Skalární násobení - Scalar multiplication

Skalární násobení vektoru faktorem 3 vektor roztáhne.

Skalární množení -A a 2A vektoru A

v matematika, skalární násobení je jednou ze základních operací definujících a vektorový prostor v lineární algebra^[1][2][3] (nebo obecněji a modul v abstraktní algebra^[4][5]). V běžných geometrických kontextech je skalární násobení a nemovitý Euklidovský vektor kladným reálným číslem vynásobí velikost vektoru - beze změny jeho směru. Termín "skalární "sám pochází z tohoto použití: skalární je to, které váhy vektory. Skalární násobení je násobení vektoru skalárem (kde produktem je vektor) a je třeba jej odlišit od vnitřní produkt dvou vektorů (kde produkt je skalární).

Definice

Obecně, pokud K. je pole a PROTI je vektorový prostor K., pak je skalární násobení a funkce z K. × PROTI na PROTIVýsledek použití této funkce na k v K. a proti v PROTI je označen kproti.^[6]

Vlastnosti

Skalární násobení se řídí následujícími pravidly (vektor v tučně ):

• Aditivita ve skalárním: (C + d)proti = Cproti + dproti;
• Aditivita ve vektoru: C(proti + w) = Cproti + Cw;
• Kompatibilita součinu skalárů se skalárním násobením: (CD)proti = C(dproti);
• Vynásobením 1 se vektor nezmění: 1proti = proti;
• Vynásobením 0 získáte nulový vektor: 0proti = 0;
• Vynásobením −1 získáte aditivní inverzní: (−1)proti = −proti.

Tady je + přidání podle potřeby buď v poli, nebo ve vektorovém prostoru; a 0 je aditivní identita v obou.Juxtapozice označuje buď skalární násobení, nebo násobení provoz v terénu.

Výklad

Na skalární množení lze pohlížet jako na externí binární operace nebo jako akce pole ve vektorovém prostoru. A geometrický interpretace skalárního násobení spočívá v tom, že roztahuje nebo smršťuje vektory konstantním faktorem. Výsledkem je, že produkuje vektor ve stejném nebo opačném směru jako původní vektor, ale jiné délky.^[7]

Jako zvláštní případ PROTI lze považovat za K. sám o sobě a skalární násobení lze potom považovat za jednoduše násobení v poli.

Když PROTI je K.ⁿ, skalární násobení je ekvivalentní násobení každé složky se skalárem, a lze jej tak definovat.

Stejná myšlenka platí, pokud K. je komutativní prsten a PROTI je modul přes K..K. může být dokonce a souprava, ale pak není aditivní inverzní K. není komutativní, odlišné operace levé skalární násobení Cproti a pravé skalární násobení protiC mohou být definovány.

Skalární násobení matic

The levé skalární násobení matice A se skalárem λ dává další matici stejné velikosti jako A. Označuje to λA,^[6] jehož záznamy z λA jsou definovány

${ displaystyle ( lambda mathbf {A}) _ {ij} = lambda left ( mathbf {A} right) _ {ij} ,,}$

výslovně:

${ displaystyle lambda mathbf {A} = lambda { begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} & cdots & A_ {1m} A_ {21} & A_ {22} & cdots & A_ {2m } vdots & vdots & ddots & vdots A_ {n1} & A_ {n2} & cdots & A_ {nm} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} lambda A_ { 11} & lambda A_ {12} & cdots & lambda A_ {1m} lambda A_ {21} & lambda A_ {22} & cdots & lambda A_ {2m} vdots & vdots & ddots & vdots lambda A_ {n1} & lambda A_ {n2} & cdots & lambda A_ {nm} end {pmatrix}} ,.}$

Podobně pravé skalární násobení matice A se skalárem λ je definován jako

${ displaystyle ( mathbf {A} lambda) _ {ij} = left ( mathbf {A} right) _ {ij} lambda ,,}$

výslovně:

${ displaystyle mathbf {A} lambda = { begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} & cdots & A_ {1m} A_ {21} & A_ {22} & cdots & A_ {2m} vdots & vdots & ddots & vdots A_ {n1} & A_ {n2} & cdots & A_ {nm} end {pmatrix}} lambda = { begin {pmatrix} A_ {11} lambda & A_ {12} lambda & cdots & A_ {1m} lambda A_ {21} lambda & A_ {22} lambda & cdots & A_ {2m} lambda vdots & vdots & ddots & vdots A_ {n1} lambda & A_ {n2} lambda & cdots & A_ {nm} lambda end {pmatrix}} ,.}$

Když podkladové prsten je komutativní například nemovitý nebo komplexní číslo pole, tato dvě násobení jsou stejná a jednoduše se nazývají skalární násobení. Avšak pro matice přes obecnější prsten to jsou ne komutativní, jako je čtveřice, nemusí být stejné.

Pro skutečný skalár a matici:

${ displaystyle lambda = 2, quad mathbf {A} = { begin {pmatrix} a & b c & d konec {pmatrix}}}$

${ displaystyle 2 mathbf {A} = 2 { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 2 ! cdot ! a & 2 ! cdot ! b 2 ! cdot ! c & 2 ! cdot ! d end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} a ! cdot ! 2 & b ! cdot ! 2 c ! cdot ! 2 & d ! cdot ! 2 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} 2 = mathbf {A} 2 .}$

Pro čtveřice skalárů a matic:

${ displaystyle lambda = i, quad mathbf {A} = { begin {pmatrix} já & 0 0 & j konec {pmatrix}}}$

${ displaystyle i { begin {pmatrix} i & 0 0 & j end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} i ^ {2} & 0 0 & ij end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 0 0 & k end {pmatrix}} neq { begin {pmatrix} -1 & 0 0 & -k end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} i ^ {2 } & 0 0 & ji end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} i & 0 0 & j end {pmatrix}} i ,,}$

kde i, j, k jsou čtveřice jednotek. Nekomutativita množení čtveřic brání přechodu změn ij = +k na ji = −k.

Viz také

• Tečkovaný produkt
• Násobení matic
• Násobení vektorů
• Produkt (matematika)

Reference