Kvazi-algebraicky uzavřené pole - Quasi-algebraically closed field
v matematika, a pole F je nazýván kvazi-algebraicky uzavřeno (nebo C1) pokud každý nekonstantní homogenní polynom P přes F má netriviální nulu za předpokladu, že počet jejích proměnných je větší než její stupeň. Myšlenka kvazi-algebraicky uzavřených polí byla zkoumána C. C. Tsen, student Emmy Noetherová, v dokumentu z roku 1936 (Tsen 1936 ); a později Serge Lang v jeho 1951 Univerzita Princeton disertační práce a ve své práci z roku 1952 (Lang 1952 ). Samotný nápad je přičítán Langovu poradci Emil Artin.
Formálně, pokud P je nekonstantní homogenní polynom v proměnných
- X1, ..., XN,
a stupně d uspokojující
- d < N
pak má netriviální nulu F; to znamená pro některé Xi v F, ne všech 0, máme
- P(X1, ..., XN) = 0.
V geometrickém jazyce nadpovrch definován P, v projektivní prostor stupně N - 2, pak má bod přes F.
Příklady
- Žádný algebraicky uzavřené pole je kvazi-algebraicky uzavřeno. Ve skutečnosti má jakýkoli homogenní polynom v alespoň dvou proměnných nad algebraicky uzavřeným polem netriviální nulu.[1]
- Žádný konečné pole je kvazi-algebraicky uzavřena Chevalleyova varovná věta.[2][3][4]
- Algebraické funkční pole dimenze 1 přes algebraicky uzavřená pole jsou kvazi-algebraicky uzavřena Tsenova věta.[3][5]
- Maximální unramified rozšíření kompletního pole s diskrétním oceněním a perfektní zbytkové pole je kvazi-algebraicky uzavřeno.[3]
- Kompletní pole s diskrétním oceněním a algebraicky uzavřeným polem reziduí je kvázi algebraicky uzavřeno výsledkem Langa.[3][6]
- A pseudo algebraicky uzavřené pole z charakteristický nula je kvazi-algebraicky uzavřená.[7]
Vlastnosti
- Jakékoli algebraické rozšíření kvazi-algebraicky uzavřeného pole je kvazi-algebraicky uzavřené.
- The Brauerova skupina konečného prodloužení kvazi-algebraicky uzavřeného pole je triviální.[8][9][10]
- Kvazi-algebraicky uzavřené pole má cohomologická dimenze maximálně 1.[10]
Ck pole
Také se nazývají kvazi-algebraicky uzavřená pole C1. A Ck pole, obecněji, je ten, pro který je jakýkoli homogenní polynom stupně d v N proměnné má netriviální nulu
- dk < N,
pro k ≥ 1.[11] Stav byl poprvé představen a studován Langem.[10] Pokud je pole C.i pak je to konečné rozšíření.[11][12] C.0 pole jsou přesně algebraicky uzavřená pole.[13][14]
Lang a Nagata dokázali, že pokud pole je Ck, pak jakékoli rozšíření stupeň transcendence n je Ck+n.[15][16][17] Nejmenší k takhle K. je Ck pole ( pokud takové číslo neexistuje), nazývá se diofantická dimenze dd(K.) z K..[13]
C1 pole
Každé konečné pole je C1.[7]
C2 pole
Vlastnosti
Předpokládejme, že pole k je C2.
- Jakékoli šikmé pole D konečný konec k as centrum má tu vlastnost, že snížená norma D∗ → k∗ je surjektivní.[16]
- Každá kvadratická forma v 5 nebo více proměnných k je izotropní.[16]
Artinova domněnka
Artin si to myslel p-adická pole byly C2, ale Guy Terjanian nalezeno p-adické protiklady pro všechny p.[18][19] The Axe-Kochenova věta použité metody z teorie modelů ukázat, že Artinova domněnka byla pravdivá Qp s p dostatečně velký (v závislosti na d).
Slabě C.k pole
Pole K. je slabě C.k,d pokud pro každý homogenní polynom stupně d v N uspokojivé proměnné
- dk < N
the Zariski zavřel soubor PROTI(F) z Pn(K.) obsahuje a podrodina což je Zariski uzavřený K..
Pole, které je slabě C.k,d pro každého d je slabě C.k.[2]
Vlastnosti
- A C.k pole je slabě C.k.[2]
- A perfektní PAC slabě C.k pole je C.k.[2]
- Pole K. je slabě C.k,d právě tehdy, má-li každá forma splňující podmínky smysl X definováno nad polem, které je a primární rozšíření z K..[20]
- Pokud je pole slabě C.k, pak jakékoli rozšíření stupně transcendence n je slabě C.k+n.[17]
- Jakékoli rozšíření algebraicky uzavřeného pole je slabě C.1.[21]
- Každé pole s procyklickou absolutní Galoisovou skupinou je slabě C.1.[21]
- Jakékoli pole pozitivní charakteristiky je slabě C.2.[21]
- Pokud pole racionálních čísel a funkční pole jsou slabě C.1, pak je každé pole slabě C.1.[21]
Viz také
Citace
- ^ Fried & Jarden (2008), s. 455
- ^ A b C d Fried & Jarden (2008), s. 456
- ^ A b C d Serre (1979) str. 162
- ^ Gille & Szamuley (2006), s. 142
- ^ Gille & Szamuley (2006), s. 143
- ^ Gille & Szamuley (2006), s. 144
- ^ A b Fried & Jarden (2008), s. 462
- ^ Lorenz (2008) s. 181
- ^ Serre (1979) str. 161
- ^ A b C Gille & Szamuely (2006), s. 141
- ^ A b Serre (1997) str.87
- ^ Lang (1997) str. 245
- ^ A b Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008). Kohomologie číselných polí. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 323 (2. vyd.). Springer-Verlag. p. 361. ISBN 3-540-37888-X.
- ^ Lorenz (2008), s. 116
- ^ Lorenz (2008) s. 119
- ^ A b C Serre (1997) str.88
- ^ A b Fried & Jarden (2008), s. 459
- ^ Terjanian, chlapi (1966). „Un contre-example à une dohecture d'Artin“. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A-B (francouzsky). 262: A612. Zbl 0133.29705.
- ^ Lang (1997) str. 247
- ^ Fried & Jarden (2008), s. 457
- ^ A b C d Fried & Jarden (2008), s. 461
Reference
- Axe, Jamesi; Kochen, Simon (1965). "Diophantine problémy přes místní pole I". Amer. J. Math. 87: 605–630. doi:10.2307/2373065. Zbl 0136.32805.
- Fried, Michael D .; Jarden, Moshe (2008). Polní aritmetika. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 11 (3. přepracované vydání). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001.
- Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Centrální jednoduché algebry a galoisova kohomologie. Cambridge studia pokročilé matematiky. 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001.
- Greenberg, M. J. (1969). Přednášky forem v mnoha proměnných. Série přednášek z matematiky. New York-Amsterdam: W.A. Benjamin. Zbl 0185.08304.
- Lang, Serge (1952), „On quasi algebraic closure“, Annals of Mathematics, 55: 373–390, doi:10.2307/1969785, Zbl 0046.26202
- Lang, Serge (1997). Průzkum diofantické geometrie. Springer-Verlag. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051.
- Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Springer. 109–126. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001.
- Serre, Jean-Pierre (1979). Místní pole. Postgraduální texty z matematiky. 67. Přeloženo Greenberg, Marvin Jay. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90424-7. Zbl 0423.12016.
- Serre, Jean-Pierre (1997). Galoisova kohomologie. Springer-Verlag. ISBN 3-540-61990-9. Zbl 0902.12004.
- Tsen, C. (1936), „Zur Stufentheorie der Quasi-algebraisch-Abgeschlossenheit kommutativer Körper“, J. Chinese Math. Soc., 171: 81–92, Zbl 0015.38803