Věta Skolem – Noether - Skolem–Noether theorem

v teorie prstenů, obor matematiky, Věta Skolem – Noether charakterizuje automorfismy z jednoduché kroužky. Je to zásadní výsledek v teorii centrální jednoduché algebry.

Věta byla poprvé publikována Thoralf Skolem v roce 1927 ve své práci Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme (Němec: K teorii asociativních číselných systémů) a později znovu objeven Emmy Noetherová.

Prohlášení

V obecné formulaci, pojďme A a B být jednoduché unitární kroužky, a nechť k být centrem B. Střed k je pole od té doby X nenulový vstup k, jednoduchost B znamená, že nenulový oboustranný ideál BxB = (x) je celá B, a proto to X je jednotka. Pokud dimenze z B přes k je konečný, tj. pokud B je centrální jednoduchá algebra konečné dimenze a A je také a k-algebra, pak dána k-algebrické homomorfismy

F, G : A → B,

existuje jednotka b v B takové, že pro všechny A v A^[1][2]

G(A) = b · F(A) · b⁻¹.

Zejména každý automorfismus centrálního jednoduchého k-algebra je vnitřní automorfismus.^[3][4]

Důkaz

Nejprve předpokládejme ${ displaystyle B = operatorname {M} _ {n} (k) = operatorname {End} _ {k} (k ^ {n})}$. Pak F a G definovat akce A na ${ displaystyle k ^ {n}}$; nechat ${ displaystyle V_ {f}, V_ {g}}$ označit A- takto získané moduly. Od té doby ${ displaystyle f (1) = 1 neq 0}$ mapa F je injective jednoduchostí A, tak A je také konečně-dimenzionální. Proto dva jednoduché A-moduly jsou izomorfní a ${ displaystyle V_ {f}, V_ {g}}$ jsou konečné přímé součty jednoduchých A- moduly. Jelikož mají stejnou dimenzi, vyplývá z nich izomorfismus A- moduly ${ displaystyle b: V_ {g} až V_ {f}}$. Ale takové b musí být prvkem ${ displaystyle operatorname {M} _ {n} (k) = B}$. V obecném případě ${ displaystyle B otimes _ {k} B ^ { text {op}}}$ je maticová algebra a to ${ displaystyle A otimes _ {k} B ^ { text {op}}}$ je jednoduchý. První část byla aplikována na mapy ${ displaystyle f otimes 1, g otimes 1: A otimes _ {k} B ^ { text {op}} na B otimes _ {k} B ^ { text {op}}}$, tady existuje ${ displaystyle b in B otimes _ {k} B ^ { text {op}}}$ takhle

${ displaystyle (f otimes 1) (a otimes z) = b (g otimes 1) (a otimes z) b ^ {- 1}}$

pro všechny ${ displaystyle a v A}$ a ${ displaystyle z v B ^ { text {op}}}$. Brát ${ displaystyle a = 1}$, shledáváme

${ displaystyle 1 otimes z = b (1 otimes z) b ^ {- 1}}$

pro všechny z. To znamená, b je v ${ displaystyle Z_ {B otimes B ^ { text {op}}} (k otimes B ^ { text {op}}) = B otimes k}$ a tak můžeme psát ${ displaystyle b = b ' čast 1}$. Brát ${ displaystyle z = 1}$ tentokrát najdeme

${ displaystyle f (a) = b'g (a) {b '^ {- 1}}}$,

o co se hledalo.

Poznámky

Reference

• Skolem, Thoralfe (1927). „Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme“. Skrifter Oslo (v němčině) (12): 50. JFM  54.0154.02.
• Diskuse v kapitole IV Milne, teorie třídního pole [1]
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Centrální jednoduché algebry a galoisova kohomologie. Cambridge studia pokročilé matematiky. 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-86103-9. Zbl  1137.12001.
• Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Springer. ISBN  978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001.