Kvocient prstenu - Quotient ring
Algebraická struktura → Prstenová teorie Prstenová teorie |
---|
Základní pojmy |
Komutativní prsteny
str-adic teorie čísel a desetinná místa
|
v teorie prstenů, pobočka abstraktní algebra, a kvocientový kroužek, také známý jako faktorový prsten, rozdílový prsten[1] nebo prsten třídy zbytku, je konstrukce docela podobná kvocientové skupiny z teorie skupin a kvocientové prostory z lineární algebra.[2][3] Jedná se o konkrétní příklad a kvocient, při pohledu z obecného nastavení univerzální algebra. Jeden začíná a prsten R a a oboustranný ideál Já v R, a vytvoří nový kruh, kvocientový kruh R / Já, jehož prvky jsou kosety z Já v R podléhá zvláštnímu + a ⋅ operace.
Kruhy kvocientu se liší od takzvaného „kvocientového pole“, nebo pole zlomků, z integrální doména stejně jako z obecnějších „kruhů kvocientů“ získaných z lokalizace.
Formální konstrukce prstenového kvocientu
Dostal prsten a oboustranný ideál v , můžeme definovat vztah ekvivalence na jak následuje:
- kdyby a jen kdyby je v .
Při použití ideálních vlastností není těžké to ověřit je kongruenční vztah.V případě , říkáme to a jsou shodný modulo .v třída ekvivalence prvku v darováno
- .
Tato třída rovnocennosti je také někdy psána jako a nazval "třídu zbytků modulo ".
Soubor všech takových tříd ekvivalence je označen ; stává se prstenem faktorový prsten nebo kvocientový kroužek z modulo , pokud jeden definuje
- ;
- .
(Zde je třeba zkontrolovat, zda jsou tyto definice dobře definované. Porovnat coset a kvocientová skupina.) Nulový prvek je a multiplikativní identita je .
Mapa z na definován je surjektivní kruhový homomorfismus, někdy nazývané přirozená kvocientová mapa nebo kanonický homomorfismus.
Příklady
- Kvocient prstenů R / {0} je přirozeně izomorfní na R, a R / R je nulový prsten {0}, protože podle naší definice pro všechny r v R, máme to [r] = r + "R": = {r + b : b ∈ „R“}}, což se rovná R sám. To odpovídá pravidlu, že čím větší je ideál Já, tím menší je kvocientový kroužek R / Já. Li Já je správný ideál R, tj., Já ≠ R, pak R / Já není nulový kruh.
- Zvažte prsten celá čísla Z a ideál sudá čísla, označeno 2Z. Poté zazvoní kvocient Z / 2Z má pouze dva prvky, coset 0+2Z skládající se z sudých čísel a cosetu 1+2Z skládající se z lichých čísel; použití definice, [z] = z + 2Z := {z + 2y: 2y ∈ 2Z}, kde 2Z je ideál sudých čísel. Je přirozeně izomorfní vůči konečné pole se dvěma prvky, F2. Intuitivně: pokud si myslíte, že všechna sudá čísla jsou 0, pak každé celé číslo je buď 0 (pokud je sudé), nebo 1 (pokud je liché, a proto se od sudého čísla liší 1). Modulární aritmetika je v kvocientovém kruhu v podstatě aritmetický Z / nZ (který má n elementy).
- Nyní zvažte prsten R[X] z polynomy v proměnné X s nemovitý koeficienty a ideální Já = (X2 + 1) skládající se ze všech násobků polynomu X2 + 1. Kvocient prstenů R[X] / (X2 + 1) je přirozeně izomorfní s polem komplexní čísla C, s třídou [X] hraje roli imaginární jednotka i. Důvod je ten, že jsme „přinutili“ X2 + 1 = 0, tj. X2 = −1, což je určující vlastnost i.
- Zobecněním předchozího příkladu se k konstrukci často používají kvocientové kroužky rozšíření pole. Předpokládat K. je nějaký pole a F je neredukovatelný polynom v K.[X]. Pak L = K.[X] / (F) je pole, jehož minimální polynom přes K. je F, který obsahuje K. stejně jako prvek X = X + (F).
- Jednou důležitou instancí předchozího příkladu je konstrukce konečných polí. Zvažte například pole F3 = Z / 3Z se třemi prvky. Polynom F(X) = X2 + 1 je neredukovatelný F3 (protože nemá kořen) a můžeme vytvořit kvocientový kruh F3[X] / (F). Toto je pole s 32 = 9 prvky, označené F9. Ostatní konečná pole mohou být konstruována podobným způsobem.
- The souřadnicové kroužky z algebraické odrůdy jsou důležité příklady kvocientových kroužků v algebraická geometrie. Jako jednoduchý případ zvažte skutečnou rozmanitost PROTI = {(X, y) | X2 = y3 } jako podmnožina skutečné roviny R2. Prsten polynomiálních funkcí se skutečnou hodnotou definovaný na PROTI lze identifikovat pomocí kvocientu R[X,Y] / (X2 − Y3), a toto je souřadnicový kruh PROTI. Odrůda PROTI je nyní vyšetřován studiem jeho souřadnicového kruhu.
- Předpokládat M je C.∞-potrubí, a str je bod M. Zvažte prsten R = C.∞(M) ze všech C.∞-funkce definované na M a nechte Já být ideální v R skládající se z těchto funkcí F které jsou v některých shodně nulové sousedství U z str (kde U může záviset na F). Poté zazvoní kvocient R / Já je prsten z bakterie C.∞-funkce zapnuta M na str.
- Zvažte prsten F konečných prvků a hyperrealistické pole *R. Skládá se ze všech hyperrealistických čísel lišících se od standardního reálného o nekonečně malé množství nebo ekvivalentně: ze všech hyperrealistických čísel X pro které standardní celé číslo n s −n < X < n existuje. Sada Já všech nekonečně malých čísel v *R, spolu s 0, je ideální v Fa kvocient kvocientu F / Já je izomorfní se skutečnými čísly R. Izomorfismus je vyvolán přidružením ke každému prvku X z F the standardní součást z X, tj. jedinečné reálné číslo, které se liší od X nekonečně malý. Ve skutečnosti člověk získá stejný výsledek, a to R, pokud jeden začíná prstenem F konečných hyperracionálů (tj. poměr dvojice hyperintegrátory ), viz konstrukce reálných čísel.
Alternativní komplexní letadla
Kvocienty R[X] / (X), R[X] / (X + 1), a R[X] / (X − 1) jsou všechny izomorfní R a nejprve získat malý zájem. Ale všimněte si toho R[X] / (X2) se nazývá dvojí číslo rovina v geometrické algebře. Skládá se pouze z lineárních binomií jako "zbytků" po zmenšení prvku R[X] od X2. Tato alternativní komplexní rovina vzniká jako a subalgebra kdykoli algebra obsahuje a skutečná linie a a nilpotentní.
Dále kruhový kvocient R[X] / (X2 − 1) se dělí na R[X] / (X + 1) a R[X] / (X − 1), takže tento prsten je často považován za přímý součet R ⊕ RAlternativní komplexní číslo z = X + y j je navrženo j jako kořen X2 − 1, ve srovnání s i jako kořen X2 + 1 = 0. Tato rovina rozdělená komplexní čísla normalizuje přímý součet R ' ⊕ R poskytnutím základu {1, j} pro 2-prostor, kde je identita algebry v jednotkové vzdálenosti od nuly. S tímto základem a jednotka hyperbola lze přirovnat k jednotkový kruh z obyčejná komplexní rovina.
Čtvrtky a alternativy
Předpokládat X a Y jsou dva, nedojíždějící, neurčí a tvoří bezplatná algebra R⟨X, Y⟩. Pak Hamilton čtveřice z roku 1843 lze vrhat jako
Li Y2 − 1 je nahrazen Y2 + 1, pak jeden získá prsten z rozdělené čtveřice. Nahrazení minusu za plus oba kvadratické dvojčleny mají také za následek rozdělení čtveřic. The antikomutativní majetek YX = −XY to naznačuje XY má jako svůj čtverec
- (XY)(XY) = X(YX)Y = −X(XY)Y = −XXYY = −1.
Tyto tři typy biquaternions lze také zapsat jako kvocienty pomocí volné algebry se třemi neurčitými R⟨X, Y, Z⟩ A budování vhodných ideálů.
Vlastnosti
jasně, jestli R je komutativní prsten, pak také je R / Já; konverzace však není obecně platná.
Přirozená kvocientová mapa str má Já jako jeho jádro; protože jádro každého prstencového homomorfismu je oboustranný ideál, můžeme konstatovat, že oboustranné ideály jsou přesně jádry prstencových homomorfismů.
Intimní vztah mezi prstencovými homomorfismy, jádry a kvocientovými kruhy lze shrnout následovně: kruhové homomorfismy definované na R / já jsou v podstatě stejné jako kruhové homomorfismy definované na R, které mizí (tj. jsou nulové) na I. Přesněji řečeno, vzhledem k oboustrannému ideálu Já v R a kruhový homomorfismus F : R → S jehož jádro obsahuje Jáexistuje přesně jeden prstencový homomorfismus G : R / Já → S s gp = F (kde str je přirozená kvocientová mapa). Mapa G zde je dáno přesně definovaným pravidlem G([A]) = F(A) pro všechny A v R. Opravdu tohle univerzální vlastnictví lze zvyknout definovat kvocienty kvocientů a jejich přirozené mapy kvocientů.
V důsledku výše uvedeného získáme základní tvrzení: každý prstenový homomorfismus F : R → S indukuje a kruhový izomorfismus mezi kvocientem R / ker (F) a obrázek im (F). (Viz také: základní věta o homomorfismech.)
Ideály R a R / Já spolu úzce souvisí: mapa přirozených kvocientů poskytuje a bijekce mezi oboustrannými ideály R které obsahují Já a oboustranné ideály R / Já (totéž platí pro levý i pravý ideál). Tento vztah mezi oboustranným ideálem se vztahuje i na vztah mezi odpovídajícími kvocienty kvocientů: pokud M je oboustranný ideál v R který obsahuje Jáa my píšeme M / Já pro odpovídající ideál v R / Já (tj. M / Já = str(M)), kvocient zazvoní R / M a (R / Já) / (M / Já) jsou přirozeně izomorfní prostřednictvím (dobře definovaného!) mapování A + M ↦ (A + Já) + M / Já.
Následující fakta se osvědčila v komutativní algebra a algebraická geometrie: pro R ≠ {0} komutativní R / Já je pole kdyby a jen kdyby Já je maximální ideál, zatímco R / Já je integrální doména kdyby a jen kdyby Já je hlavní ideál. Řada podobných tvrzení souvisí s vlastnostmi ideálu Já k vlastnostem kvocientového kruhu R / Já.
The Čínská věta o zbytku uvádí, že pokud je ideální Já je průsečík (nebo ekvivalentně součin) dvojice coprime ideály Já1, ..., Ják, pak kvocientový kroužek R / Já je isomorfní s produkt kvocientových kroužků R / Ján, n = 1, ..., k.
Pro algebry přes prsten
An asociativní algebra A přes komutativní prsten R je prsten sám. Li Já je ideální vA (uzavřeno pod R-multiplication) A / Já zdědí strukturu algebryR a je kvocient algebra.
Viz také
Poznámky
- ^ Jacobson, Nathan (1984). Struktura prstenů (přepracované vydání). American Mathematical Soc. ISBN 0-821-87470-5.
- ^ Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Abstraktní algebra (3. vyd.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
- ^ Lang, Serge (2002). Algebra. Postgraduální texty z matematiky. Springer. ISBN 0-387-95385-X.
Další reference
- F. Kasch (1978) Moduln und Ringe, přeložil DAR Wallace (1982) Moduly a kroužky, Akademický tisk, strana 33.
- Neal H. McCoy (1948) Prsteny a ideály, §13 Kruhy tříd reziduí, strana 61, Carus Mathematical Monographs # 8, Mathematical Association of America.
- Joseph Rotman (1998). Galois Theory (2. vydání). Springer. 21–3. ISBN 0-387-98541-7.
- B.L. van der Waerden (1970) Algebra, překládali Fred Blum a John R Schulenberger, nakladatelství Frederick Ungar Publishing, New York. Viz Kapitola 3.5, "Ideály. Zbytkové kroužky třídy", strany 47 až 51.
externí odkazy
- „Kvocient prstenu“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Ideály a faktorové kroužky od Johna Beachyho Abstraktní algebra online
- „Kvocient prstenu“. PlanetMath.