Ocenění (algebra) - Valuation (algebra)

v algebra (zejména v algebraická geometrie nebo algebraická teorie čísel ), a ocenění je funkce na pole která poskytuje míru velikosti nebo mnohosti prvků pole. Zobecňuje se na komutativní algebra pojem velikosti vlastní s ohledem na stupeň a pól nebo multiplicita a nula ve složité analýze stupeň dělitelnosti čísla prvočíslem v teorii čísel a geometrický koncept Kontakt mezi dvěma algebraický nebo analytické odrůdy v algebraické geometrii. Pole s oceněním se nazývá a oceňované pole.

Definice

Jeden začíná následujícími objekty:

• A pole K. a jeho multiplikativní skupina K.^×,
• an abelian zcela objednaná skupina (Γ, +, ≥).

Objednávka a skupinové právo na Γ jsou rozšířeny na sadu Γ ∪ {∞}^[A] podle pravidel

• ∞ ≥ α pro všechny α ∈ Γ,
• ∞ + α = α + ∞ = ∞ pro všechny α ∈ Γ.

Pak ocenění K. je jakýkoli mapa

proti : K. → Γ ∪ {∞}

který splňuje následující vlastnosti pro všechny A, b v K.:

• proti(A) = ∞ kdyby a jen kdyby A = 0,
• proti(ab) = proti(A) + proti(b),
• proti(A + b) ≥ min (proti(A), proti(b)), s rovností, pokud proti(A) ≠ proti(b).

Ocenění proti je triviální -li proti(A) = 0 pro všechny A v K.^×jinak tomu tak je netriviální.

Druhá vlastnost tvrdí, že jakékoli ocenění je a skupinový homomorfismus. Třetí vlastnost je verzí nerovnost trojúhelníku na metrické prostory přizpůsobeno libovolnému Γ (viz Multiplikativní notace níže). Pro ocenění použitá v geometrický aplikace, první vlastnost znamená, že všechny neprázdné zárodek analytické odrůdy blízko bodu obsahuje tento bod.

Ocenění lze interpretovat jako pořadí termín vedoucího řádu.^[b] Třetí vlastnost pak odpovídá pořadí součtu, který je řádem většího termínu,^[C] pokud tyto dva termíny nemají stejné pořadí, v takovém případě mohou zrušit, v takovém případě může mít součet menší pořadí.

Pro mnoho aplikací Γ je aditivní podskupina reálných čísel ${ displaystyle mathbb {R}}$^[d] v takovém případě ∞ lze interpretovat jako + ∞ v rozšířená reálná čísla; Všimněte si, že ${ displaystyle min (a, + infty) = min (+ infty, a) = a}$ pro jakékoli reálné číslo A, a tedy + ∞ je jednotka v binární operaci minima. Skutečná čísla (rozšířená o + ∞) s operacemi minima a sčítání tvoří a semiring, nazvaný min tropický semiring,^[E] a ocenění proti je téměř semirující homomorfismus z K. k tropickému semiringu, až na to, že vlastnost homomorfismu může selhat, když se spojí dva prvky se stejným oceněním.

Multiplikativní notace a absolutní hodnoty

Mohli bychom to definovat^[1] stejný koncept psaní skupiny multiplikativní notace tak jako (Γ, ·, ≥): místo ∞ navazujeme na formální symbol Ó do Γ, přičemž zákon o objednávání a skupinách byl rozšířen o pravidla

• Ó ≤ α pro všechny α ∈ Γ,
• Ó · α = α · Ó = Ó pro všechny α ∈ Γ.

Pak ocenění K. je libovolná mapa

proti : K. → Γ ∪ {Ó}

splňující následující vlastnosti pro všechny A, b ∈ K.:

• proti(A) = Ó kdyby a jen kdyby A = 0,
• proti(ab) = proti(A) · proti(b),
• proti(A + b) ≤ max (proti(A), proti(b)), s rovností, pokud proti(A) ≠ proti(b).

(Všimněte si, že směry nerovností jsou obráceny od směrů v aditivní notaci.)

Pokud Γ je podskupina kladných reálných čísel při násobení, poslední podmínkou je ultrametrický nerovnost, silnější forma nerovnost trojúhelníku proti(A + b) ≤ proti(A) + proti(b), a proti je absolutní hodnota. V tomto případě můžeme přejít na aditivní notaci se skupinou hodnot ${ displaystyle Gamma _ {+} podmnožina ( mathbb {R}, +)}$ tím, že proti₊(A) = −log proti(A).

Každé ocenění zapnuto K. definuje odpovídající lineární předobjednávka: A ≼ b ⇔ proti(A) ≤ proti(b). Naopak, vzhledem k tomu, že „ying“ splňuje požadované vlastnosti, můžeme definovat ocenění proti(A) = {b: b ≼ A ∧ A ≼ b}, s násobením a objednáváním založeným na K. a ≼.

Terminologie

V tomto článku používáme termíny definované výše v aditivní notaci. Někteří autoři však používají alternativní termíny:

• naše „ocenění“ (uspokojující ultrametrickou nerovnost) se nazývá „exponenciální ocenění“ nebo „nearchimédská absolutní hodnota“ nebo „ultrametrická absolutní hodnota“;
• naše „absolutní hodnota“ (uspokojující nerovnost trojúhelníku) se nazývá „ocenění“ nebo „archimédova absolutní hodnota“.

Přidružené objekty

Z daného ocenění je definováno několik objektů proti : K. → Γ ∪ {∞} ;

• the hodnotová skupina nebo oceňovací skupina Γ_proti = proti(K.^×), podskupina Γ (ačkoli proti je obvykle surjektivní, takže Γ_proti = Γ);
• the oceňovací prsten R_proti je sada A ∈ K. s proti(A) ≥ 0,
• the hlavní ideál m_proti je sada A ∈ K. s proti(A)> 0 (ve skutečnosti jde o a maximální ideál z R_proti),
• the zbytek pole k_proti = R_proti/m_proti,
• the místo z K. spojené s proti, třída proti podle ekvivalence definované níže.

Základní vlastnosti

Rovnocennost ocenění

Dvě ocenění proti₁ a proti₂ z K. s oceňovací skupinou Γ₁ a Γ₂se říká, že jsou ekvivalent pokud existuje zachování objednávky skupinový izomorfismus φ : Γ₁ → Γ₂ takhle proti₂(A) = φ (proti₁(A)) pro všechny A v K.^×. Tohle je vztah ekvivalence.

Dvě ocenění K. jsou rovnocenné, pouze pokud mají stejný oceňovací kruh.

An třída ekvivalence ocenění pole se nazývá a místo. Ostrowského věta poskytuje úplnou klasifikaci míst pole racionální čísla ${ displaystyle mathbb {Q}:}$ to jsou přesně třídy ekvivalence ocenění pro p-adic dokončení z ${ displaystyle mathbb {Q}.}$

Rozšíření ocenění

Nechat proti být oceněním K. a nechte L být rozšíření pole z K.. An rozšíření proti (na L) je ocenění w z L takové, že omezení z w na K. je proti. Sada všech takových rozšíření je studována v teorie rozvětvení ocenění.

Nechat L/K. být konečné prodloužení a nechte w být příponou proti na L. The index z Γ_proti v Γ_w, e (w/proti) = [Γ_w : Γ_proti], se nazývá snížený index rozvětvení z w přes proti. Splňuje e (w/proti) ≤ [L : K.] ( stupeň rozšíření L/K.). The relativní stupeň z w přes proti je definován jako F(w/proti) = [R_w/m_w : R_proti/m_proti] (stupeň rozšíření polí reziduí). Rovněž je menší nebo roven stupni L/K.. Když L/K. je oddělitelný, index rozvětvení z w přes proti je definováno jako e (w/proti)pⁱ, kde pⁱ je neoddělitelný stupeň rozšíření R_w/m_w přes R_proti/m_proti.

Vyplňte hodnotná pole

Když objednaná abelianská skupina Γ je aditivní skupina celá čísla, související ocenění je ekvivalentní absolutní hodnotě, a proto indukuje a metrický na poli K.. Li K. je kompletní s ohledem na tuto metriku se pak nazývá a celé oceňované pole. Li K. není kompletní, lze použít ocenění ke konstrukci jeho dokončení, jako v příkladech níže, a různá ocenění mohou definovat různá pole vyplnění.

Ocenění obecně vyvolává a jednotná struktura na K., a K. se nazývá úplné oceňované pole, pokud je kompletní jako jednotný prostor. Existuje související vlastnost známá jako sférická úplnost: je to ekvivalent úplnosti, pokud ${ displaystyle Gamma = mathbb {Z},}$ ale obecně silnější.

Příklady

ocenění p-adic

Nejzákladnějším příkladem je p-adické ocenění proti_p spojené s prvočíslem p, na racionálních číslech ${ displaystyle K = mathbb {Q},}$ s oceňovacím prstencem ${ displaystyle R = mathbb {Z}.}$ Skupinou ocenění jsou aditivní celá čísla ${ displaystyle Gamma = mathbb {Z}.}$ Pro celé číslo ${ displaystyle a v R = mathbb {Z},}$ ocenění proti_p(A) měří dělitelnost A pravomocemi p:

${ displaystyle v_ {p} (a) = max {e in mathbb {Z} mid p ^ {e} { text {divides}} a };}$

a za zlomek, proti_p(A/b) = proti_p(A) − proti_p(b).

Psaní tohoto multiplikativně přináší p-adická absolutní hodnota, který má obvykle základnu ${ displaystyle 1 / p = p ^ {- 1}}$, tak ${ displaystyle | a | _ {p}: = p ^ {- v_ {p} (a)}}$.

The dokončení z ${ displaystyle mathbb {Q}}$ s ohledem na proti_p je pole ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ z p-adic čísla.

Pořadí zmizení

Nechť K = F(x), racionální funkce na afinní linii X = F¹, a vezměte si bod A ∈ X. Pro polynom ${ displaystyle f (x) = a_ {k} (x {-} a) ^ {k} + a_ {k + 1} (x {-} a) ^ {k + 1} + cdots + a_ {n } (x {-} a) ^ {n}}$ s ${ displaystyle a_ {k} neq 0}$, definovat proti_A(F) = k, pořadí zmizení v X = A; a proti_A(F /G) = proti_A(F) − proti_A(G). Pak oceňovací prsten R se skládá z racionálních funkcí bez pólu na X = Aa dokončení je formální série Laurent prsten F((X−A)). To lze zobecnit na pole Série Puiseux K.{{t}} (zlomkové mocniny), Pole Levi-Civita (jeho Cauchyho dokončení) a pole Série Hahn, přičemž ocenění ve všech případech vrací nejmenší exponent z t objevit se v seriálu.

π-adické ocenění

Zobecnění předchozích příkladů, pojďme R být hlavní ideální doména, K. být jeho pole zlomků, a π být neredukovatelný prvek z R. Protože každá hlavní ideální doména je jedinečná faktorizační doména, každý nenulový prvek A z R lze psát (v podstatě) jednoznačně jako

${ displaystyle a = pi ^ {e_ {a}} p_ {1} ^ {e_ {1}} p_ {2} ^ {e_ {2}} cdots p_ {n} ^ {e_ {n}}}$

Kde E's jsou nezáporná celá čísla a p_i jsou neredukovatelné prvky R to nejsou spolupracovníci z π. Zejména celé číslo E_A je jednoznačně určeno A.

The π-adic ocenění K. je pak dáno

• ${ displaystyle v _ { pi} (0) = infty}$
• ${ displaystyle v _ { pi} (a / b) = e_ {a} -e_ {b}, { text {pro}} a, b v R, a, b neq 0.}$

Pokud je π 'další neredukovatelný prvek R takové, že (π ') = (π) (tj. generují stejný ideál v R), pak jsou π-adic ocenění a π'-adic ocenění stejné. To znamená, že π-adic ocenění lze nazvat P-adické ocenění, kde P = (π).

P-adické ocenění na doméně Dedekind

Předchozí příklad lze zobecnit na Dedekindovy domény. Nechat R být doménou Dedekind, K. jeho pole zlomků, a nechť P být nenulovým hlavním ideálem R. Poté lokalizace z R na P, označeno R_P, je hlavní ideální doména, jejíž pole zlomků je K.. Konstrukce předchozí části byla aplikována na hlavní ideál PR_P z R_P výnosy P-adické ocenění K..

Geometrický pojem kontaktu

Ocenění lze definovat pro pole funkcí v prostoru dimenze větší než jedna. Připomeňme, že ocenění podle pořadí zmizení proti_A(F) zapnuto ${ displaystyle R = mathbb {C} [x]}$ měří multiplicitu bodu X = A v nulové sadě F; lze to považovat za řád Kontakt (nebo místní číslo křižovatky ) grafu y = F(X) s X-osa y = 0 blízko bodu (A, 0). Pokud místo X- osa, jedna opraví další neredukovatelnou rovinnou křivku h(X,y) = 0 a bod (A,b) lze obdobně definovat ocenění proti_h na ${ displaystyle R = mathbb {C} [x, y]}$ aby proti_h(F) je pořadí kontaktu (průsečíkové číslo) mezi pevnou křivkou a F(X,y) = 0 blízko (A,b). Toto ocenění se přirozeně vztahuje i na racionální funkce ${ displaystyle f / g v K = mathbb {C} (x, y).}$

Ve skutečnosti je tato konstrukce zvláštním případem ocenění π-adic na PID definovaném výše. Zvažte zejména místní prsten ${ displaystyle R = mathbb {C} [x, y] _ {(h)} = {{ tfrac {f} {g}} v mathbb {C} (x, y) střední h { text {nedělí}} g }}$, kruh racionálních funkcí, které jsou definovány v nějaké otevřené podmnožině křivky h = 0. Toto je PID; ve skutečnosti a diskrétní oceňovací kruh jejichž jedinými ideály jsou mocnosti ${ displaystyle (h) ^ {k}}$. Pak výše uvedené ocenění proti_h je π-adic ocenění odpovídající neredukovatelnému prvku π = h ∈ R.

Příklad: Zvažte křivku ${ displaystyle V_ {h}}$ definován ${ displaystyle h (x, y) = x ^ {3} -xy-y = 0}$, konkrétně graf ${ displaystyle textstyle y = { frac {x ^ {3}} {1-x}} = součet _ {n = 3} ^ { infty} x ^ {n},}$ blízko původu ${ displaystyle (a, b) = (0,0)}$. Tuto křivku lze parametrizovat pomocí ${ displaystyle t in mathbb {C}}$ tak jako:

${ displaystyle (x, y) = left (t, { frac {t ^ {3}} {1-t}} right) = left (t, sum _ {n = 3} ^ { infty} t ^ {n} right),}$

se zvláštním bodem (0,0) odpovídajícím t = 0. Nyní definujte ${ displaystyle v_ {h}: mathbb {C} [x, y] do mathbb {Z}}$ jako objednat formální mocenské řady v t získané omezení libovolného nenulového polynomu ${ displaystyle f in mathbb {C} [x, y]}$ na křivku PROTI_h:

${ displaystyle v_ {h} (f) = mathrm {ord} _ {t} (f | _ {V_ {h}}) = mathrm {ord} _ {t} vlevo (f (t, součet _ {n = 3} ^ { infty} t ^ {n}) right), quad { text {for}} f in mathbb {C} [x, y].}$

To sahá i do oblasti racionálních funkcí ${ displaystyle mathbb {C} (x, y)}$ podle ${ displaystyle v_ {h} (f / g) = v_ {h} (f) -v_ {h} (g)}$, spolu s ${ displaystyle v_ {h} (0) = infty}$.

Některá čísla křižovatek:

${ displaystyle { begin {aligned} v_ {h} (x) & = mathrm {ord} _ {t} (t) = 1 v_ {h} (x ^ {6} -y ^ {2} ) & = mathrm {ord} _ {t} left (t ^ {6} -t ^ {6} -2t ^ {7} -3t ^ {8} - cdots right) = mathrm {ord} _ {t} left (-2t ^ {7} -3t ^ {8} - cdots right) = 7 v_ {h} left ({ frac {x ^ {6} -y ^ {2 }} {x}} right) & = mathrm {ord} _ {t} left (-2t ^ {7} -3t ^ {8} - cdots right) - mathrm {ord} _ {t } (t) = 7-1 = 6 end {zarovnáno}}}$

Vektorový prostor nad oceňovacími poli

Předpokládejme to Γ ∪ {0} je množina nezáporných reálných čísel při násobení. Pak řekneme, že ocenění je nediskrétní pokud je jeho rozsah (skupina ocenění) nekonečný (a proto má akumulační bod na 0).

Předpokládejme to X je vektorový prostor K. a to A a B jsou podmnožiny X. Pak to říkáme A absorbuje B pokud existuje α ∈ K. takhle λ ∈ K. a | λ | ≥ | α | to naznačuje B ⊆ λ A. A je nazýván radiální nebo pohlcující -li A absorbuje každou konečnou podmnožinu X. Radiální podmnožiny X jsou neměnné pod konečným průnikem. Taky, A je nazýván zakroužkoval -li λ v K. a | λ | ≥ | α | naznačuje λ A ⊆ A. Sada podskupin v kruhu L je invariantní pod libovolnými křižovatkami. The kroužil trup z A je průsečík všech podskupin v kruhu X obsahující A.

Předpokládejme to X a Y jsou vektorové prostory nad nediskrétním oceňovacím polem K., nechť A ⊆ X, B ⊆ Ya nechte f: X → Y být lineární mapa. Li B je kruhový nebo radiální, pak také je ${ displaystyle f ^ {- 1} (B)}$. Li A je zakroužkováno, pak také f (A) ale pokud A je pak radiální f (A) bude radiální za dodatečné podmínky, že F je surjektivní.

Viz také

• Diskrétní ocenění
• Euklidovské ocenění
• Polní norma

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Danilov, V.I. (2001) [1994], "Ocenění", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Diskrétní ocenění na PlanetMath.org.
• Ocenění na PlanetMath.org.
• Weisstein, Eric W. "Ocenění". MathWorld.