, že každý prsten (ve smyslu teorie míry) je polokroužkem.
Semi-pole podmnožin X je půlkruh, který obsahuje X.
Viz také
Reference
- ^ A b C d E Birkhoff, Garrett (1937), "Prsteny sad", Duke Mathematical Journal, 3 (3): 443–454, doi:10.1215 / S0012-7094-37-00334-X, PAN 1546000.
- ^ De Barra, Gar (2003), Teorie měření a integrace, Horwood Publishing, str. 13, ISBN 9781904275046.