Polojediný modul - Semisimple module
v matematika, zejména v oblasti abstraktní algebra známý jako teorie modulů, a polojediný modul nebo zcela redukovatelný modul je typ modulu, kterému lze snadno porozumět z jeho částí. A prsten to je napůl jednoduchý modul, který je sám o sobě známý jako Artinian polojednoduchý prsten. Některé důležité prsteny, jako např skupinové kroužky z konečné skupiny přes pole charakteristické nuly, jsou polojednoduché kroužky. An Artinian prsten je zpočátku chápán prostřednictvím svého největšího polovičního kvocientu. Strukturu Artinianových polokruhů prstenů dobře rozumí Artin – Wedderburnova věta, který vykazuje tyto prsteny jako konečné přímé produkty z maticové kroužky.
Pro analogii teorie skupin se stejným pojmem viz polojednoduché zastoupení.
Definice
A modul o (ne nutně komutativním) kruhu s jednotou se říká, že je polojednoduchý (nebo zcela redukovatelné) pokud se jedná o přímý součet z jednoduchý (ireducibilní) podmoduly.
Pro modul M, ekvivalentní jsou následující:
- M je polojednoduchý; tj. přímý součet neredukovatelných modulů.
- M je součet jeho neredukovatelných submodulů.
- Každý submodul M je přímý součet: pro každý submodul N z M, existuje doplněk P takhle M = N ⊕ P.
Důkaz rovnocennosti viz Polojediné znázornění # Ekvivalentní charakterizace.
Nejzákladnějším příkladem polojednodušého modulu je modul přes pole; tj. a vektorový prostor. Na druhé straně prsten Z of integers is not a semiimimple module over him (because, for example, it is not a artinian ring.)
Polojediný je silnější než zcela rozložitelné,což je přímý součet z nerozložitelné podmoduly.
Nechat A být algebrou nad polem k. Pak levý modul M přes A se říká, že je absolutně poloviční pokud pro jakékoli rozšíření pole F z k, je napůl jednoduchý modul .
Vlastnosti
- Li M je polojednoduchý a N je submodul, pak N a M/N jsou také poloviční.
- Pokud každý je polojediný modul, pak také je .
- Modul M je definitivně generováno a polojediný, právě když je to Artinian a jeho radikální je nula.
Endomorfismus zvoní
- Polojediný modul M přes prsten R lze také považovat za kruhový homomorfismus z R do ringu abelianská skupina endomorfismy z M. Obraz tohoto homomorfismu je a poloprimitivní prsten a každý poloprimitivní prsten je isomorfní s takovým obrazem.
- The endomorfismus prsten polojednodušého modulu je nejen poloprimitivní, ale také von Neumann pravidelný, (Lam 2001, str. 62).
Půlkruhy
Prsten je prý (vlevo) -polojednoduchý pokud je polojediný jako levý modul nad sebou.[1] Překvapivě je levostranný polokruh také pravostranný a naopak. Rozlišování vlevo / vpravo je proto zbytečné a lze hovořit o polojednoduchých prstenech bez dvojznačnosti.
Polojediný prsten lze charakterizovat z hlediska homologické algebry: jmenovitě prsten R je polojediný právě tehdy, pokud existuje krátká přesná posloupnost vlevo (nebo vpravo) R- moduly se rozdělí. Zejména jakýkoli modul přes polojednoduchý prsten je injekční a projektivní. Vzhledem k tomu, že „projektivní“ znamená „plochý“, polojediný prsten je a von Neumann pravidelný prsten.
Polokruhové prstence jsou pro algebraisty zvláště zajímavé. Například pokud je základní kroužek R je poloviční, pak vše R-moduly by byly automaticky poloviční. Kromě toho každý jednoduchý (vlevo) R-module je izomorfní s minimem levého ideálu R, to znamená, R je levice Kaschův prsten.
Půlkruhy jsou oba Artinian a Noetherian. Z výše uvedených vlastností je prsten poloprostý, právě když je Artinian a jeho Jacobson radikální je nula.
Pokud Artinianův polojednoduchý prsten obsahuje pole jako a centrální podřízený, nazývá se to polojednoduchá algebra.
Příklady
- Komutativní polojediný prsten je konečný přímý produkt polí. Komutativní prsten je polojediný, právě když je artinian a snížena.[2]
- Li k je pole a G je konečná skupina řádu n, pak skupinové vyzvánění je polojediný právě tehdy, když charakteristický k se nerozdělí n. Tohle je Maschkeova věta, důležitý výsledek v teorie reprezentace skupin.
- Podle Artin – Wedderburnova věta, unital Artinian prsten R je polojediný, právě když je (izomorfní s) , kde každý je dělící prsten a každý je kladné celé číslo a označuje prsten z n-podle-n matice s položkami v D.
- Příkladem polojediného neunitálního prstenu je , řádková konečná, sloupcová konečná, nekonečná matice nad polem K..
Jednoduché prsteny
Je třeba si uvědomit, že i přes terminologii ne všechny jednoduché prsteny jsou poloprosté. Problém je v tom, že prsten může být „příliš velký“, tedy ne (levý / pravý) Artinian. Ve skutečnosti, pokud R je jednoduchý prsten s minimálním ideálem vlevo / vpravo R je polojednoduchý.
Klasické příklady jednoduchých, ale ne poloprostorových prstenů jsou Weylovy algebry, tak jako -algebra
což je jednoduchý nekomutativní doména. Těmto a mnoha dalším pěkným příkladům se podrobněji věnujeme v několika nekomutativních textech teorie prstenů, včetně kapitoly 3 Lamova textu, ve které jsou popsány jako neartinské jednoduché kruhy. The teorie modulů protože Weylovy algebry jsou dobře prostudovány a výrazně se liší od poloplných prstenců.
Jacobson napůl jednoduchý
Prsten se volá Jacobson napůl jednoduchý (nebo J-polojediný nebo poloprimitivní ) je-li průsečík maximálních levých ideálů nulový, tj. pokud Jacobson radikální je nula. Každý prsten, který je napůl jednoduchý jako modul nad sebou, má nulový Jacobsonův radikál, ale ne každý prsten s nulovým Jacobsonovým radikálem je napůl jednoduchý jako modul nad sebou. J-polojediný prsten je polojediný, právě když je artinianský prsten, takže se často nazývají polojednoduché kroužky artinianské polojednoduché prsteny vyhnout se zmatku.
Například kruh celých čísel, Z, je J-semisimple, ale ne artinian semi-simple.
Viz také
Reference
Poznámky
- ^ (Sengupta 2012, str. 125)
- ^ Bourbaki, VIII, str. 133.
Reference
- Bourbaki, Nicolas (2012), Algèbre Ch. 8 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-35315-7
- Jacobson, Nathan (1989), Základní algebra II (2. vyd.), W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5
- Lam, Tsit-Yuen (2001), První kurz v nekomutativních kruzích, Postgraduální texty z matematiky, 131 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 978-0-387-95325-0, PAN 1838439
- Lang, Serge (2002), Algebra (3. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0387953854
- R.S. Prorazit. Asociativní algebry. Postgraduální texty v matematice sv. 88.
- Sengupta, Ambar (2012). Reprezentace konečných skupin: polojednodušý úvod. New York. doi:10.1007/978-1-4614-1231-1_8. ISBN 9781461412311. OCLC 769756134.