Bodově - Pointwise
v matematika, kvalifikátor bodově se používá k označení, že určitá vlastnost je definována zvážením každé hodnoty některé funkce Důležitou třídou bodových konceptů jsou bodové operace, tj. operace definované na funkcích aplikací operací na hodnoty funkcí samostatně pro každý bod v doména definice. Důležité vztahy lze také definovat bodově.
Bodové operace
Formální definice
Binární operace Ó: Y × Y → Y na setu Y lze zvednout bodově k operaci Ó: (X→Y) × (X→Y) → (X→Y) na televizoru X→Y všech funkcí od X na Y takto: Vzhledem k tomu, dvě funkce F1: X → Y a F2: X → Y, definujte funkci Ó(F1,F2): X → Y podle
- (Ó(F1,F2))(X) = Ó(F1(X),F2(X)) pro všechny X∈X.
Běžně Ó a Ó jsou označeny stejným symbolem. Podobná definice se používá pro unární operace Óa pro operace jiných arity.[Citace je zapotřebí ]
Příklady
kde .
Viz také bodový produkt, a skalární.
Příklad operace s funkcemi, která je ne bodově je konvoluce.
Vlastnosti
Bodové operace dědí takové vlastnosti jako asociativita, komutativita a distribučnost z odpovídajících operací na codomain. Li je nějaký algebraická struktura, sada všech funkcí do sada dopravce z lze analogicky proměnit v algebraickou strukturu stejného typu.
Komponentní operace
Komponentní operace jsou obvykle definovány na vektorech, kde vektory jsou prvky množiny pro některé přirozené číslo a nějaký pole . Pokud označíme -tá složka libovolného vektoru tak jako , pak je přidání po částech .
Komponentní operace lze definovat na maticích. Sčítání matice, kde je komponentní operace while násobení matic není.
A n-tice lze považovat za funkci a vektor je n-tice. Proto jakýkoli vektor odpovídá funkci takhle a jakákoli komponentní operace na vektorech je bodová operace na funkcích odpovídajících těmto vektorům.
Bodové vztahy
v teorie objednávek je běžné definovat bodový bod částečná objednávka o funkcích. S A, B posety, sada funkcí A → B lze objednat u F ≤ G právě když (∀X ∈ A) F(X) ≤ G(X). Bodové objednávky také dědí některé vlastnosti podkladových posetů. Například pokud A a B jsou spojité mřížky, pak je to také sada funkcí A → B s bodovým řádem.[1] Pomocí bodového pořadí na funkcích lze výstižně definovat další důležité pojmy, například:[2]
- A operátor uzavření C na posetu P je monotónní a idempotentní self-map on P (tj operátor projekce ) s další vlastností, která IDA ≤ C, kde id je funkce identity.
- Podobně operátor projekce k se nazývá a operátor jádra kdyby a jen kdyby k ≤ idA.
Příklad nekonečný bodový vztah je bodová konvergence funkcí - a sekvence funkcí
s
konverguje bodově k funkci pokud pro každého v
Poznámky
Reference
Pro příklady teorie objednávek:
- T. S. Blyth, Mřížky a uspořádané algebraické struktury, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.
- G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, D. S. Scott: Kontinuální mřížky a domény, Cambridge University Press, 2003.
Tento článek včlení materiál od Pointwise dále PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.