Charakteristická třída - Characteristic class - Wikipedia

v matematika, a charakteristická třída je způsob přidružení ke každému hlavní balíček z X A kohomologie třída X. Třída kohomologie měří, do jaké míry je svazek „zkroucený“ a zda má sekce. Charakteristické třídy jsou globální invarianty které měří odchylku a místní struktura produktu z globální struktury produktu. Jsou jedním ze sjednocujících geometrických konceptů v algebraická topologie, diferenciální geometrie, a algebraická geometrie.

Pojem charakteristické třídy vznikl v roce 1935 v díle Eduard Stiefel a Hassler Whitney o vektorových polích na potrubích.

Definice

Nechat G být topologická skupina a pro topologický prostor ${ displaystyle X}$ , psát si ${ displaystyle b_ {G} (X)}$ pro soubor třídy izomorfismu z ředitel školy G- svazky přes ${ displaystyle X}$ . Tento ${ displaystyle b_ {G}}$ je kontravariantní funktor z Horní (dále jen kategorie topologických prostorů a spojité funkce ) až Soubor (kategorie sady a funkce ), odeslání mapy ${ displaystyle f dvojtečka X až Y}$ do zarazit úkon ${ displaystyle f ^ {*} dvojtečka b_ {G} (Y) až b_ {G} (X)}$ .

A charakteristická třída C jistiny G-bundles je pak a přirozená transformace z ${ displaystyle b_ {G}}$ na funktor kohomologie ${ displaystyle H ^ {*}}$ , považovaný také za funktora Soubor.

Jinými slovy, charakteristická třída se přidruží ke každému činiteli G- svazek ${ displaystyle P až X}$ v ${ displaystyle b_ {G} (X)}$ prvek C(P) v H*(X) takové, že pokud F : Y → X je tedy spojitá mapa C(F*P) = F*C(P). Na levé straně je třída pullback z P na Y; na pravé straně je obrázek třídy P pod indukovanou mapou v cohomologii.

Charakteristická čísla

Charakteristické třídy jsou prvky kohomologických skupin;^[1] lze získat celá čísla z charakteristických tříd, tzv charakteristická čísla. Některé důležité příklady charakteristických čísel jsou Čísla Stiefel – Whitney, Chern čísla, Čísla pontryaginu a Eulerova charakteristika.

Vzhledem k orientovanému potrubí M dimenze n s základní třída ${ displaystyle [M] v H_ {n} (M)}$ a G- svazek s charakteristickými třídami ${ displaystyle c_ {1}, tečky, c_ {k}}$ lze spárovat produkt charakteristických tříd celkového stupně n se základní třídou. Počet odlišných charakteristických čísel je počet monomials stupně n v charakteristických třídách nebo ekvivalentně oddílech n do ${ displaystyle { mbox {deg}} , c_ {i}}$ .

Formálně, vzhledem k tomu ${ displaystyle i_ {1}, tečky, i_ {l}}$ takhle ${ displaystyle sum { mbox {deg}} , c_ {i_ {j}} = n}$ , odpovídající charakteristické číslo je:

{ displaystyle c_ {i_ {1}} úsměv c_ {i_ {2}} úsměv tečky úsměv c_ {i_ {l}} ([M])}

kde ${ displaystyle úsměv}$ označuje pohárový produkt cohomology classes.These are notated various as either a product of significant classes, such as ${ displaystyle c_ {1} ^ {2}}$ nebo jinou alternativní notací, například ${ displaystyle P_ {1,1}}$ pro Pontryagin číslo souhlasí s ${ displaystyle p_ {1} ^ {2}}$ nebo ${ displaystyle chi}$ pro Eulerovu charakteristiku.

Z pohledu de Rhamova kohomologie, jeden může vzít diferenciální formy představující charakteristické třídy,^[2] vezměte klínový produkt tak, že získáte vrcholnou dimenzionální formu a poté se integrujete do potrubí; to je analogické s tím, že se produkt používá v cohomologii a párování se základní třídou.

To funguje také pro neorientovatelné rozdělovače, které mají a ${ displaystyle mathbf {Z} / 2 mathbf {Z}}$ -orientace, v takovém případě jeden získá ${ displaystyle mathbf {Z} / 2 mathbf {Z}}$ -hodnota charakteristických čísel, jako jsou čísla Stiefel-Whitney.

Charakteristická čísla řeší orientované a neorientované bordismus otázky: dvě potrubí jsou (respektive orientovaná nebo neorientovaná) cobordant právě tehdy, pokud jsou jejich charakteristické počty stejné.

Motivace

Charakteristické třídy jsou jevy teorie cohomologie podstatným způsobem - jsou protikladný stavby způsobem, který a sekce je druh funkce na prostor, a abychom vedli k rozporu s existencí sekce, potřebujeme tuto odchylku. Teorie kohomologie ve skutečnosti vyrostla poté homologie a teorie homotopy, což jsou oba kovariantní teorie založené na mapování do prostor; a charakteristická třídní teorie v počátcích třicátých let (jako součást teorie obstrukce ) byl jedním z hlavních důvodů, proč byla hledána „duální“ teorie k homologii. Přístup charakteristické třídy k zakřivení invarianty byly zvláštním důvodem k vytvoření teorie, k prokázání obecnosti Věta o Gauss-Bonnetovi.

Když byla teorie organizovaně postavena kolem roku 1950 (s definicemi redukovanými na teorii homotopy), vyšlo najevo, že nejzákladnější charakteristické třídy známé v té době ( Třída Stiefel – Whitney, Třída Chern a Třídy Pontryagin ) byly odrazy klasických lineárních skupin a jejich maximální torus struktura. Samotná třída Chern navíc nebyla tak nová, protože se odrazila v Schubertův počet na Grassmannians a práce Italská škola algebraické geometrie. Na druhou stranu nyní existoval rámec, který vytvářel rodiny tříd, kdykoli tam byl vektorový svazek zapojen.

Hlavním mechanismem se pak zdálo být toto: Dostal prostor X nesoucí vektorový svazek, který vyplývá z kategorie homotopy mapování z X do a třídicí prostor BG, pro příslušnou lineární skupinu G. Pro teorii homotopy jsou příslušné informace přenášeny kompaktními podskupinami, jako je ortogonální skupiny a unitární skupiny z G. Kdysi cohomologie ${ displaystyle H ^ {*} (BG)}$ byla vypočítána jednou provždy, vlastnost kontravariance cohomologie znamenala, že charakteristické třídy pro svazek budou definovány v ${ displaystyle H ^ {*} (X)}$ ve stejných rozměrech. Například Třída Chern je opravdu jedna třída s odstupňovanými komponentami v každé sudé dimenzi.

Toto je stále klasické vysvětlení, i když v dané geometrické teorii je výhodné brát v úvahu zvláštní strukturu. Když se cohomologie s příchodem stala „mimořádnou“ K-teorie a teorie cobordism od roku 1955 bylo nutné pouze změnit dopis H všude říkat, jaké byly charakteristické třídy.

Charakteristické třídy byly později nalezeny pro foliace z rozdělovače; mají (v modifikovaném smyslu pro foliace s některými povolenými singularitami) klasifikační vesmírnou teorii homotopy teorie.

V pozdější práci po sblížení matematiky a fyzika, byly nalezeny nové charakteristické třídy Simon Donaldson a Dieter Kotschick v instanton teorie. Práce a úhel pohledu Chern se také ukázaly jako důležité: viz Teorie Chern – Simons.

Stabilita

V jazyce stabilní homotopická teorie, Třída Chern, Třída Stiefel – Whitney, a Třída Pontryagin jsou stabilní, zatímco Eulerova třída je nestabilní.

Konkrétně je stabilní třída taková, která se nemění, když přidáte triviální balíček: ${ displaystyle c (V oplus 1) = c (V)}$ . Více abstraktně to znamená, že třída cohomologie v třídicí prostor pro ${ displaystyle BG (n)}$ se stáhne ze třídy kohomologie dovnitř ${ displaystyle BG (n + 1)}$ pod zahrnutím ${ displaystyle BG (n) až BG (n + 1)}$ (což odpovídá zařazení ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n} do mathbf {R} ^ {n + 1}}$ a podobné). Ekvivalentně se všechny konečné třídy charakteristik stáhnou ze stabilní třídy dovnitř ${ displaystyle BG}$ .

To není případ třídy Euler, jak je zde podrobně uvedeno, v neposlední řadě proto, že třída Euler a k-rozměrný svazek žije v ${ displaystyle H ^ {k} (X)}$ (proto odtáhne od ${ displaystyle H ^ {k} (BO (k))}$ , takže se nemůže vrátit zpět z kurzu ${ displaystyle H ^ {k + 1}}$ , protože rozměry se liší.

Viz také

Poznámky

^ Neformální charakteristické třídy „žijí“ v kohomologii.
^ Podle Teorie Chern-Weil, jedná se o polynomy v zakřivení; podle Hodgeova teorie, jeden může mít harmonickou formu.

Reference

Chern, Shiing-Shen (1995). Složitá potrubí bez teorie potenciálu. Springer-Verlag Press. ISBN 0-387-90422-0. ISBN 3-540-90422-0.
Příloha této knihy: „Geometrie charakteristických tříd“ je velmi úhledným a hlubokým úvodem do vývoje myšlenek charakteristických tříd.
Hatcher, Allen, Vektorové svazky a K-teorie
Husemoller, Dale (1966). Svazky vláken (3. vydání, Springer 1993 ed.). McGraw Hill. ISBN 0387940871.
Milnor, John W.; Stasheff, Jim (1974). Charakteristické třídy. Annals of Mathematics Studies. 76. Princeton University Press, Princeton, NJ; University of Tokyo Press, Tokio. ISBN 0-691-08122-0.

[1] Neformální charakteristické třídy „žijí“ v kohomologii.

[2] Podle Teorie Chern-Weil, jedná se o polynomy v zakřivení; podle Hodgeova teorie, jeden může mít harmonickou formu.

[1]

[2]