Věta o struktuře pro konečně generované moduly nad hlavní ideální doménou - Structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain
v matematika, v oblasti abstraktní algebra, věta o struktuře pro konečně generované moduly nad hlavní ideální doménou je zobecněním základní věta o konečně generovaných abelianských skupinách a zhruba to říká definitivně generováno moduly přes hlavní ideální doména (PID) lze jednoznačně rozložit stejným způsobem celá čísla mít Prvočíselný rozklad. Výsledek poskytuje jednoduchý rámec pro pochopení různých výsledků kanonické formy pro čtvercové matice přes pole.
Tvrzení
Když vektorový prostor přes pole F má konečný generující množinu, lze z ní extrahovat a základ skládající se z konečného čísla n vektorů, a prostor je tedy izomorfní na Fn. Odpovídající prohlášení s F zobecněn na a hlavní ideální doména R již neplatí, protože základ pro a konečně generovaný modul přes R nemusí existovat. Takový modul je však stále izomorfní s a kvocient nějakého modulu Rn s n konečný (k tomu stačí postavit morfismus, který vysílá prvky kanonického základu Rn generátorům modulu a vezměte kvocient jeho jádro.) Změnou volby generující množiny lze ve skutečnosti popsat modul jako kvocient některých Rn obzvláště jednoduchým submodul, a toto je věta o struktuře.
Věta o struktuře pro konečně generované moduly nad hlavní ideální doménou se obvykle objevuje v následujících dvou formách.
Invariantní rozklad faktoru
Pro každý konečně vygenerovaný modul M přes hlavní ideální doménu R, existuje jedinečná klesající posloupnost správně ideály takhle M je isomorfní s součet z cyklické moduly:
Generátory ideálů je jedinečných až do znásobení a jednotka a jsou voláni invariantní faktory z M. Vzhledem k tomu, že ideály by měly být správné, nesmí být tyto faktory samy o sobě invertibilní (vyhýbá se tak triviálním faktorům v součtu) a zahrnutí ideálů znamená, že člověk má dělitelnost . Volná část je viditelná v části rozkladu odpovídající faktorům . Takové faktory, pokud existují, se vyskytují na konci sekvence.
Zatímco přímý součet je jednoznačně určen M, izomorfismus poskytující samotný rozklad je není jedinečný obecně. Například pokud R je vlastně pole, pak všechny vyskytující se ideály musí být nulové a jeden získá rozklad konečného rozměrného vektorového prostoru na přímý součet jednorozměrného podprostory; počet takových faktorů je pevný, konkrétně rozměr prostoru, ale existuje spousta volnosti při výběru samotných podprostorů (pokud ztlumit M > 1).
Nenulová prvků, spolu s počtem které jsou nula, tvoří a kompletní sada invarianty pro modul. Výslovně to znamená, že jakékoli dva moduly sdílející stejnou sadu invariantů jsou nutně izomorfní.
Někteří dávají přednost psaní volné části M odděleně:
kde je viditelné jsou nenulové a F je počet jsou v původní sekvenci, která je 0.
Primární rozklad
- Každý konečně vygenerovaný modul M přes hlavní ideální doménu R je izomorfní s jednou z forem
- kde a jsou primární ideály. The jsou jedinečné (až do násobení jednotkami).
Elementy se nazývají základní dělitelé z M. V PID jsou nenulové primární ideály mocniny prvočísel atd . Když , výsledný nerozložitelný modul je sám, a to je uvnitř části M to je bezplatný modul.
Summandové jsou nerozložitelný, takže primární rozklad je rozklad na nerozložitelné moduly, a tedy každý konečně generovaný modul přes PID je zcela rozložitelný modul. Protože PID jsou Noetherian prsteny, lze to považovat za projev Lasker-Noetherova věta.
Stejně jako dříve je možné napsat volnou část (kde ) samostatně a vyjádřit M tak jako:
kde je viditelné jsou nenulové.
Důkazy
Jeden důkaz probíhá následovně:
- Každý konečně vygenerovaný modul přes PID je také konečně představen protože PID je Noetherian, ještě silnější podmínka než soudržnost.
- Vezměte si prezentaci, kterou je mapa (vztahy k generátorům) a vložte to Smith normální forma.
Tím se získá rozklad invariantních faktorů a diagonální vstupy Smithova normálního tvaru jsou invariantní faktory.
Další osnova důkazu:
- Označit podle tM the torzní submodul z M. Pak M/tM je definitivně generován bez kroucení modul a takový modul přes komutativní PID je a bezplatný modul konečný hodnost, takže je izomorfní pro kladné celé číslo n. Tento bezplatný modul může být vložený jako submodul F z M, takže vložení rozděluje (je pravou inverzí) projekční mapu; stačí zvednout každý z generátorů F do M. Jako následek .
- Pro hlavní prvek p v R pak můžeme mluvit o . Toto je submodul tMa ukázalo se, že každý Np je přímý součet cyklických modulů, a to tM je přímý součet Np pro konečný počet odlišných prvočísel p.
- Spojením předchozích dvou kroků M se rozkládá na cyklické moduly uvedených typů.
Dodatky
To zahrnuje klasifikaci konečných trojrozměrných vektorových prostorů jako speciální případ, kde . Protože pole nemají netriviální ideály, je každý konečně generovaný vektorový prostor volný.
Brát výnosy základní věta o konečně generovaných abelianských skupinách.
Nechat T být lineárním operátorem v konečně-dimenzionálním vektorovém prostoru PROTI přes K.. Brát , algebra z polynomy s koeficienty v K. hodnoceno na T, získá informace o struktuře o T. PROTI lze zobrazit jako konečně vygenerovaný modul . Posledním invariantním faktorem je minimální polynom a produktem invariantních faktorů je charakteristický polynom. V kombinaci se standardní maticovou formou pro , to přináší různé kanonické formy:
- invariantní faktory + doprovodná matice výnosy Frobeniova normální forma (aka, racionální kanonická forma )
- primární rozklad + doprovodná matice výnosy primární racionální kanonická forma
- primární rozklad + Jordan bloky výnosy Jordan kanonická forma (tento druhý drží pouze nad algebraicky uzavřené pole )
Jedinečnost
Zatímco invarianty (hodnost, invariantní faktory a elementární dělitelé) jsou jedinečné, izomorfismus mezi M a jeho kanonická forma není jedinečný a ani nezachovává přímý součet rozklad. Toto následuje, protože existují netriviální automorfismy z těchto modulů, které nezachovávají sčítání.
Jeden však má kanonický torzní submodul T, a podobné kanonické podmoduly odpovídající každému (odlišnému) invariantnímu faktoru, které poskytují kanonickou sekvenci:
Porovnat kompoziční série v Jordan – Hölderova věta.
Například pokud , a je tedy jeden základ je další základ a změna základní matice