Věta o Cohenově struktuře - Cohen structure theorem

V matematice je Věta o Cohenově struktuře, představil Cohen  (1946 ), popisuje strukturu kompletní Noetherian místní prsteny.

Některé důsledky Cohenovy věty o struktuře zahrnují tři dohady Krull:

  • Jakékoli úplné pravidelný equicharacteristic Noetherian local ring is a ring of formal power series over a field. (Equicharacteristic znamená, že místní kruh a jeho zbytkové pole mají stejnou charakteristiku a je ekvivalentní místnímu kruhu obsahujícímu pole.)
  • Jakýkoli úplný pravidelný netherianský místní kruh, který není ekvicharakteristický, ale je neramifikovaný, je jednoznačně určen jeho zbytkovým polem a jeho rozměrem.
  • Jakýkoli úplný noetherianský místní kruh je obrazem úplného pravidelného noetherianského místního kruhu.

Prohlášení

Nejčastěji používaným případem Cohenovy věty je situace, kdy kompletní netherianský místní kruh obsahuje nějaké pole. V tomto případě Cohenova věta o struktuře říká, že kruh je ve formě k[[X1,...,Xn]]/(Já) pro nějaký ideální Já, kde k je jeho pole třídy reziduí.

V nerovném charakteristickém případě, kdy úplný netherianský místní kruh neobsahuje pole, uvádí Cohenova věta o struktuře, že místní kruh je kvocient formálního prstence mocninné řady v konečném počtu proměnných přes a Cohenův prsten se stejným polem zbytku jako místní kruh. Cohenův prsten je pole nebo úplná charakteristická nula diskrétní oceňovací kruh jehož maximální ideál je generován prvočíslem p (rovná se charakteristice pole reziduí).

V obou případech je nejtěžší částí Cohenova důkazu ukázat, že kompletní noetherianský místní prsten obsahuje a koeficient prsten (nebo pole koeficientu), což znamená kompletní diskrétní oceňovací kruh (nebo pole) se stejným zbytkovým polem jako místní kruh.

Veškerý tento materiál je pečlivě vyvinut v projektu Stacks „Stacks Project - Tag 0323“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2018-08-13..

Reference