Dedekind doména - Dedekind domain

tento článek může mít příliš mnoho odkazy na další článkya může vyžadovat vyčištění setkat se s Wikipedií standardy kvality. Podle Pokyny pro styl Wikipedie, prosím, odstraňte duplicitní odkazy a všechny odkazy, které nejsou relevantní pro kontext. (Září 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v abstraktní algebra, a Dedekind doména nebo Dedekindův prsten, pojmenoval podle Richard Dedekind, je integrální doména ve kterém každý nenulový správný ideál faktory do produktu hlavní ideály. Je možné ukázat, že taková faktorizace je pak nutně jedinečná až do pořadí faktorů. Existují alespoň tři další charakterizace domén Dedekind, které jsou někdy brány jako definice: viz níže.

A pole je komutativní prsten ve kterém neexistují žádné netriviální vlastní ideály, takže jakékoli pole je doménou Dedekinda, avšak poněkud prázdným způsobem. Někteří autoři přidávají požadavek, aby doména Dedekind nebyla polem. Mnoho dalších autorů uvádí věty pro domény Dedekind s implicitní podmínkou, že mohou vyžadovat triviální úpravy pro případ polí.

Okamžitým důsledkem definice je, že každý hlavní ideální doména (PID) je doména Dedekind. Ve skutečnosti je doména Dedekind a jedinečná faktorizační doména (UFD) právě tehdy, pokud se jedná o PID.

Pravěk Dedekindových domén

V 19. století se stalo běžnou technikou, do které bylo možné nahlédnout integrální řešení polynomiální rovnice pomocí prsteny z algebraická čísla vyššího stupně. Například opravte kladné celé číslo ${ displaystyle m}$. Ve snaze určit, které celá čísla jsou reprezentovány kvadratická forma ${ displaystyle x ^ {2} + moje ^ {2}}$, je přirozené faktorovat kvadratická forma do ${ displaystyle (x + { sqrt {-m}} y) (x - { sqrt {-m}} y)}$, faktorizace probíhající v kruh celých čísel z kvadratické pole ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {-m}})}$. Podobně pro pozitivní celé číslo ${ displaystyle n}$ polynom ${ displaystyle z ^ {n} -y ^ {n}}$ (což je relevantní pro řešení Fermatovy rovnice ${ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n}}$) lze započítat do kruhu ${ displaystyle mathbb {Z} [ zeta _ {n}]}$, kde ${ displaystyle zeta _ {n}}$ je primitivní ${ displaystyle n}$ kořen jednoty.

Pro několik malých hodnot ${ displaystyle m}$ a ${ displaystyle n}$ tyto kruhy algebraických celých čísel jsou PID, a to lze chápat jako vysvětlení klasických úspěchů Fermat (${ displaystyle m = 1, n = 4}$) a Euler (${ displaystyle m = 2,3, n = 3}$). Do této doby postup pro určení, zda prsten všech algebraická celá čísla daného kvadratické pole ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {D}})}$ je PID byl dobře znám kvadratická forma teoretici. Zvláště, Gauss se podíval na případ imaginárního kvadratická pole: našel přesně devět hodnot ${ displaystyle D <0}$ pro které je kruh celých čísel a PID a domníval se, že neexistují žádné další hodnoty. (Gauss „domněnka byla prokázána o více než sto let později Kurt Heegner, Alan Baker a Harold Stark.) To však bylo chápáno (pouze) v jazyce třídy ekvivalence z kvadratické formy, takže zejména analogie mezi kvadratické formy a zdá se, že Fermatova rovnice nebyla vnímána. V roce 1847 Gabriel Lamé oznámila řešení Fermatova poslední věta pro všechny ${ displaystyle n> 2}$, tj. že Fermatova rovnice nemá řešení v nenulových celých číslech, ale ukázalo se, že jeho řešení záviselo na předpokladu, že cyklotomický kruh ${ displaystyle mathbb {Z} [ zeta _ {n}]}$ je UFD. Ernst Kummer před třemi lety ukázal, že tomu tak již nebylo ${ displaystyle n = 23}$ (úplný konečný seznam hodnot, pro které ${ displaystyle mathbb {Z} [ zeta _ {n}]}$ je UFD je nyní známo). Současně Kummer vyvinul nové výkonné metody k prokázání Fermatovy poslední věty alespoň pro velkou třídu hlavních exponentů ${ displaystyle n}$ pomocí toho, co nyní poznáváme, je skutečnost, že prsten ${ displaystyle mathbb {Z} [ zeta _ {n}]}$ je doména Dedekind. Ve skutečnosti Kummer nepracoval s ideály, ale s „ideálními čísly“ a moderní definici ideálu dal Dedekind.

Do 20. století si algebraisté a teoretici čísel uvědomili, že podmínkou být PID je poměrně delikátní, zatímco podmínka být doménou Dedekindu je poměrně robustní. Například kruh obyčejných celých čísel je a PID, ale jak je vidět nad prstenem ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ algebraických celých čísel v a pole s číslem ${ displaystyle K}$ nemusí být PID. Ve skutečnosti, i když Gauss také předpokládal, že existuje nekonečně mnoho prvočísel ${ displaystyle p}$ tak, že kruh celých čísel ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {p}})}$ je PID od roku 2016^{[Aktualizace]} ani nevíme, jestli existuje nekonečně mnoho číselných polí ${ displaystyle K}$ (libovolného stupně) takové, že ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ je PID! Na druhou stranu kruh celých čísel v pole s číslem je vždy doménou Dedekind.

Další ilustrací delikátní / robustní dichotomie je skutečnost, že být doménou Dedekind je mezi Noetherian domény, a místní vlastnictví: noetherian doména ${ displaystyle R}$ je Dedekind iff pro každého maximální ideál ${ displaystyle M}$ z ${ displaystyle R}$ the lokalizace ${ displaystyle R_ {M}}$ je prsten Dedekind. Ale a místní doména je prsten Dedekind, pokud je to PID, pokud je diskrétní oceňovací kruh (DVR), takže pro PID nemůže platit stejná místní charakterizace: spíše lze říci, že koncept Dedekindova kruhu je globalizace toho DVR.

Alternativní definice

Pro integrální doména ${ displaystyle R}$ to není pole, všechny následující podmínky jsou ekvivalentní:^[1]

(DD1) Každý nenulový správný ideální faktor se promění na prvočísla.

(DD2) ${ displaystyle R}$ je Noetherian a lokalizace v každém maximálním ideálu je a diskrétní oceňovací kruh.

(DD3) Každý nenulový zlomkový ideál z ${ displaystyle R}$ je invertibilní.

(DD4) ${ displaystyle R}$ je integrálně uzavřeno, Noetherian doména s Dimenze Krull jeden (tj. každý nenulový primární ideál je maximální).

(DD5) ${ displaystyle R}$ je Noetherian a za jakékoli dva ideály ${ displaystyle I}$ a ${ displaystyle J}$ v ${ displaystyle R}$, ${ displaystyle I}$ je obsažen v ${ displaystyle J}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle J}$ rozděluje ${ displaystyle I}$ jako ideály, tj. existuje ideál ${ displaystyle H}$ takhle ${ displaystyle I = JH}$. Komutativní prsten s jednotou splňující poslední podmínku se nazývá kruh rozdělení divize (CDR).^[2]

Doména Dedekind je tedy doména, která je buď polem, nebo splňuje kterékoli z nich (a tedy všech pět) (DD1) až (DD5). Kterou z těchto podmínek je třeba definovat, je tedy pouze otázkou vkusu. V praxi je často nejsnadnější ověřit (DD4).

A Krull doména je vyšší dimenzionální analog domény Dedekind: doména Dedekind, která není polem, je doménou Krull dimenze 1. Tuto představu lze použít ke studiu různých charakterizací domény Dedekind. Ve skutečnosti se jedná o definici Dedekindovy domény používanou v Bourbakiho „komutativní algebře“.

Doménu Dedekind lze také charakterizovat z hlediska homologické algebry: integrální doména je doménou Dedekind právě tehdy, je-li dědičný prsten; tj. každý submodul projektivního modulu nad ním je projektivní. Podobně je integrální doména doménou Dedekind právě tehdy, když je každý její dělitelný modul injektivní.^[3]

Některé příklady domén Dedekind

Všechno hlavní ideální domény a tedy vše diskrétní oceňovací kruhy jsou domény Dedekind.

Prsten ${ displaystyle R = { mathcal {O}} _ {K}}$ z algebraická celá čísla v pole s číslem K. je Noetherian, integrálně uzavřený a dimenze jedna: abyste viděli poslední vlastnost, pozorujte, že pro jakýkoli nenulový primární ideál Já z R, R/Já je konečná množina a připomeňme, že konečnou integrální doménou je pole; takže (DD4) R je doména Dedekind. Jak je uvedeno výše, zahrnuje to všechny příklady zvažované Kummerem a Dedekindem a byl motivujícím případem pro obecnou definici, a tyto zůstávají mezi nejvíce studovanými příklady.

Druhá třída Dedekindových prstenů, která má pravděpodobně stejnou důležitost, pochází z geometrie: let C být nesmyslný geometricky integrální afinní algebraická křivka přes pole k. Pak souřadnicový kruh k[C] pravidelných funkcí na C je doména Dedekind. To je do značné míry jasné jednoduše z převodu geometrických výrazů do algebry: souřadnicový kruh jakékoli afinní odrůdy je podle definice konečně generován k-algebra, tedy noetherian; navíc křivka prostředek dimenze jedna a nesmyslný implikuje (a v dimenzi jedna je ekvivalentní) normální, což podle definice znamená integrálně uzavřeno.

Na obě tyto konstrukce lze pohlížet jako na speciální případy následujícího základního výsledku:

Teorém: Nechte R být doménou Dedekind s zlomkové pole K.. Nechat L být konečným stupněm rozšíření pole z K. a označit S the integrální uzávěr z R v L. Pak S je sama o sobě doménou Dedekind.^[4]

Použití této věty, když R je sám o sobě PID nám dává způsob budování domén Dedekind z PID. Brát R = Z, tato konstrukce přesně říká, že kroužky celých čísel číselných polí jsou Dedekindovy domény. Brát R = k[t], získá se výše uvedený případ nesonsulárních afinních křivek jako rozvětvené krytiny afinní linie.

Zariski a Samuele byla dostatečně přijata s touto konstrukcí, aby se zeptala, zda z ní vychází každá doména Dedekind, tj. počínaje PID a integrálním uzávěrem v rozšíření pole konečného stupně.^[5] Překvapivě jednoduchá negativní odpověď dala L. Claborn.^[6]

Pokud je situace jako výše, ale rozšíření L z K. je algebraika nekonečného stupně, pak je stále možné integrální uzavření S z R v L být doménou Dedekind, ale není to zaručeno. Například vezměte znovu R = Z, K. = Q a teď vezměte L být polem ${ displaystyle { overline { textbf {Q}}}}$ ze všech algebraická čísla. Integrovaný uzávěr není nic jiného než prsten ${ displaystyle { overline { textbf {Z}}}}$ všech algebraických celých čísel. Vzhledem k tomu, že druhá odmocnina algebraického celého čísla je opět algebraickým celým číslem, není možné započítat žádné nenulové nenulové algebraické celé číslo do konečného produktu neredukovatelných prvků, což znamená, že ${ displaystyle { overline { textbf {Z}}}}$ není ani Noetherian! Obecně platí, že integrální uzavření Dedekindovy domény v nekonečné algebraické příponě je a Prüferova doména; ukázalo se, že kruh algebraických celých čísel je o něco zvláštnější než tento: je a Doména Bézout.

Zlomkové ideály a skupina tříd

Nechat R být integrální doménou s zlomkovým polem K.. A zlomkový ideál je nenulová R-submodul Já z K. pro které existuje nenulová X v K. takhle ${ displaystyle xI podmnožina R.}$

Vzhledem k dvěma částečným ideálům Já a J, jeden definuje jejich produkt IJ jako množina všech konečných součtů ${ displaystyle sum _ {n} i_ {n} j_ {n}, , i_ {n} v I, , j_ {n} v J}$: produkt IJ je opět zlomkový ideál. Sada Frac (R) všech dílčích ideálů obdařených výše uvedeným produktem je komutativní pologrupa a ve skutečnosti monoid: prvek identity je zlomkovým ideálem R.

Pro každý zlomkový ideál Jálze definovat zlomkový ideál

${ displaystyle I ^ {*} = (R: I) = {x v K | xI podmnožina R }.}$

Jeden pak tautologicky má ${ displaystyle I ^ {*} I podmnožina R}$. Ve skutečnosti má člověk rovnost právě tehdy Já, jako prvek monoidu Frac®, je invertibilní. Jinými slovy, pokud Já má nějakou inverzi, pak inverze musí být ${ displaystyle I ^ {*}}$.

A hlavní zlomkový ideál je jednou z forem ${ displaystyle xR}$ pro nenulovou X v K.. Všimněte si, že každý hlavní zlomkový ideál je invertibilní, inverzní k ${ displaystyle xR}$ být jednoduše ${ displaystyle { frac {1} {x}} R}$. Označíme podskupinu hlavních zlomkových ideálů podle Prin (R).

Doména R je PID právě tehdy, když principiální je každý zlomkový ideál. V tomto případě máme Frac (R) = Prin (R) = ${ displaystyle K ^ { times} / R ^ { times}}$, protože dva hlavní zlomkové ideály ${ displaystyle xR}$ a ${ displaystyle yR}$ jsou stejné iff ${ displaystyle xy ^ {- 1}}$ je jednotka v R.

Pro obecnou doménu R, je smysluplné převzít kvocient monoidu Frac (R) všech dílčích ideálů submonoidem Prin (R) hlavních dílčích ideálů. Samotný tento kvocient je však obecně pouze monoid. Ve skutečnosti je snadné vidět, že třída zlomkového ideálu I ve Frac (R) / Prin (R) je invertibilní právě tehdy, když já sám je invertibilní.

Nyní můžeme ocenit (DD3): v doméně Dedekind (a pouze v doméně Dedekind) je každý zlomkový ideál invertibilní. Jedná se tedy přesně o třídu domén, pro které Frac (R) / Prin (R) tvoří skupinu, ideální třídní skupina Cl (R) z R. Tato skupina je triviální právě tehdy R je PID, takže jej lze považovat za kvantifikaci překážky obecné doméně Dedekind, která je PID.

Poznamenáváme, že pro libovolnou doménu lze definovat Picardovu skupinu Pic (R) jako skupinu invertibilních zlomkových ideálů Inv (R) modulujících podskupinu hlavních zlomkových ideálů. Pro doménu Dedekind je to samozřejmě stejné jako ideální skupina tříd. Na obecnější třídě domén, včetně domén Noetherian a Krull domény, ideální skupina tříd je konstruována jiným způsobem a existuje kanonický homomorfismus

Obrázek (R) ${ displaystyle rightarrow}$ Cl (R)

což však obecně není ani injektivní, ani surjektivní. Toto je afinní analog rozdílu mezi Cartierovými děliteli a Weilovými děliteli na singulární algebraické variantě.

Pozoruhodná věta L. Claborna (Claborn 1966) tvrdí, že pro jakoukoli abelianskou skupinu G existuje doména Dedekind R jehož skupina ideální třídy je izomorfní s G. Později, CR Leedham-Green ukázal, že takový R může být konstruováno jako integrální uzávěr PID v prodloužení kvadratického pole (Leedham-Green 1972). V roce 1976 M. Rosen ukázal, jak realizovat jakoukoli spočítatelnou abelianskou skupinu jako třídní skupinu Dedekindovy domény, která je podřetězcem racionálního funkčního pole eliptické křivky, a domníval se, že taková „eliptická“ konstrukce by měla být možná obecná abelianská skupina (Rosen 1976). Rosenova domněnka byla prokázána v roce 2008 P.L. Clark (Clark 2009).

Naproti tomu jedna ze základních vět v algebraické teorii čísel tvrdí, že třídní skupina prstence celých čísel číselného pole je konečná; jeho mohutnost se nazývá číslo třídy a je to důležitý a poněkud záhadný invariant, bez ohledu na tvrdou práci mnoha předních matematiků od Gaussa po současnost.

Konečně generované moduly přes doménu Dedekind

S ohledem na dobře známé a mimořádně užitečné věta o struktuře pro konečně generované moduly nad hlavní ideální doménou (PID), je přirozené požadovat odpovídající teorii konečně generované moduly přes doménu Dedekind.

Krátce si připomeňme teorii struktury v případě konečně generovaného modulu ${ displaystyle M}$ přes PID ${ displaystyle R}$. Definujeme torzní submodul ${ displaystyle T}$ být souborem prvků ${ displaystyle m}$ z ${ displaystyle M}$ takhle ${ displaystyle rm = 0}$ pro nenulovou ${ displaystyle r}$ v ${ displaystyle R}$. Pak:

(M1) ${ displaystyle T}$ lze rozložit na a přímý součet z cyklický torzní moduly, každý z formy ${ displaystyle R / I}$ pro nějaký nenulový ideál ${ displaystyle I}$ z ${ displaystyle R}$. Podle věty o čínském zbytku ${ displaystyle R / I}$ lze dále rozložit na přímý součet submodulů formy ${ displaystyle R / P ^ {i}}$, kde ${ displaystyle P ^ {i}}$ je síla prvotřídního ideálu. Tento rozklad nemusí být jedinečný, ale jakékoli dva rozklady

${ displaystyle T cong R / P_ {1} ^ {a_ {1}} oplus cdots oplus R / P_ {r} ^ {a_ {r}} cong R / Q_ {1} ^ {b_ { 1}} oplus cdots oplus R / Q_ {s} ^ {b_ {s}}}$

se liší pouze v pořadí faktorů.

(M2) Torzní submodul je přímý součet: tj. Existuje doplňkový submodul ${ displaystyle P}$ z ${ displaystyle M}$ takhle ${ displaystyle M = T oplus P}$.

(M3PID) ${ displaystyle P}$ izomorfní s ${ displaystyle R ^ {n}}$ pro jednoznačně určené nezáporné celé číslo ${ displaystyle n}$. Zejména, ${ displaystyle P}$ je konečně generovaný bezplatný modul.

Tak teď ${ displaystyle M}$ být konečně vygenerovaným modulem přes libovolnou doménu Dedekind ${ displaystyle R}$. Poté (M1) a (M2) držet doslovně. Z (M3PID) však vyplývá, že konečně vygenerovaný modul bez torzí ${ displaystyle P}$ přes PID je zdarma. Zejména tvrdí, že všechny dílčí ideály jsou hlavní, prohlášení, které je kdykoli nepravdivé ${ displaystyle R}$ není PID. Jinými slovy, netrivialita skupiny tříd Cl (R) způsobí selhání (M3PID). Pozoruhodné je, že dodatečná struktura v torzně bezkonkurenčně generovaných modulech přes libovolnou doménu Dedekind je přesně řízena skupinou tříd, jak nyní vysvětlíme. Jeden má libovolnou doménu Dedekind

(M3DD) ${ displaystyle P}$ je izomorfní s přímým součtem hodnosti jedna projektivní moduly: ${ displaystyle P cong I_ {1} oplus cdots oplus I_ {r}}$. Navíc pro všechny projektivní moduly první úrovně ${ displaystyle I_ {1}, ldots, I_ {r}, J_ {1}, ldots, J_ {s}}$, jeden má

${ displaystyle I_ {1} oplus cdots oplus I_ {r} cong J_ {1} oplus cdots oplus J_ {s}}$

kdyby a jen kdyby

${ displaystyle r = s}$

a

${ displaystyle I_ {1} otimes cdots otimes I_ {r} cong J_ {1} otimes cdots otimes J_ {s}. ,}$

První projektivní moduly lze identifikovat pomocí zlomkových ideálů a poslední podmínku lze přeformulovat jako

${ displaystyle [I_ {1} cdots I_ {r}] = [J_ {1} cdots J_ {s}] v Cl (R).}$

Takto definitivně generovaný torzní modul bez hodnocení ${ displaystyle n> 0}$ lze vyjádřit jako ${ displaystyle R ^ {n-1} oplus I}$, kde ${ displaystyle I}$ je projektivní modul první úrovně. The Steinitzova třída pro P přes R je třída ${ displaystyle [I]}$ z ${ displaystyle I}$ v Cl (R): je jednoznačně určeno.^[7] Důsledkem toho je:

Věta: Nechť R být doménou Dedekind. Pak ${ displaystyle K_ {0} (R) cong mathbb {Z} oplus Cl (R)}$, kde K.₀(R) je Grothendieckova skupina komutativního monoidu konečně generovaného projektivu R moduly.

Tyto výsledky byly stanoveny Ernst Steinitz v roce 1912.

Dalším důsledkem této struktury, který není implicitní v předchozí větě, je, že pokud mají dva projektivní moduly nad doménou Dedekind stejnou třídu ve skupině Grothendieck, pak jsou ve skutečnosti abstraktně izomorfní.

Místně zvoní Dedekind

Existují integrální domény ${ displaystyle R}$ které jsou lokálně, ale ne globálně Dedekind: lokalizace ${ displaystyle R}$ v každém maximálním ideálu je prsten Dedekind (ekvivalentně, a DVR ) ale ${ displaystyle R}$ sám o sobě není Dedekind. Jak bylo uvedeno výše, takový prsten nemůže být noetherian. Zdá se, že první příklady takových prstenů vytvořil N. Nakano v roce 1953. V literatuře se těmto prstenům někdy říká „správné téměř Dedekindovy prsteny“.

Viz také

• Ideální třída
• Davenportova konstanta

Poznámky

Reference

• Bourbaki, Nicolas (1972), Komutativní algebra, Addison-Wesley
• Claborn, Luther (1965), „Dedekind domény a prsteny kvocientů“, Pacific J. Math., 15: 59–64, doi:10.2140 / pjm.1965.15.59
• Claborn, Luther (1966), „Každá abelianská skupina je třídní skupina“, Pacific J. Math., 18 (2): 219–222, doi:10.2140 / pjm.1966.18.219
• Clark, Pete L. (2009), „Znovu navštíveny domény eliptického Dedekinda“ (PDF), L'Enseignement Mathématique, 55 (3): 213–225, arXiv:matematika / 0612469, doi:10,4171 / lem / 55-3-1
• Cohn, Paul M. (2003). Další algebra a aplikace. Springer. ISBN  1-85233-667-6.
• Fröhlich, A.; Taylor, M.J. (1991), "II. Dedekind domains", Algebraická teorie čísel, Cambridge studium pokročilé matematiky, 27, Cambridge University Press, str. 35–101, ISBN  0-521-36664-X, Zbl  0744.11001
• Gomez-Ramirez, Danny (2015), „Conceptual Blending as a Creative meta-generator of matematiccepts: Prime Ideals and Dedekind Domains as a blend“, In: T.R. Besold, K.U. Kühnberger, M. Schorlemmer, A. Smaill (eds.) Proceedings of the 4th International Workshop on Computational Creativity, Concept Invention, and General Intelligence (C3GI) PICS, 2[1]
• Leedham-Green, C.R. (1972), „Třída skupiny Dedekindových domén“, Trans. Amer. Matematika. Soc., 163: 493–500, doi:10.2307/1995734, JSTOR  1995734
• Milne, J.S. (2008), Algebraická teorie čísel (v3.00)
• Nakano, Noburu (1953), „Idealtheorie in einem speziellen unendlichen algebraischen Zahlkörper“, J. Sci. Hirošima Univ. Ser. A., 16: 425–439
• Rosen, Michael (1976), „Eliptické křivky a Dedekindovy domény“, Proc. Amer. Matematika. Soc., 57 (2): 197–201, doi:10.2307/2041187, JSTOR  2041187
• Steinitz, E. (1912), „Rechteckige Systeme und Moduln in algebraischen Zahlkörpern“, Matematika. Ann., 71 (3): 328–354, doi:10.1007 / BF01456849
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958), Komutativní algebra, svazek I, D. Van Nostrand Company

Další čtení

• Edwards, Harold M. (1990), Teorie dělitele, Boston: Birkhäuser Verlag, ISBN  0-8176-3448-7, Zbl  0689.12001

externí odkazy

• "Dedekindův prsten", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]