Jednoduchý komutativní kruh - Simplicial commutative ring

V algebře, a zjednodušený komutativní kruh je komutativní monoidní v kategorii zjednodušené abelianské skupiny, nebo ekvivalentně a zjednodušený objekt v kategorii komutativních prstenů. Li A je zjednodušený komutativní kruh, pak se dá ukázat, že ${ displaystyle pi _ {0} A}$ je komutativní prsten a ${ displaystyle pi _ {i} A}$ jsou moduly přes tento kruh (ve skutečnosti ${ displaystyle pi _ {*} A}$ je odstupňovaný prsten přes ${ displaystyle pi _ {0} A}$.)

Topologickým protějškem tohoto pojmu je komutativní kruhové spektrum.

Příklady

• Prsten z polynomiální diferenciální formy na simplexech.

Stupňovitá struktura prstenu

Nechat A být zjednodušeným komutativním kruhem. Pak kruhová struktura A dává ${ displaystyle pi _ {*} A = oplus _ {i geq 0} pi _ {i} A}$ struktura odstupňovaného komutativního odstupňovaného prstence následujícím způsobem.

Podle Dold – Kan korespondence, ${ displaystyle pi _ {*} A}$ je homologie řetězového komplexu odpovídající A; jedná se zejména o odstupňovanou abelianskou skupinu. Dále k násobení dvou prvků, psaní ${ displaystyle S ^ {1}}$ pro zjednodušený kruh, nechť ${ displaystyle x: (S ^ {1}) ^ { klín i} k A, , , y: (S ^ {1}) ^ { klín j} k A}$ být dvě mapy. Pak složení

${ displaystyle (S ^ {1}) ^ { klín i} krát (S ^ {1}) ^ { klín j} do A krát A do A}$,

druhá mapa násobení A, indukuje ${ displaystyle (S ^ {1}) ^ { klín i} klín (S ^ {1}) ^ { klín j} do A}$. To zase dává prvek dovnitř ${ displaystyle pi _ {i + j} A}$. Definovali jsme tedy odstupňované násobení ${ displaystyle pi _ {i} A krát pi _ {j} A to pi _ {i + j} A}$. Je to asociativní, protože rozbitý produkt je. Je známkou komutativní (tj. ${ displaystyle xy = (- 1) ^ {| x || y |} yx}$) od involuce ${ displaystyle S ^ {1} klín S ^ {1} k S ^ {1} klín S ^ {1}}$ zavádí znaménko minus.

Li M je zjednodušený modul A (to znamená, M je zjednodušená abelianská skupina s akcí A), pak to ukazuje podobný argument ${ displaystyle pi _ {*} M}$ má strukturu odstupňovaného modulu ${ displaystyle pi _ {*} A}$. (srov. spektrum modulů.)

Spec

Podle definice kategorie affine odvozená schémata je opačná kategorie kategorie jednoduchých komutativních kruhů; objekt odpovídající A bude označen ${ displaystyle operatorname {specifikace} A}$.

Viz také

• E_n-kroužek

Reference

• Co je to zjednodušený komutativní kruh z hlediska teorie homotopy?
• Která fakta v komutativní algebře selhávají v jednoduchých komutativních prstencích, dokonce až do homotopy?
• Referenční požadavek - CDGA vs. sAlg v char. 0
• A. Mathew, Zjednodušené komutativní prstence, I.
• B. Toën, Zjednodušené předpětí a odvozená algebraická geometrie
• P. Goerss a K. Schemmerhorn, Modelové kategorie a zjednodušené metody

Tento algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.