Zdarma algebra - Free algebra
Algebraická struktura → Prstenová teorie Prstenová teorie |
---|
![]() |
Základní pojmy |
Komutativní prsteny
p-adic teorie čísel a desetinná místa
|
v matematika, zejména v oblasti abstraktní algebra známý jako teorie prstenů, a bezplatná algebra je nekomutativní analog a polynomiální kruh protože jeho prvky lze popsat jako „polynomy“ s proměnnými bez dojíždění. Stejně tak polynomiální kruh lze považovat za bezplatná komutativní algebra.
Definice
Pro R A komutativní prsten, volný (asociativní, unital ) algebra na n neurčí {X1,...,Xn} je volný, uvolnit R-modul se základem skládajícím se ze všeho slova přes abecedu {X1,...,Xn} (včetně prázdného slova, které je jednotkou volné algebry). Tento R-module se stává R-algebra definováním násobení následujícím způsobem: součin dvou základních prvků je zřetězení odpovídajících slov:
a součin dvou libovolných R-module elements je tedy jednoznačně určen (protože násobení v R-algebra musí být R-bilineární). Tento R-algebra je označena R⟨X1,...,Xn⟩. Tuto konstrukci lze snadno zobecnit na libovolnou množinu X neurčitých.
Stručně řečeno, pro libovolnou množinu , volný, uvolnit (asociativní, unital ) R-algebra na X je
s R-bilineární násobení, které je zřetězením slov, kde X* označuje volný monoid na X (tj. slova na písmenech Xi), označuje vnější přímý součet, a Rw označuje volný, uvolnit R-modul na 1 prvku slovo w.
Například v R⟨X1,X2,X3,X4⟩, Pro skaláry α, β, γ, δ ∈ R, konkrétním příkladem produktu dvou prvků je
.
Nekomutativní polynomický kruh může být identifikován pomocí monoidní prsten přes R z volný monoid všech konečných slov v Xi.
Kontrast s polynomy
Protože slova nad abecedou {X1, ...,Xn} tvoří základ R⟨X1,...,Xn⟩, Je jasné, že jakýkoli prvek R⟨X1, ...,Xn⟩ Lze napsat jednoznačně ve formě:
kde jsou prvky R a všechny tyto prvky jsou až na konečnou hodnotu nula. To vysvětluje, proč prvky R⟨X1,...,Xn⟩ Jsou často označovány jako „nekomutativní polynomy“ v „proměnných“ (nebo „neurčitých“) X1,...,Xn; elementy se říká, že jsou „koeficienty“ těchto polynomů, a R-algebra R⟨X1,...,Xn⟩ Se nazývá „nekomutativní polynomiální algebra R v n neurčí ". Všimněte si, že na rozdíl od skutečného polynomiální kruh, proměnné ne dojíždět. Například, X1X2 nerovná se X2X1.
Obecněji lze sestavit volnou algebru R⟨E⟩ Na libovolné sadě E z generátory. Protože prsteny lze považovat za Z-algebry, a zdarma vyzvánění na E lze definovat jako volnou algebru Z⟨E⟩.
Přes pole, volná algebra zapnuta n neurčité lze zkonstruovat jako tenzorová algebra na n-dimenzionální vektorový prostor. Pro obecnější prstencový koeficient funguje stejná konstrukce, pokud vezmeme bezplatný modul na n generátory.
Konstrukce volné algebry na E je funkční v přírodě a splňuje vhodné univerzální vlastnictví. Volný funktor algebry je vlevo adjoint do zapomnětlivý funktor z kategorie R-algebry do kategorie sad.
Zdarma algebry dělící kroužky jsou zdarma ideální prsteny.
Viz také
Reference
- Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011). Nekomutativní racionální řady s aplikacemi. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 137. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl 1250.68007.
- L.A. Bokut '(2001) [1994], „Asociativní algebra zdarma“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS