Konečné pole - Finite field
![]() | Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace.Února 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika, a konečné pole nebo Galoisovo pole (tak pojmenovaný na počest Évariste Galois ) je pole který obsahuje konečný počet elementy. Stejně jako u každého pole je konečné pole a soubor na nichž jsou definovány operace násobení, sčítání, odčítání a dělení a splňují určitá základní pravidla. Nejběžnější příklady konečných polí uvádí celá čísla mod p když p je prvočíslo.
Konečná pole mají zásadní význam v řadě oblastí matematiky a matematiky počítačová věda, počítaje v to teorie čísel, algebraická geometrie, Galoisova teorie, konečná geometrie, kryptografie a teorie kódování.
Vlastnosti
Konečné pole je konečná množina, která je a pole; to znamená, že násobení, sčítání, odčítání a dělení (kromě dělení nulou) jsou definovány a splňují pravidla aritmetiky známé jako pole axiomy.
Počet prvků konečného pole se nazývá jeho objednat nebo někdy jeho velikost. Konečné pole řádu q existuje tehdy a jen v případě, že objednávka q je hlavní síla pk (kde p je prvočíslo a k je kladné celé číslo). V poli objednávky pk, přidání p kopie libovolného prvku mají vždy za následek nulu; toto je charakteristický pole je p.
Li všechna pole objednávky q jsou izomorfní (vidět § Existence a jedinečnost níže).[1] Pole navíc nemůže obsahovat dvě různé konečné podpole se stejnou objednávkou. Lze tedy identifikovat všechna konečná pole ve stejném pořadí a jsou jednoznačně označena , Fq nebo GF (q), kde písmena GF znamenají „pole Galois“.[2]
V konečném pořadí q, polynomiální Xq − X má vše q prvky konečného pole jako kořeny. Nenulové prvky konečného pole tvoří a multiplikativní skupina. Tato skupina je cyklický, takže všechny nenulové prvky lze vyjádřit jako mocniny jediného prvku zvaného a primitivní prvek pole. (Obecně bude pro dané pole existovat několik primitivních prvků.)
Nejjednodušší příklady konečných polí jsou pole nejvyššího řádu: pro každé prvočíslo p, hlavní pole řádu p, označeno GF (p), Z/pZ, nebo Fp, mohou být konstruovány jako celá čísla modulo p.
Prvky hlavního pole řádu p mohou být reprezentována celými čísly v rozsahu 0, ..., p − 1. Součet, rozdíl a součin jsou zbytek divize podle p výsledku odpovídající celočíselné operace. Multiplikativní inverzi prvku lze vypočítat pomocí rozšířeného euklidovského algoritmu (viz Rozšířený euklidovský algoritmus § Modulární celá čísla ).
Nechat F být konečným polem. Pro jakýkoli prvek X v F a jakékoli celé číslo n, označují n ⋅ X součet n kopie X. Nejméně pozitivní n takhle n ⋅ 1 = 0 je charakteristika p pole. To umožňuje definovat násobení prvku k z GF (p) elementem X z F výběrem celočíselného zástupce pro k. Toto násobení dělá F do GF (p)-vektorový prostor. Z toho vyplývá, že počet prvků F je pn pro celé číslo n.
The identita
(někdy nazývaný sen nováčků ) platí v oblasti charakteristik p. To vyplývá z binomická věta, jako každý binomický koeficient expanze (X + y)p, s výjimkou prvního a posledního, je násobkem p.
Podle Fermatova malá věta, pokud p je prvočíslo a X je v terénu GF (p) pak Xp = X. To znamená rovnost
pro polynomy nad GF (p). Obecněji řečeno, každý prvek v GF (pn) splňuje polynomickou rovnici Xpn − X = 0.
Jakékoli rozšíření konečného pole konečného pole je oddělitelné a jednoduché. To je, pokud E je konečné pole a F je podpole z E, pak E se získává z F připojením k jednomu prvku, jehož minimální polynom je oddělitelný. Pro použití žargonu jsou konečná pole perfektní.
Obecnější algebraická struktura, která splňuje všechny ostatní axiomy pole, ale jejíž násobení nemusí být komutativní, se nazývá a dělící prsten (nebo někdy šikmé pole). Podle Wedderburnova malá věta, libovolný prstenec konečného dělení je komutativní, a proto je konečné pole.
Existence a jedinečnost
Nechat q = pn být hlavní síla, a F být rozdělení pole polynomu
přes primární pole GF (p). Tohle znamená tamto F je konečné pole nejnižšího řádu, ve kterém P má q odlišné kořeny ( formální derivát z P je P ' = -1z čehož vyplývá, že gcd (P, P ') = 1, což obecně znamená, že štěpící pole je a oddělitelný nástavec originálu). The nad identitou ukazuje, že součet a součin dvou kořenů P jsou kořeny P, stejně jako multiplikativní inverze kořene P. Jinými slovy, kořeny P tvoří pole objednávky q, což se rovná F minimem dělícího pole.
Jedinečnost až izomorfismu dělení polí tedy znamená, že všechna pole řádu q jsou izomorfní. Také, pokud pole F má pole objednávky q = pk jako podpole jsou jeho prvky q kořeny Xq - X, a F nemůže obsahovat další podpole objednávky q.
Stručně řečeno, následující klasifikační věta byla poprvé prokázána v roce 1893 autorem E. H. Moore:[1]
- Pořadí konečného pole je primární síla. Pro každou hlavní sílu q existují pole objednávky q, a všichni jsou izomorfní. V těchto polích splňuje každý prvek
- a polynom Xq − X faktory jako
- Pořadí konečného pole je primární síla. Pro každou hlavní sílu q existují pole objednávky q, a všichni jsou izomorfní. V těchto polích splňuje každý prvek
Z toho vyplývá, že GF (pn) obsahuje podpole isomorfní na GF (pm) kdyby a jen kdyby m je dělitel n; v takovém případě je toto podpole jedinečné. Ve skutečnosti polynom Xpm − X rozděluje Xpn − X kdyby a jen kdyby m je dělitel n.
Explicitní konstrukce
Non-prime pole
Vzhledem k hlavní síle q = pn s p připravit a n > 1, pole GF (q) mohou být výslovně konstruovány následujícím způsobem. Jeden si nejprve vybere neredukovatelný polynom P v GF (p)[X] stupně n (takový neredukovatelný polynom vždy existuje). Pak kvocientový kroužek
polynomiálního kruhu GF (p)[X] ideálem generovaným P je pole objednávky q.
Přesněji řečeno, prvky GF (q) polynomy skončily GF (p) jehož stupeň je přísně nižší než n. Sčítání a odčítání platí pro polynomy GF (p). Produkt dvou prvků je zbytek Euklidovské dělení podle P produktu v GF (p)[X]. Multiplikativní inverze nenulového prvku lze vypočítat pomocí rozšířeného euklidovského algoritmu; vidět Rozšířený euklidovský algoritmus § Jednoduchá rozšíření algebraického pole.
S výjimkou výstavby GF (4), existuje několik možných možností P, které produkují izomorfní výsledky. Pro zjednodušení euklidovského dělení, pro P jeden běžně vybírá polynomy formy
díky nimž jsou potřebné euklidovské divize velmi efektivní. Pro některá pole však obvykle charakteristická 2, neredukovatelné polynomy formy Xn + sekera + b nemusí existovat. Charakteristické 2, pokud je polynom Xn + X + 1 je redukovatelný, doporučuje se zvolit Xn + Xk + 1 s nejnižší možnou k díky čemuž je polynom neredukovatelný. Pokud všechny tyto trinomials jsou redukovatelné, jeden zvolí „pentanomials“ Xn + XA + Xb + XC + 1jako polynomy stupně většího než 1, se sudým počtem termínů, nejsou nikdy neredukovatelné 2, které mají 1 jako kořen.[3]
Možná volba pro takový polynom je dána Conwayovy polynomy. Zajišťují určitou kompatibilitu mezi reprezentací pole a reprezentací jeho podpolí.
V následujících částech si ukážeme, jak výše uvedená obecná metoda konstrukce funguje pro malá konečná pole.
Pole se čtyřmi prvky
Přes GF (2), je jen jeden neredukovatelný polynom stupně 2:
Proto pro GF (4) konstrukce předchozí části musí zahrnovat tento polynom, a
Pokud jeden označuje α kořen tohoto polynomu v GF (4), tabulky operací v GF (4) jsou následující. Neexistuje žádná tabulka pro odčítání, protože odčítání je stejné jako sčítání, jako je tomu v každém poli charakteristiky 2. Ve třetí tabulce pro rozdělení X podle y, X je třeba číst vlevo a y na vrcholu.
Přidání | Násobení | Divize | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
GF (p2) pro liché prime p
Pro použití nad obecnou konstrukcí konečných polí v případě GF (p2), musíme najít neredukovatelný polynom stupně 2. Pro p = 2, to bylo provedeno v předchozí části. Li p je liché prvočíslo, vždy existují neredukovatelné polynomy formy X2 − r, s r v GF (p).
Přesněji řečeno, polynom X2 − r je neredukovatelný GF (p) kdyby a jen kdyby r je kvadratické nezbytky modulo p (toto je téměř definice kvadratického nezbytku). Existují kvadratické nezbytky modulo p. Například, 2 je kvadratický ne-zbytek pro p = 3, 5, 11, 13, ..., a 3 je kvadratický ne-zbytek pro p = 5, 7, 17, .... Li p ≡ 3 mod 4, to je p = 3, 7, 11, 19, ..., jeden si může vybrat −1 ≡ p − 1 jako kvadratický zbytek, který nám umožňuje mít velmi jednoduchý neredukovatelný polynom X2 + 1.
Poté, co jsme zvolili kvadratický zbytek r, nechť α být symbolickou druhou odmocninou z r, to je symbol, který má tuto vlastnost α2 = rstejným způsobem jako komplexní číslo i je symbolická druhá odmocnina z −1. Potom prvky GF (p2) jsou všechny lineární výrazy
s A a b v GF (p). Operace na GF (p2) jsou definovány následovně (operace mezi prvky GF (p) reprezentované latinskými písmeny jsou operace v GF (p)):
GF (8) a GF (27)
Polynom
je neredukovatelný GF (2) a GF (3), to znamená, že je neredukovatelné modulo 2 a 3 (k tomu stačí ukázat, že nemá kořen v GF (2) ani dovnitř GF (3)). Z toho vyplývá, že prvky GF (8) a GF (27) mohou být zastoupeny výrazy
kde A, b, C jsou prvky GF (2) nebo GF (3) (v uvedeném pořadí) a je takový symbol
Sčítání, aditivní inverze a násobení na GF (8) a GF (27) mohou být tedy definovány následovně; v následujících vzorcích operace mezi prvky GF (2) nebo GF (3), představované latinskými písmeny, jsou operace v GF (2) nebo GF (3), respektive:
GF (16)
Polynom
je neredukovatelný GF (2), to znamená, že je neredukovatelné modulo 2. Z toho vyplývá, že prvky GF (16) mohou být zastoupeny výrazy
kde A, b, C, d jsou buď 0 nebo 1 (prvky GF (2)), a α je takový symbol
Jako charakteristika GF (2) je 2, každý prvek je jeho aditivní inverzní GF (16). Sčítání a množení na GF (16) mohou být definovány následovně; v následujících vzorcích operace mezi prvky GF (2), reprezentované latinskými písmeny, jsou operace v GF (2).
Multiplikativní struktura
Sada nenulových prvků v GF (q) je abelianská skupina v rámci násobení objednávky q – 1. Podle Lagrangeova věta, existuje dělitel k z q – 1 takhle Xk = 1 za každou nenulovou hodnotu X v GF (q). Jako rovnice Xk = 1 má nanejvýš k řešení v jakékoli oblasti, q – 1 je nejnižší možná hodnota pro k.v věta o struktuře konečných abelianských skupin znamená, že tato multiplikativní skupina je cyklický, to znamená, že všechny nenulové prvky jsou mocninami jediného prvku. Celkem:
- Multiplikativní skupina nenulových prvků v GF (q) je cyklický a existuje prvek A, takové, že q – 1 nenulové prvky GF (q) jsou A, A2, ..., Aq−2, Aq−1 = 1.
Takový prvek A se nazývá a primitivní prvek. Ledaže q = 2, 3, primitivní prvek není jedinečný. Počet primitivních prvků je φ(q − 1) kde φ je Eulerova totientová funkce.
Výsledek výše to naznačuje Xq = X pro každého X v GF (q). Konkrétní případ, kdy q je hlavní je Fermatova malá věta.
Diskrétní logaritmus
Li A je primitivní prvek v GF (q), pak pro jakýkoli nenulový prvek X v F, existuje jedinečné celé číslo n s 0 ≤ n ≤ q − 2 takhle
- X = An.
Toto celé číslo n se nazývá diskrétní logaritmus z X na základnu A.
Zatímco An lze vypočítat velmi rychle, například pomocí umocňování druhou mocninou, není znám žádný efektivní algoritmus pro výpočet inverzní operace, diskrétní logaritmus. To bylo použito v různých kryptografické protokoly viz Diskrétní logaritmus pro detaily.
Když nenulové prvky GF (q) jsou reprezentovány jejich diskrétními logaritmy, násobení a dělení jsou snadné, protože se redukují na sčítání a odčítání q – 1. Přidání se však rovná výpočtu diskrétního logaritmu Am + An. Identita
- Am + An = An(Am−n + 1)
umožňuje vyřešit tento problém vytvořením tabulky diskrétních logaritmů An + 1, volala Zechovy logaritmy, pro n = 0, ..., q − 2 (je vhodné definovat diskrétní logaritmus nuly jako −∞).
Zechovy logaritmy jsou užitečné pro velké výpočty, jako např lineární algebra přes středně velká pole, tj. pole, která jsou dostatečně velká pro to, aby přírodní algoritmy byly neefektivní, ale ne příliš velká, protože je třeba předem vypočítat tabulku stejné velikosti, v jaké je pořadí pole.
Kořeny jednoty
Každý nenulový prvek konečného pole je a kořen jednoty, tak jako Xq−1 = 1 pro každý nenulový prvek GF (q).
Li n je kladné celé číslo, an nth primitivní kořen jednoty je řešení rovnice Xn = 1 to není řešení rovnice Xm = 1 pro jakékoli kladné celé číslo m < n. Li A je nth primitivní kořen jednoty v poli F, pak F obsahuje všechny n kořeny jednoty, které jsou 1, A, A2, ..., An−1.
Pole GF (q) obsahuje a nth primitivní kořen jednoty právě tehdy n je dělitel q − 1; -li n je dělitel q − 1, pak počet primitiv nth kořeny jednoty v GF (q) je φ(n) (Eulerova totientová funkce ). Počet nth kořeny jednoty v GF (q) je gcd (n, q − 1).
V oblasti charakteristik p, každý (np)kořen jednoty je také a nth kořen jednoty. Z toho vyplývá, že primitivní (np)kořeny jednoty nikdy neexistují v poli charakteristik p.
Na druhou stranu, pokud n je coprime na p, kořeny nth cyklotomický polynom jsou odlišné v každém poli charakteristik p, protože tento polynom je dělitelem Xn − 1, jehož diskriminující je nenulové modulo p. Z toho vyplývá, že nth cyklotomický polynom faktory nad GF (p) do zřetelných neredukovatelných polynomů, které mají stejný stupeň d, a to GF (pd) je nejmenší pole charakteristik p který obsahuje nth primitivní kořeny jednoty.
Příklad: GF (64)
Pole GF (64) má několik zajímavých vlastností, které menší pole nesdílejí: má dvě podpole, takže ani jedno není obsaženo v druhém; ne všechny generátory (prvky s minimální polynom stupně 6 přes GF (2)) jsou primitivní prvky; a primitivní prvky nejsou všechny konjugované pod Galoisova skupina.
Pořadí tohoto pole je 26a dělitele 6 bytost 1, 2, 3, 6, podpole z GF (64) jsou GF (2), GF (22) = GF (4), GF (23) = GF (8), a GF (64) sám. Tak jako 2 a 3 jsou coprime, křižovatka GF (4) a GF (8) v GF (64) je hlavní pole GF (2).
Spojení GF (4) a GF (8) má tedy 10 elementy. Zbývající 54 prvky GF (64) generovat GF (64) v tom smyslu, že žádné jiné podpole žádné z nich neobsahuje. Z toho vyplývá, že jsou kořeny neredukovatelných polynomů stupně 6 přes GF (2). To znamená, že přes GF (2), existují přesně 9 = 54/6 neredukovatelné monické polynomy stupně 6. To lze ověřit factoringem X64 − X přes GF (2).
Prvky GF (64) jsou primitivní nu některých kořeny jednoty n dělení 63. Protože 3. a 7. kořen jednoty patří GF (4) a GF (8), v uvedeném pořadí 54 generátory jsou primitivní nu některých kořeny jednoty n v {9, 21, 63}. Eulerova totientová funkce ukazuje, že existují 6 primitivní 9th kořeny jednoty, 12 primitivní 21první kořeny jednoty a 36 primitivní 63první kořeny jednoty. Sečtením těchto čísel člověk znovu najde 54 elementy.
Rozdělením na cyklotomické polynomy přes GF (2), zjistíme, že:
- Šest primitivů 9kořeny jednoty jsou kořeny
- a všechny jsou konjugovány za působení skupiny Galois.
- Dvanáct primitiv 21St kořeny jednoty jsou kořeny
- Tvoří dvě dráhy pod působením skupiny Galois. Jak dva faktory jsou reciproční kořen a jeho (multiplikativní) inverzní k sobě navzájem nepatří na stejnou oběžnou dráhu.
- The 36 primitivní prvky GF (64) jsou kořeny
- Rozdělili se na 6 oběžných drah 6 prvků pod působením skupiny Galois.
To ukazuje, že nejlepší volbou pro konstrukci GF (64) je definovat jako GF (2) [X]/(X6 + X + 1). Ve skutečnosti je tento generátor primitivním prvkem a tento polynom je neredukovatelný polynom, který vytváří nejjednodušší euklidovské dělení.
Frobeniův automorfismus a Galoisova teorie
V této části, p je prvočíslo a q = pn je síla p.
v GF (q), identita (X + y)p = Xp + yp znamená, že mapa
je GF (p)-lineární endomorfismus a a polní automorfismus z GF (q), který opravuje každý prvek podpole GF (p). Říká se tomu Frobenius automorfismus, po Ferdinand Georg Frobenius.
Označující φk the složení z φ sám se sebou k krát, máme
V předchozí části se ukázalo, že φn je identita. Pro 0 < k < n, automorfismus φk není identita, jako jinak polynom
bude mít více než pk kořeny.
Žádní další nejsou GF (p)-automorfismy GF (q). Jinými slovy, GF (pn) má přesně n GF (p)-automorfismy, které jsou
Ve smyslu Galoisova teorie, tohle znamená tamto GF (pn) je Galoisovo rozšíření z GF (p), který má cyklický Galoisova skupina.
Skutečnost, že mapa Frobenius je surjektivní, znamená, že každé konečné pole je perfektní.
Polynomiální faktorizace
Li F je konečné pole, nekonstantní monický polynom s koeficienty v F je neredukovatelné přes F, pokud to není součin dvou nekonstantních monických polynomů s koeficienty v F.
Jako každý polynomiální kruh nad polem je a jedinečná faktorizační doména, každý monický polynom nad konečným polem může být zapracován jedinečným způsobem (až do řádu faktorů) do produktu neredukovatelných monických polynomů.
Existují účinné algoritmy pro testování polynomiální neredukovatelnosti a factoringové polynomy přes konečné pole. Jsou klíčovým krokem pro faktorování polynomů přes celá čísla nebo racionální čísla. Alespoň z tohoto důvodu každý počítačový algebraický systém má funkce pro factoring polynomů nad konečnými poli nebo alespoň nad konečnými prvočísly.
Neredukovatelné polynomy daného stupně
Polynom
faktory do lineárních faktorů v poli objednávky q. Přesněji řečeno, tento polynom je produktem všech monických polynomů prvního stupně nad polem řádu q.
To znamená, že pokud q = pn pak Xq − X je produktem všech monických neredukovatelných polynomů GF (p), jehož stupeň dělí n. Ve skutečnosti, pokud P je neredukovatelný faktor GF (p) z Xq − X, jeho stupeň dělí n, jako jeho rozdělení pole je obsažen v GF (pn). Naopak, pokud P je neredukovatelný monický polynom nad GF (p) stupně d dělení n, definuje rozšíření pole o stupeň d, který je obsažen v GF (pn)a všechny kořeny P patřit k GF (pn), a jsou kořeny Xq − X; tím pádem P rozděluje Xq − X. Tak jako Xq − X nemá žádný vícenásobný faktor, je tedy produktem všech neredukovatelných monických polynomů, které jej rozdělují.
Tato vlastnost se používá k výpočtu součinu neredukovatelných faktorů každého stupně polynomů GF (p); vidět Výrazná faktorizace stupně.
Počet monických neredukovatelných polynomů daného stupně přes konečné pole
Číslo N(q, n) monických neredukovatelných polynomů stupně n přes GF (q) darováno[4]
kde μ je Möbiova funkce. Tento vzorec je téměř přímým důsledkem výše uvedené vlastnosti Xq − X.
Podle výše uvedeného vzorce počet neredukovatelných (ne nutně monických) polynomů stupně n přes GF (q) je (q − 1)N(q, n).
(O něco jednodušší) dolní mez pro N(q, n) je
Dá se to snadno odvodit pro každého q a každý n, existuje alespoň jeden neredukovatelný polynom stupně n přes GF (q). Tato dolní mez je ostrá pro q = n = 2.
Aplikace
v kryptografie, obtížnost problém diskrétního logaritmu v konečných polích nebo v eliptické křivky je základem několika široce používaných protokolů, jako je Diffie – Hellman protokol. Například v roce 2014 zahrnovalo zabezpečené připojení k internetu na Wikipedii eliptickou křivku Diffie – Hellmanův protokol (ECDHE ) přes velké konečné pole.[5] v teorie kódování, mnoho kódů je konstruováno jako podprostory z vektorové prostory přes konečná pole.
Konečná pole jsou široce používána v teorie čísel, protože mnoho problémů s celými čísly lze vyřešit jejich snížením modulo jeden nebo několik prvočísla. Například nejrychleji známé algoritmy pro polynomiální faktorizace a lineární algebra přes pole racionální čísla pokračujte redukcí modulo jednoho nebo několika prvočísel a poté rekonstrukcí řešení pomocí Čínská věta o zbytku, Hensel zvedání nebo Algoritmus LLL.
Podobně mnoho teoretických problémů v teorii čísel lze vyřešit zvážením jejich redukcí modulo některých nebo všech prvočísel. Viz například Hasseův princip. Mnoho nedávného vývoje algebraická geometrie byli motivováni potřebou rozšířit sílu těchto modulárních metod. Wilesův důkaz Fermatovy poslední věty je příkladem hlubokého výsledku zahrnujícího mnoho matematických nástrojů, včetně konečných polí.
The Weil dohady se týkají počtu bodů na algebraické odrůdy přes konečná pole a teorie má mnoho aplikací včetně exponenciální a součet znaků odhady.
Konečná pole mají široké použití v kombinatorika, dva dobře známé příklady jsou definice Paleyovy grafy a související konstrukce pro Hadamardovy matice. v aritmetická kombinatorika konečná pole[6] a modely konečných polí[7][8] jsou hojně využívány, například v Szemerédiho věta na aritmetických postupech.
Rozšíření
Algebraické uzavření
Konečné pole F není algebraicky uzavřeno. Abychom to dokázali, zvažte polynom
který nemá žádné kořeny F, od té doby F (α) = 1 pro všechny α v F.
The přímý limit systému:
- {Fp, Fp2, ..., Fpn, ...},
se začleněním, je nekonečné pole. To je algebraické uzavření všech polí v systému a je označen: .
Inkluze dojíždějí s mapou Frobenius, protože je definována stejným způsobem v každém poli (X ↦ X p ), takže mapa Frobenius definuje automorfismus , který nese všechna podpole zpět k sobě. Ve skutečnosti Fpn lze obnovit jako pevné body niterát mapy Frobenius.
Avšak na rozdíl od případu konečných polí je Frobeniova automorfismus zapnutá má nekonečné pořadí a negeneruje celou skupinu automorfismů tohoto pole. To znamená, že existují automatorfismy které nejsou mocností mapy Frobenius. Skupina generovaná mapou Frobenius je však hustou podskupinou skupiny automorfismu v Krullova topologie. Algebraicky to odpovídá skupině aditiv Z být hustý v celočíselná celá čísla (přímý produkt p-adická celá čísla ve všech prvočíslech p, s topologie produktu ).
Pokud skutečně konstruujeme naše konečná pole takovým způsobem, že Fpn je obsažen v Fpm kdykoli n rozděluje m, pak lze tento přímý limit zkonstruovat jako svaz všech těchto polí. I když nebudeme konstruovat svá pole tímto způsobem, stále můžeme hovořit o algebraickém uzavření, ale při jeho konstrukci je zapotřebí ještě větší jemnosti.
Kvazi-algebraický uzávěr
Přestože konečná pole nejsou algebraicky uzavřena, jsou kvazi-algebraicky uzavřeno, což znamená, že každý homogenní polynom přes konečné pole má netriviální nulu, jejíž komponenty jsou v poli, pokud je počet jeho proměnných větší než jeho stupeň. To byla domněnka Artin a Dicksone prokázáno Chevalley (vidět Chevalleyova varovná věta ).
Wedderburnova malá věta
A dělící prsten je zobecnění pole. Dělicí prstence se nepředpokládají jako komutativní. Neexistují žádné nekomutativní prstence konečného dělení: Wedderburnova malá věta uvádí, že všechny konečné dělící kroužky jsou komutativní, tedy konečná pole. Výsledek platí, i když uvolníme asociativitu a zvážíme alternativní prsteny tím, že Artin – Zornova věta.[9]
Viz také
- Kvazi-konečné pole
- Pole s jedním prvkem
- Aritmetika konečného pole
- Konečný prsten
- Konečná skupina
- Základní abelianská skupina
- Hammingův prostor
Poznámky
- ^ A b Moore, E. H. (1896), „Dvakrát nekonečný systém jednoduchých skupin“, E. E. Moore; et al. (eds.), Matematické papíry čtené na mezinárodním matematickém kongresu konaném v souvislosti se světovou kolumbijskou výstavou, Macmillan & Co., str. 208–242
- ^ Tuto druhou notaci zavedl E. H. Moore na adresu uvedenou v roce 1893 na Mezinárodním matematickém kongresu v Chicagu Mullen & Panario 2013, str. 10.
- ^ Doporučené eliptické křivky pro vládní použití (PDF), Národní institut pro standardy a technologie, Červenec 1999, s. 3
- ^ Jacobson 2009, §4.13
- ^ To lze ověřit prohlížením informací na stránce poskytovaných prohlížečem.
- ^ Shparlinski, Igor E. (2013), „Aditivní kombinatorika přes konečná pole: nové výsledky a aplikace“, Konečná pole a jejich aplikace, DE GRUYTER, doi:10.1515/9783110283600.233, ISBN 9783110283600
- ^ Green, Ben (2005), „Modely konečných polí v aditivní kombinatorice“, Průzkumy v kombinatorice 2005, Cambridge University Press, s. 1–28, arXiv:matematika / 0409420, doi:10.1017 / cbo9780511734885.002, ISBN 9780511734885
- ^ Wolf, J. (březen 2015). „Modely konečných polí v aritmetické kombinatorice - po deseti letech“. Konečná pole a jejich aplikace. 32: 233–274. doi:10.1016 / j.ffa.2014.11.003. ISSN 1071-5797.
- ^ Shult, Ernest E. (2011). Body a čáry. Charakterizace klasických geometrií. Universitext. Berlín: Springer-Verlag. p. 123. ISBN 978-3-642-15626-7. Zbl 1213.51001.
Reference
- W. H. Bussey (1905) „Galoisovy polní stoly pro pn ≤ 169", Bulletin of the American Mathematical Society 12(1): 22–38, doi:10.1090 / S0002-9904-1905-01284-2
- W. H. Bussey (1910) „Tabulky Galoisových polí řádu <1000“, Bulletin of the American Mathematical Society 16(4): 188–206, doi:10.1090 / S0002-9904-1910-01888-7
- Jacobson, Nathan (2009) [1985], Základní algebra I (Druhé vydání), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1
- Mullen, Gary L .; Mummert, Carl (2007), Konečná pole a aplikace I, Student Mathematical Library (AMS), ISBN 978-0-8218-4418-2
- Mullen, Gary L .; Panario, Daniel (2013), Příručka konečných polí, CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
- Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997), Konečná pole (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-39231-4
- Skopin, A. I. (2001) [1994], „Galoisovo pole“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
externí odkazy
- Konečná pole ve výzkumu Wolfram.