Subring - Subring

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Listopadu 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Algebraická struktura → Prstenová teorie Prstenová teorie
Základní pojmy Prsteny • Podřetězce • Ideál • Kvocient prstenu • Zlomkový ideál • Celkový kvocient kvocientu • Produktový prsten • Zdarma produkt asociativních algeber • Tenzorový produkt prstenů Prstencové homomorfismy • Jádro • Vnitřní automorfismus • Frobeniova endomorfismus Algebraické struktury • Modul • Asociativní algebra • Tříděný prsten • Intuutivní prsten • Kategorie prstenů • Počáteční zvonění ${ displaystyle mathbb {Z}}$ • Svorkovnice ${ displaystyle 0 = mathbb {Z} _ {1}}$ Související struktury • Pole • Konečné pole • Neasociativní prsten • Lež prsten • Jordan prsten • Semiring • Semifield
Komutativní algebra Komutativní prsteny • Integrovaná doména • Integrovaná uzavřená doména • Doména GCD • Unikátní faktorizační doména • Hlavní ideální doména • Euklidovská doména • Pole • Konečné pole • Složení prsten • Polynomiální kruh • Formální prsten řady power Algebraická teorie čísel • Algebraické číselné pole • Kruh čísel • Algebraická nezávislost • Teorie transcendentních čísel • Stupeň transcendence p-adic teorie čísel a desetinná místa • Přímý limit /Inverzní limit • Nulový prsten ${ displaystyle mathbb {Z} _ {1}}$ • Celá čísla modulo pn ${ displaystyle mathbb {Z} / p ^ {n} mathbb {Z}}$ • Prüfer p-prsten ${ displaystyle mathbb {Z} (p ^ { infty})}$ • Základna -p kruhový prsten ${ displaystyle mathbb {T}}$ • Základna -p celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z}}$ • p-adic racionální ${ displaystyle mathbb {Z} [1 / p]}$ • Základna -p reálná čísla ${ displaystyle mathbb {R}}$ • p-adická celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ • p-adická čísla ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ • p-adický solenoid ${ displaystyle mathbb {T} _ {p}}$ Algebraická geometrie • Afinní odrůda
Nekomutativní algebra Nezávazné prsteny • Divizní prsten • Semiprimitivní prsten • Jednoduché zazvonění • Komutátor Nekomutativní algebraická geometrie Zdarma algebra Cliffordova algebra • Geometrická algebra Operátorská algebra

v matematika, a podřízený z R je podmnožina a prsten to je sám prsten, když binární operace sčítání a násobení na R jsou omezeny na podmnožinu a sdílejí to samé multiplikativní identita tak jako R. Pro ty, kteří definují prsteny, aniž by vyžadovali existenci multiplikativní identity, podřetězec R je jen podmnožina R to je prsten pro operace R (to znamená, že obsahuje aditivní identitu R). Ten dává přísně slabší podmínku, dokonce i pro prsteny, které mají multiplikativní identitu, takže například všechny ideály stanou se podřetězci (a mohou mít multiplikativní identitu, která se liší od té z R). S definicí vyžadující multiplikativní identitu (která je použita v tomto článku) je jediným ideálem R to je podřetězec z R je R sám.

Definice

Podříznutí prstenu (R, +, ∗, 0, 1) je podmnožina S z R který zachovává strukturu prstenu, tj. prsten (S, +, ∗, 0, 1) s S ⊆ R. Ekvivalentně je to obojí podskupina z (R, +, 0) a a submonoid z (R, ∗, 1).

Příklady

Prsten Z a jeho podíly Z/nZ nemají žádné podřetězce (s multiplikativní identitou) kromě úplného vyzvánění.

Každý prsten má jedinečný nejmenší podřetězec, isomorfní k nějakému prstenu Z/nZ s n nezáporné celé číslo (viz charakteristický ). Celá čísla Z odpovídají n = 0 v tomto prohlášení, protože Z je izomorfní s Z/0Z.

Subring test

The subring test je teorém to říká, že pro jakýkoli prsten R, a podmnožina S z R je podřetězec, právě když je Zavřeno pod násobením a odčítáním a obsahuje multiplikativní identitu R.

Jako příklad prsten Z z celá čísla je podřetězec pole z reálná čísla a také podřízený prsten kruhu polynomy Z[X].

Prodloužení prstenu

Li S je podřízený prsten R, potom ekvivalentně R se říká, že je prodloužení kroužku z S, psáno jako R/S v podobném zápisu jako pro rozšíření pole.

Podřetězec generovaný sadou

Nechat R ložisko. Jakákoli křižovatka podřetězců R je opět podřetězcem R. Proto pokud X je libovolná podmnožina R, průnik všech podřetězců R obsahující X je podřetězec S z R. S je nejmenší podřetězec z R obsahující X. („Nejmenší“ znamená, že pokud T je jakýkoli jiný podřetězec z R obsahující X, pak S je obsažen v T.) S se říká, že je podřetězcem R generováno podle X. Li S = R, můžeme říci, že prsten R je generováno podle X.

Vztah k ideálům

Správně ideály jsou podřetězce (bez jednoty), které jsou uzavřeny pod levým i pravým násobením prvky z R.

Pokud člověk vynechá požadavek, že prsteny mají prvek jednoty, pak podřetězce musí být pouze neprázdné a jinak odpovídat struktuře prstenů a ideály se stávají podřetězci. Ideály mohou, ale nemusí mít svou vlastní multiplikativní identitu (odlišnou od identity prstenu):

• Ideál Já = {(z,0) | z v Z} prstenu Z × Z = {(X,y) | X,y v Z} s přidáváním a násobením komponent má identitu (1,0), která se liší od identity (1,1) kruhu. Tak Já je prsten s jednotou a „podřetězcem bez jednoty“, ale ne „podřetězcem s jednotou“ Z × Z.
• Správné ideály Z nemají multiplikativní identitu.

Li Já je hlavní ideál komutativního kruhu R, pak křižovatka Já s jakýmkoli podřetězcem S z R zůstává hlavním S. V tomto případě to říká jeden Já leží přes Já ∩ S. Situace je komplikovanější, když R není komutativní.

Profil komutativními podřetězci

Prsten může být profilován^{[je zapotřebí objasnění ]} podle rozmanitosti komutativní podřetězce, které hostí:

• The čtveřice prsten H obsahuje pouze složité letadlo jako rovinný dílčí díl
• The coquaternion prsten obsahuje tři typy komutativních rovinných podřetězců: dvojí číslo letadlo, rozdělené komplexní číslo rovina, stejně jako obyčejná komplexní rovina
• Kroužek 3 × 3 reálných matic také obsahuje trojrozměrné komutativní podřetězce generované matice identity a a nilpotentní ε řádu 3 (εεε = 0 ≠ εε). Například Skupina Heisenberg lze realizovat jako spojení skupiny jednotek dvou z těchto nilpotentních generovaných podřetězců matic 3 × 3.

Viz také

• Integrální rozšíření
• Skupinové rozšíření
• Algebraické rozšíření
• Prodloužení rudy

Reference

• Iain T. Adamson (1972). Základní kroužky a moduly. Univerzitní matematické texty. Oliver a Boyd. s. 14–16. ISBN  0-05-002192-3.
• Stránka 84 z Lang, Serge (1993), Algebra (Třetí vydání), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN  978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
• David Sharpe (1987). Kroužky a faktorizace. Cambridge University Press. str.15–17. ISBN  0-521-33718-6.