Frobeniova věta (algebry reálného dělení) - Frobenius theorem (real division algebras) - Wikipedia

v matematika, konkrétněji v abstraktní algebra, Frobeniova věta, prokázáno Ferdinand Georg Frobenius v roce 1877 charakterizuje konečně-dimenzionální asociativní divize algebry přes reálná čísla. Podle věty je každá taková algebra izomorfní na jednu z následujících možností:

$R$ (skutečná čísla)
$C$ (dále jen komplexní čísla )
$H$ (dále jen čtveřice ).

Tyto algebry mají skutečný rozměr $1, 2$ , a $4$ , resp. Z těchto tří algeber $R$ a $C$ jsou komutativní, ale $H$ není.

Důkaz

Hlavní ingredience pro následující důkaz jsou: Cayley-Hamiltonova věta a základní věta o algebře.

Představujeme nějakou notaci

Nechat $D$ být divizní algebra v otázce.
Identifikujeme skutečné násobky $1$ s $R$ .
Když píšeme $A \leq 0$ pro prvek $A$ z $D$ , mlčky to předpokládáme $A$ je obsažen v $R$ .
Můžeme uvažovat $D$ jako konečně-dimenzionální $R$ -vektorový prostor. Libovolný prvek $d$ z $D$ definuje endomorfismus z $D$ multiplikací vlevo identifikujeme $d$ s tím endomorfismem. Proto můžeme mluvit o stopa z $d$ , a jeho charakteristický a minimální polynomy.
Pro všechny $z$ v $C$ definujte následující skutečný kvadratický polynom:

{ displaystyle Q (z; x) = x ^ {2} -2 operatorname {Re} (z) x + | z | ^ {2} = (xz) (x - { overline {z}}) v mathbf {R} [x].}

Všimněte si, že pokud

z \in C ∖ R

pak

Q (z; X)

je neredukovatelný

R

.

Tvrzení

Klíč k argumentu je následující

Nárok. Sada

PROTI

všech prvků

A

z

D

takhle

A 2 \leq 0

je vektorový podprostor o

D

z kodimenzionální

1

. navíc

D = R \oplus PROTI

tak jako

R

-vektorové mezery, z čehož vyplývá, že

PROTI

generuje

D

jako algebra.

Doklad o reklamaci: Nechat $m$ být rozměrem $D$ jako $R$ -vektorový prostor a vybrat $A$ v $D$ s charakteristickým polynomem $str (X)$ . Základní teorémem algebry můžeme psát

{ displaystyle p (x) = (x-t_ {1}) cdots (x-t_ {r}) (x-z_ {1}) (x - { overline {z_ {1}}}) cdots (x-z_ {s}) (x - { overline {z_ {s}}}), qquad t_ {i} in mathbf {R}, quad z_ {j} in mathbf {C} zpětné lomítko mathbf {R}.}

Můžeme přepsat $str (X)$ z hlediska polynomů $Q (z; X)$ :

{ displaystyle p (x) = (x-t_ {1}) cdots (x-t_ {r}) Q (z_ {1}; x) cdots Q (z_ {s}; x).}

Od té doby $zj ∈ C\R$ , polynomy $Q (z j; X)$ všichni jsou neredukovatelné přes $R$ . Podle Cayley-Hamiltonovy věty, $str (A) = 0$ a protože $D$ je divizní algebra, z toho také vyplývá $A - t i = 0$ pro některé $i$ nebo tak $Q (z j; A) = 0$ pro některé $j$ . První případ to naznačuje $A$ je skutečný. Ve druhém případě z toho vyplývá $Q (z j; X)$ je minimální polynom z $A$ . Protože $str (X)$ má stejné komplexní kořeny jako minimální polynom a protože je skutečný, vyplývá z toho

{ displaystyle p (x) = Q (z_ {j}; x) ^ {k} = left (x ^ {2} -2 operatorname {Re} (z_ {j}) x + | z_ {j} | ^ {2} vpravo) ^ {k}}

Od té doby $str (X)$ je charakteristický polynom z $A$ koeficient $X 2 k -1$ v $str (X)$ je $tr (A)$ až na znamení. Proto čteme z výše uvedené rovnice, kterou máme: $tr (A) = 0$ kdyby a jen kdyby $Re(z j) = 0$ , jinými slovy $tr (A) = 0$ kdyby a jen kdyby $A 2 = -| z j | 2 < 0$ .

Tak $PROTI$ je podmnožinou všech $A$ s $tr (A) = 0$ . Zejména se jedná o vektorový podprostor. Navíc, $PROTI$ má codimension $1$ protože se jedná o jádro nenulové lineární formy, všimněte si toho $D$ je přímý součet $R$ a $PROTI$ jako vektorové prostory.

Cíl

Pro $A, b$ v $PROTI$ definovat $B (A, b) = (- ab - ba)/2$ . Kvůli identitě $(A + b) 2 - A 2 - b 2 = ab + ba$ , z toho vyplývá, že $B (A, b)$ je skutečný. Kromě toho od $A 2 \leq 0$ , my máme: $B (A, A) > 0$ pro $A \neq 0$ . Tím pádem $B$ je pozitivní určitý symetrická bilineární forma jinými slovy an vnitřní produkt na $PROTI$ .

Nechat $Ž$ být podprostorem $PROTI$ který generuje $D$ jako algebra a která je s ohledem na tuto vlastnost minimální. Nechat $E 1, ..., E n$ být ortonormální základ z $Ž$ s ohledem na $B$ . Z ortonormality pak vyplývá, že:

{ displaystyle e_ {i} ^ {2} = - 1, quad e_ {i} e_ {j} = - e_ {j} e_ {i}.}

Li $n = 0$ , pak $D$ je izomorfní na $R$ .

Li $n = 1$ , pak $D$ generuje $1$ a $E 1$ vztahu $E 21 = -1$ . Proto je izomorfní $C$ .

Li $n = 2$ , výše se ukázalo $D$ generuje $1, E 1, E 2$ podléhá vztahům

{ displaystyle e_ {1} ^ {2} = e_ {2} ^ {2} = - 1, quad e_ {1} e_ {2} = - e_ {2} e_ {1}, quad (e_ { 1} e_ {2}) (e_ {1} e_ {2}) = - 1.}

Jedná se přesně o vztahy pro $H$ .

Li $n > 2$ , pak $D$ nemůže být algebra divize. Předpokládat, že $n > 2$ . Nechat $u = E 1 E 2 E n$ . Je snadné to vidět $u 2 = 1$ (to funguje, pouze pokud $n > 2$ ). Li $D$ byla divizní algebra, $0 = u 2 - 1 = (u - 1)(u + 1)$ naznačuje $u = \pm1$ , což zase znamená: $E n = \mp E 1 E 2$ a tak $E 1, ..., E n -1$ generovat $D$ . To je v rozporu s minimem $Ž$ .

Poznámky a související výsledky

Skutečnost, že $D$ generuje $E 1, ..., E n$ předmět výše uvedených vztahů znamená, že $D$ je Cliffordova algebra z $R n$ . Poslední krok ukazuje, že jediné skutečné Cliffordovy algebry, které jsou algebry divize, jsou $Cℓ 0, Cℓ 1$ a $Cℓ 2$ .
V důsledku toho jediný komutativní divizní algebry jsou $R$ a $C$ . Všimněte si také, že $H$ není $C$ -algebra. Pokud ano, pak střed $H$ musí obsahovat $C$ , ale střed $H$ je $R$ . Proto je jediná konečně-dimenzionální dělení algebry přes $C$ je $C$ sám.
Tato věta úzce souvisí s Hurwitzova věta, který uvádí, že jediný skutečný normované dělení algebry jsou $R, C, H$ a (neasociativní) algebra $Ó$ .
Varianta Pontryagin. Li $D$ je připojeno, místně kompaktní divize prsten, pak $D = R, C$ nebo $H$ .

Reference

Ray E. Artz (2009) Skalární algebry a čtveřice, Věta 7.1 „Frobeniova klasifikace“, strana 26.
Ferdinand Georg Frobenius (1878) "Über lineare Substitutionen und bilineare Formen ", Journal für die reine und angewandte Mathematik 84:1–63 (Crelle's Journal ). Přetištěno Gesammelte Abhandlungen Pásmo I, str. 343–405.
Yuri Bahturin (1993) Základní struktury moderní algebryKluwer Acad. Hospoda. str. 30–2 ISBN 0-7923-2459-5 .
Leonard Dickson (1914) Lineární algebry, Cambridge University Press. Viz §11 „Algebra skutečných čtveřic; její jedinečné místo mezi algebrami“, strany 10 až 12.
R.S. Palais (1968) „Klasifikace algeber skutečné divize“ Americký matematický měsíčník 75:366–8.
Lev Semenovich Pontryagin, Topologické skupiny, strana 159, 1966.