Bicentrický mnohoúhelník - Bicentric polygon

An rovnostranný trojúhelník

A dvoustranný papírový drak

Bicentrický rovnoramenný lichoběžník

Pravidelný Pentagon

V geometrii, a dvoustranný mnohoúhelník je tangenciální polygon (mnohoúhelník, jehož všechny strany jsou tečny k vnitřnímu incircle ) což je také cyklický - to je, napsaný v vnější kruh který prochází každým vrcholem mnohoúhelníku. Všechno trojúhelníky a všechno pravidelné mnohoúhelníky jsou dvoustranné. Na druhou stranu a obdélník s nerovnými stranami není bicentrický, protože žádný kruh nemůže být tečný ke všem čtyřem stranám.

Trojúhelníky

Každý trojúhelník je dvoustranný.^[1] V trojúhelníku, poloměry r a R z incircle a obvod respektive souvisí s rovnice

${ displaystyle { frac {1} {R-x}} + { frac {1} {R + x}} = { frac {1} {r}}}$

kde X je vzdálenost mezi středy kruhů.^[2] Toto je jedna verze Eulerův trojúhelníkový vzorec.

Bicentrické čtyřúhelníky

Ne vše čtyřúhelníky jsou dvoustranné (mají jak kruh, tak kruh). Vzhledem k tomu, dva kruhy (jeden v druhém) s poloměry R a r kde ${ displaystyle R> r}$, existuje konvexní čtyřúhelník vepsaný do jednoho z nich a dotýkající se druhého kdyby a jen kdyby jejich poloměry uspokojují

${ displaystyle { frac {1} {(Rx) ^ {2}}} + { frac {1} {(R + x) ^ {2}}} = { frac {1} {r ^ {2 }}}}$

kde X je vzdálenost mezi jejich středy.^[2][3] Tato podmínka (a analogické podmínky pro polygony vyššího řádu) je známá jako Fussova věta.^[4]

Polygony s n> 4

Komplikovaný obecný vzorec je známý pro libovolné číslo n stran pro vztah mezi circumradius R, inradius ra vzdálenost X mezi circumcenterem a incenterem.^[5] Některé z nich pro konkrétní n jsou:

${ displaystyle n = 5: quad r (Rx) = (R + x) { sqrt {(R-r + x) (Rrx)}} + (R + x) { sqrt {2R (Rrx)} },}$

${ displaystyle n = 6: quad 3 (R ^ {2} -x ^ {2}) ^ {4} = 4r ^ {2} (R ^ {2} + x ^ {2}) (R ^ { 2} -x ^ {2}) ^ {2} + 16r ^ {4} x ^ {2} R ^ {2},}$

${ displaystyle n = 8: quad 16p ^ {4} q ^ {4} (p ^ {2} -1) (q ^ {2} -1) = (p ^ {2} + q ^ {2} -p ^ {2} q ^ {2}) ^ {4},}$

kde ${ displaystyle p = { tfrac {R + x} {r}}}$ a ${ displaystyle q = { tfrac {R-x} {r}}.}$

Pravidelné mnohoúhelníky

Každý pravidelný mnohoúhelník je dvoustranný.^[2] V pravidelném mnohoúhelníku jsou incircle a circumcircle koncentrický - to znamená, že sdílejí společný střed, který je také středem pravidelného mnohoúhelníku, takže vzdálenost mezi motivem a circumcenterem je vždy nulová. Poloměr vepsané kružnice je apothem (nejkratší vzdálenost od středu k hranici pravidelného mnohoúhelníku).

U libovolného regulárního polygonu jsou to vztahy mezi společným okraj délka A, poloměr r z incircle a poloměr R z obvod jsou:

${ displaystyle R = { frac {a} {2 sin { frac { pi} {n}}}} = { frac {r} { cos { frac { pi} {n}}} }.}$

Pro některé pravidelné polygony, které mohou být konstruováno s kompasem a pravítkem, máme následující algebraické vzorce pro tyto vztahy:

${ displaystyle n ! ,}$	${ displaystyle R , { text {and}} , a ! ,}$	${ displaystyle r , { text {and}} , a ! ,}$	${ displaystyle r , { text {and}} , R ! ,}$
3	${ displaystyle R { sqrt {3}} = a ! ,}$	${ displaystyle 2r = { frac {a} {3}} { sqrt {3}} ! ,}$	${ displaystyle 2r = R ! ,}$
4	${ displaystyle R { sqrt {2}} = a ! ,}$	${ displaystyle r = { frac {a} {2}} ! ,}$	${ displaystyle 2r = R { sqrt {2}} ! ,}$
5	${ displaystyle R { sqrt { frac {5 - { sqrt {5}}} {2}}} = a ! ,}$	${ displaystyle r left ({ sqrt {5}} - 1 right) = { frac {a} {10}} { sqrt {50 + 10 { sqrt {5}}}} ! , }$	${ displaystyle r ({ sqrt {5}} - 1) = R ! ,}$
6	${ displaystyle R = a ! ,}$	${ displaystyle { frac {2r} {3}} { sqrt {3}} = a ! ,}$	${ displaystyle { frac {2r} {3}} { sqrt {3}} = R ! ,}$
8	${ displaystyle R { sqrt {2 + { sqrt {2}}}} = a left ({ sqrt {2}} + 1 right) ! ,}$	${ displaystyle r { sqrt {4-2 { sqrt {2}}}} = { frac {a} {2}} { sqrt {4 + 2 { sqrt {2}}}} ! ,}$	${ displaystyle 2r left ({ sqrt {2}} - 1 right) = R { sqrt {2 - { sqrt {2}}}} ! ,}$
10	${ displaystyle ({ sqrt {5}} - 1) R = 2a ! ,}$	${ displaystyle 2r { sqrt {25-10 { sqrt {5}}}} = 5a ! ,}$	${ displaystyle { frac {2r} {5}} { sqrt {25-10 { sqrt {5}}}} = { frac {R} {2}} vlevo ({ sqrt {5}} -1 vpravo) ! ,}$

Máme tedy následující desetinná přiblížení:

${ displaystyle n ! ,}$		${ displaystyle R / a ! ,}$		${ displaystyle r / a ! ,}$		${ displaystyle R / r ! ,}$
${ displaystyle 3 ,}$		${ displaystyle 0,577 ,}$		${ displaystyle 0,289}$		${ displaystyle 2.000 ,}$
${ displaystyle 4}$		${ displaystyle 0,707 ,}$		${ displaystyle 0,500}$		${ displaystyle 1.414 ,}$
${ displaystyle 5}$		${ displaystyle 0,851 ,}$		${ displaystyle 0,688}$		${ displaystyle 1.236 ,}$
${ displaystyle 6}$		${ displaystyle 1 000 ,}$		${ displaystyle 0,866}$		${ displaystyle 1,155 ,}$
${ displaystyle 8}$		${ displaystyle 1.307 ,}$		${ displaystyle 1.207}$		${ displaystyle 1.082 ,}$
${ displaystyle 10}$		${ displaystyle 1.618 ,}$		${ displaystyle 1,539}$		${ displaystyle 1.051 ,}$

Ponceletův porismus

Pokud jsou dva kruhy vepsané a ohraničené kruhy konkrétního dvoustranného n-gon, pak stejné dva kruhy jsou vepsané a ohraničené kruhy nekonečně mnoha bicentrik n-gons. Přesněji řečeno, každý tečna do vnitřku dvou kruhů lze rozšířit na bicentrický n-gon umístěním vrcholů na čáru v bodech, kde protíná vnější kruh, pokračuje z každého vrcholu podél další tečné čáry a pokračuje stejným způsobem až do výsledného polygonální řetěz zavře se do n-gon. Skutečnost, že to tak bude vždy, naznačuje Ponceletova věta o uzavření, který obecněji platí pro zapsané a ohraničené kuželosečky.^[6]

Kromě toho, vzhledem k obvodu a kruhu, je každá úhlopříčka variabilního polygonu tečná k pevné kružnici. ^[7]

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Bicentrický mnohoúhelník“. MathWorld.