Hasse invariant algebry - Hasse invariant of an algebra
v matematika, Hasse invariant algebry je invariant připojený k a Brauerova třída z algebry nad polem. Pojem je pojmenován po Helmut Hasse. Invariant hraje roli v teorie místní třídy pole.
Místní pole
Nechat K. být místní pole s oceněním proti a D A K.-algebra. Můžeme předpokládat D je divize algebra se středem K. stupně n. Ocenění proti lze rozšířit na D, například jeho kompatibilním rozšířením na každé komutativní podpole pole D: hodnotová skupina tohoto ocenění je (1 /n)Z.[1]
Existuje komutativní podpole L z D který je unramified přes K., a D rozdělí se L.[2] Pole L není jedinečný, ale všechna taková rozšíření jsou konjugována pomocí Věta Skolem – Noether, což dále ukazuje, že jakýkoli automorfismus z L je indukován konjugací v D. Vezměte y D taková, že konjugace s γ indukuje Frobeniový automorfismus z L/K. a nechte proti(γ) = k/n. Pak k/n modulo 1 je Hasseův invariant D. Záleží pouze na Brauerově třídě D.[3]
Hasseův invariant je tedy mapa definovaná na Brauerova skupina a místní pole K. do dělitelná skupina Q/Z.[3][4] Každá třída ve skupině Brauer je zastoupena třídou ve skupině Brauer s unramified příponou L/K. stupně n,[5] které podle Grunwald-Wangova věta a Věta Albert – Brauer – Hasse – Noether můžeme považovat za cyklická algebra (L, φ, πk) pro některé k mod n, kde φ je Mapa Frobenius a π je uniformizátor.[6] Invariantní mapa připojí prvek k/n mod 1 do třídy. Toto vykazuje invariantní mapu jako homomorfismus
Invariantní mapa sahá až k Br (K.) reprezentováním každé třídy nějakým prvkem Br (L/K.) jak je uvedeno výše.[3][4]
Pro non-Archimédovo místní pole je invariantní mapa a skupinový izomorfismus.[3][7]
V případě pole R z reálná čísla, existují dvě Brauerovy třídy reprezentované algebrou R sám a čtveřice algebra H.[8] Je vhodné přiřadit invariantní nulu třídě R a invariant 1/2 modulo 1 do třídy čtveřice.
V případě pole C komplexních čísel je jedinou Brauerovou třídou triviální třída s invariantní nulou.[9]
Globální pole
Pro globální pole K., vzhledem k centrální jednoduché algebře D přes K. pak pro každé ocenění proti z K. můžeme uvažovat o rozšíření skalárů Dproti = D ⊗ K.proti Rozšíření Dproti rozděluje se na všechny, ale konečně na mnoho proti, takže místní invariant z Dproti je téměř vždy nula. Brauerova skupina Br (K.) zapadá do přesná sekvence[8][9]
kde S je soubor všech ocenění K. a šipka vpravo je součtem místních invariantů. Injektivita levé šipky je obsahem Věta Albert – Brauer – Hasse – Noether. Přesnost ve střednědobém horizontu je hlubokým faktem teorie globálního pole.
Reference
- Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Centrální jednoduché algebry a galoisova kohomologie. Cambridge studia pokročilé matematiky. 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001.
- Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Springer. 231–238. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001.
- Serre, Jean-Pierre (1967). „VI. Místní teorie polního pole“. v Cassels, J.W.S.; Fröhlich, A. (eds.). Algebraická teorie čísel. Sborník z instruktážní konference pořádané London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute) s podporou Mezinárodní matematické unie. London: Academic Press. str. 128–161. Zbl 0153.07403.
- Serre, Jean-Pierre (1979). Místní pole. Postgraduální texty z matematiky. 67. Přeloženo Greenberg, Marvin Jay. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90424-7. Zbl 0423.12016.
Další čtení
- Shatz, Stephen S. (1972). Nekonečné skupiny, aritmetika a geometrie. Annals of Mathematics Studies. 67. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08017-8. PAN 0347778. Zbl 0236.12002.