Skupina Prüfer - Prüfer group

V matematice, konkrétně v teorie skupin, Prüfer str-skupina nebo str-kvazicyklická skupina nebo str∞-skupina, Z(str∞), pro prvočíslo str je jedinečný str-skupina ve kterém má každý prvek str odlišný str-té kořeny.
Prüfer str-skupiny jsou počitatelný abelianské skupiny které jsou důležité při klasifikaci nekonečných abelianských skupin: oni (spolu se skupinou racionální čísla ) tvoří nejmenší stavební kameny ze všech dělitelné skupiny.
Skupiny jsou pojmenovány po Heinz Prüfer, německý matematik z počátku 20. století.
Stavby Z(str∞)
Prüfer str-skupinu lze identifikovat s podskupinou skupiny kruhová skupina, U (1), skládající se ze všech strn-th kořeny jednoty tak jako n rozsahy přes všechna nezáporná celá čísla:
Skupinová operace je zde násobení komplexní čísla.
Tady je prezentace
Zde je skupinová operace v Z(str∞) je psán jako násobení.
Alternativně a ekvivalentně Prüfer str-skupinu lze definovat jako Sylow str- podskupina z kvocientová skupina Q/Z, skládající se z těch prvků, jejichž pořadí je síla str:
(kde Z[1/str] označuje skupinu všech racionálních čísel, jejichž jmenovatelem je síla str, pomocí přidání racionálních čísel jako skupinové operace).
Pro každé přirozené číslo n, zvažte kvocientová skupina Z/strnZ a vložení Z/strnZ → Z/strn+1Z vyvolané násobením str. The přímý limit tohoto systému je Z(str∞):
Můžeme také psát
kde Qstr označuje skupinu aditiv str-adická čísla a Zstr je podskupinou str-adická celá čísla.
Vlastnosti
Úplný seznam podskupin Prüfer str-skupina Z(str∞) = Z[1/str]/Z je:
(Tady je cyklická podskupina Z(str∞) s strn elementy; obsahuje přesně ty prvky Z(str∞) jehož objednat rozděluje strn a odpovídá množině strn-té kořeny jednoty.) Prüfer str-skupiny jsou jediné nekonečné skupiny, jejichž podskupiny jsou úplně objednané začleněním. Tato posloupnost inkluzí vyjadřuje Prüfera str-skupina jako přímý limit jejích konečných podskupin. Protože neexistuje maximální podskupina Prüfera str-skupina, je to její vlastní Frattini podskupina.
Vzhledem k tomuto seznamu podskupin je jasné, že Prüfer str-skupiny jsou nerozložitelný (nelze zapsat jako přímý součet řádných podskupin). Platí více: Prüfer str-skupiny jsou nepřímo neredukovatelný. Abelianova skupina je nepřímo neredukovatelná právě tehdy, pokud je izomorfní s konečnou cyklickou skupinou str-skupina nebo skupina Prüfer.
Prüfer str-skupina je jedinečný nekonečno str-skupina to je lokálně cyklický (každá konečná sada prvků generuje cyklickou skupinu). Jak je vidět výše, všechny správné podskupiny Z(str∞) jsou konečné. Prüfer str-skupiny jsou jediné nekonečné abelianské skupiny s touto vlastností.[1]
Prüfer str-skupiny jsou dělitelný. Hrají důležitou roli při klasifikaci dělitelných skupin; spolu s racionálními čísly jsou to nejjednodušší dělitelné skupiny. Přesněji řečeno: abelianská skupina je dělitelná právě tehdy, je-li to přímý součet (možná nekonečného) počtu kopií Q a (možná nekonečný) počet kopií Z(str∞) pro každé prvočíslo str. (kardinál ) počet kopií Q a Z(str∞), které se používají v tomto přímém součtu, určují dělitelnou skupinu až po izomorfismus.[2]
Jako abelianská skupina (tj. Jako Z-modul ), Z(str∞) je Artinian ale ne Noetherian.[3] Lze jej tedy použít jako protiklad proti myšlence, že každý modul Artinian je Noetherian (zatímco každý Artinian prsten je Noetherian).
The endomorfismus prsten z Z(str∞) je izomorfní vůči kruhu str-adická celá čísla Zstr.[4]
V teorii lokálně kompaktní topologické skupiny Prüfer str-skupina (obdařená diskrétní topologie ) je Pontryagin dual kompaktní skupiny str-adická celá čísla a skupina str-adická celá čísla je duální Pontryaginův Prüfer str-skupina.[5]
Viz také
- str-adická celá čísla, které lze definovat jako inverzní limit konečných podskupin Prüfer str-skupina.
- Dyadic racionální, racionální čísla formuláře A/2b. Na skupinu Prüfer 2 lze pohlížet jako na dyadické raciony modulo 1.
- Cyklická skupina (konečný analog)
- Kruhová skupina (nespočetně nekonečný analog)
Poznámky
Reference
- Jacobson, Nathan (2009). Základní algebra. 2 (2. vyd.). Doveru. ISBN 978-0-486-47187-7.
- Pierre Antoine Grillet (2007). Abstraktní algebra. Springer. ISBN 978-0-387-71567-4.
- Kaplansky, Irving (1965). Nekonečné abelianské skupiny. University of Michigan Press.
- N.N. Vil'yams (2001) [1994], „Kvazi-cyklická skupina“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS