Apollonian těsnění - Apollonian gasket

Příklad Apollonian těsnění

v matematika, an Apollonian těsnění nebo Apollonian net je fraktální generovány počínaje trojicí kruhů, z nichž každá je tečna k dalším dvěma, a postupně vyplněním dalších kruhů tečna na další tři. Je pojmenován po řecký matematik Apollonius z Pergy.[1]

Konstrukce

Vzájemně tečné kruhy. Vzhledem k tomu, tři vzájemně tečné kruhy (Černá), jsou k nim obecně dva další kruhy vzájemně tečné k nim (Červené).

Apollonian těsnění může být konstruován následovně. Začněte třemi kruhy C1, C2 a C3, z nichž každá je tečna k ostatním dvěma (v obecné konstrukci musí mít tyto tři kružnice různé velikosti a musí mít společnou tečnu). Apollonius zjistil, že existují dva další neprotínající se kruhy, C4 a C5, které mají tu vlastnost, že jsou tečny ke všem třem původním kruhům - ty se nazývají Apollonian kruhy. Přidáním dvou klonů Apollonian k původním třem máme nyní pět kruhů.

Vezměte jeden ze dvou Apollonian kruhů - řekněme C4. Je to tečna C1 a C2, takže trojice kruhů C4, C1 a C2 má své vlastní dva Apollonian kruhy. Jednu z nich již známe - je C3 - ale ten druhý je nový kruh C6.

Podobným způsobem můžeme postavit další nový kruh C7 to je tečna C4, C2 a C3a další kruh C8 z C4, C3 a C1. To nám dává 3 nové kruhy. Můžeme postavit další tři nové kruhy z C5, což dává celkem šest nových kruhů. Spolu s kruhy C1 na C5, to dává celkem 11 kruhů.

Tímto způsobem pokračujeme ve fázi výstavby po etapě a můžeme přidat 2 · 3n nové kruhy ve fázi n, což je celkem 3n+1 + 2 kruhy po n etapy. V limitu je tato sada kruhů apollonským těsněním.

Velikost nových kruhů je určena Descartova věta. Nechat ki (pro i = 1, ..., 4) označují zakřivení čtyř vzájemně tečných kruhů. Pak se uvádí Descartova věta

 

 

 

 

(1)

Apollonian těsnění má Hausdorffova dimenze asi 1,3057.[2]

Zakřivení

Zakřivení kruhu (ohybu) je definováno jako inverzní k jeho poloměru.

  • Záporné zakřivení znamená, že všechny ostatní kružnice jsou vnitřně tečné k tomuto kruhu. To je ohraničující kruh.
  • Nulové zakřivení dává přímku (kruh s nekonečným poloměrem).
  • Kladné zakřivení znamená, že všechny ostatní kružnice jsou k tomuto kruhu externě tečné. Tato kružnice je uvnitř kruhu se záporným zakřivením.

Variace

V omezujícím případě (0,0,1,1) jsou dva největší kruhy nahrazeny rovnoběžnými přímkami. Tím vznikne rodina Ford kruhy.
Balení apollonské koule

Apollonské těsnění lze také zkonstruovat nahrazením jedné z generujících kruhů přímkou, kterou lze považovat za kruh procházející bodem v nekonečnu.

Alternativně mohou být dva z generujících kruhů nahrazeny rovnoběžnými přímkami, které lze považovat za tečny k sobě navzájem v nekonečnu. V této konstrukci tvoří další kruhy rodinu Ford kruhy.

Trojrozměrný ekvivalent Apollonian těsnění je Balení apollonské koule.

Symetrie

Pokud dva z původních generujících kruhů mají stejný poloměr a třetí kruh má poloměr, který je dvěma třetinami, pak má apollonské těsnění dvě linie reflexní symetrie; jedna čára je čára spojující středy stejných kruhů; druhá je jejich vzájemná tečna, která prochází středem třetího kruhu. Tyto čáry jsou navzájem kolmé, takže Apollonian těsnění má také rotační symetrii stupně 2; skupina symetrie tohoto těsnění je D2.

Pokud mají všechny tři z původních generujících kruhů stejný poloměr, pak má apollonské těsnění tři linie reflexní symetrie; tyto úsečky jsou vzájemnými tečnami každé dvojice kruhů. Každá vzájemná tečna také prochází středem třetího kruhu a společným středem prvních dvou apollonských kruhů. Tyto linie symetrie jsou navzájem v úhlech 60 stupňů, takže Apollonian těsnění má také rotační symetrii stupně 3; skupina symetrie tohoto těsnění je D3.

Odkazy s hyperbolickou geometrií

Tři generující kružnice, a tedy celá konstrukce, jsou určeny umístěním tří bodů, kde jsou tečny k sobě navzájem. Protože existuje Möbiova transformace který mapuje libovolné tři dané body v rovině na jakékoli další tři body, a protože Möbiovy transformace zachovávají kruhy, pak existuje Möbiova transformace, která mapuje libovolná dvě apollonská těsnění k sobě navzájem.

Möbiovy transformace jsou také izometrií hyperbolická rovina, takže v hyperbolické geometrii jsou všechna apollonská těsnění shodná. V jistém smyslu tedy existuje pouze jedno apollonské těsnění, až do (hyperbolické) izometrie.

Apollónské těsnění je limitní množina skupiny Möbiových transformací známých jako a Kleinianova skupina.[3]

Integrovaná apollonská kruhová těsnění

  • Integrální apollonský kruhový obal definovaný kruhem zakřivení z (-1, 2, 2, 3)

  • Integrální apollonské kruhové balení definované kruhovými zakřiveními (−3, 5, 8, 8)

  • Integrální apollonské kruhové balení definované kruhovými zakřiveními (-12, 25, 25, 28)

  • Integrální apollonské kruhové balení definované kruhovými zakřiveními (-6, 10, 15, 19)

  • Integrované Apollonian kruhové balení definované kruhovými zakřiveními (-10, 18, 23, 27)

Pokud mají všechny čtyři vzájemně tečné kruhy v apollonském těsnění všechny zakřivení celého čísla, pak všechny kruhy v těsnění budou mít zakřivení celého čísla.[4]Protože rovnice týkající se zakřivení v apollonském těsnění, integrální nebo ne, je

z toho vyplývá, že se člověk může pohybovat z jedné čtyřnásobnosti zakřivení do druhé o Vieta skákání, stejně jako při hledání nového Markovovo číslo Prvních několik z těchto integrálních apollonských těsnění je uvedeno v následující tabulce. Tabulka uvádí zakřivení největších kruhů v těsnění. K úplnému popisu každého těsnění jsou potřeba pouze první tři zakřivení (z pěti zobrazených v tabulce) - všechna ostatní zakřivení lze odvodit z těchto tří.

Symetrie integrálních Apollonian kruhových těsnění

Žádná symetrie

Pokud se žádné z křivek neopakuje během prvních pěti, těsnění neobsahuje žádnou symetrii, která je reprezentována skupinou symetrie C1; příkladem je těsnění popsané zakřivením (−10, 18, 23, 27).

D1 symetrie

Kdykoli dva z největších pěti kruhů v těsnění mají stejné zakřivení, toto těsnění bude mít D1 symetrie, která odpovídá odrazu podél průměru ohraničující kružnice, bez rotační symetrie.

D2 symetrie

Pokud se během prvních pěti opakují dvě různá zakřivení, těsnění bude mít D2 symetrie; taková symetrie se skládá ze dvou odrazů (navzájem kolmých) podél průměrů ohraničující kružnice se dvojnásobnou rotační symetrií 180 °. Těsnění popsané zakřivením (−1, 2, 2, 3) je jediným apollonským těsněním (až do měřítka), které má D2 symetrie.

D3 symetrie

Neexistují žádná celočíselná těsnění s D3 symetrie.

Pokud mají tři kruhy s nejmenším kladným zakřivením stejné zakřivení, bude mít těsnění D3 symetrie, což odpovídá třem odrazům podél průměrů ohraničující kružnice (rozmístěných 120 ° od sebe), spolu s trojnásobnou rotační symetrií 120 °. V tomto případě je poměr zakřivení ohraničujícího kruhu ke třem vnitřním kruhům 2√3 - 3. Protože tento poměr není racionální, žádný integrální apollonský kruhový obal toto nedisponuje D3 symetrie, ačkoli mnoho obalů se blíží.

Téměř-D3 symetrie

(−15, 32, 32, 33)
(−15, 32, 32, 33)

Obrázek vlevo je integrální apollonské těsnění, které, zdá se, má D3 symetrie. Stejný obrázek je zobrazen vpravo se štítky označujícími zakřivení vnitřních kruhů, které ukazují, že těsnění ve skutečnosti vlastní pouze D1 symetrie společná mnoha dalším integrálním apollonským těsněním.

Následující tabulka uvádí další z nich téměř-D3 integrální Apollonian těsnění. Sekvence má několik zajímavých vlastností a tabulka uvádí faktorizaci zakřivení spolu s multiplikátorem potřebným k přechodu z předchozí sady na aktuální. Absolutní hodnoty zakřivení disků „a“ jsou v souladu s relace opakování A(n) = 4A(n − 1) − A(n − 2) (sekvence A001353 v OEIS ), z čehož vyplývá, že multiplikátor konverguje k √3 + 2 ≈ 3.732050807.

Integrovaná apollonská těsnění s téměřD3 symetrie
ZakřiveníFaktoryNásobitel
AbCdAbdAbCd
−12231×11×21×3N / AN / AN / AN / A
−48992×22×43×34.0000000004.0000000004.5000000003.000000000
−153232333×54×83×113.7500000004.0000000003.5555555563.666666667
−561201211218×78×1511×113.7333333333.7500000003.7812500003.666666667
−20945045045111×1915×3011×413.7321428573.7500000003.7190082643.727272727
−78016801681168130×2630×5641×413.7320574163.7333333333.7355555563.727272727
−291162726272627341×7156×11241×1533.7320512823.7333333333.7311124333.731707317
−10864234082340923409112×97112×209153×1533.7320508423.7321428573.7323022963.731707317
−40545873628736287363153×265209×418153×5713.7320508103.7321428573.7319834253.732026144

Sekvenční zakřivení

Vnořené Apollonian těsnění

Pro jakékoli celé číslo n > 0, existuje apollonské těsnění definované následujícími zakřiveními:
(−n, n + 1, n(n + 1), n(n + 1) + 1).
Například těsnění definovaná pomocí (−2, 3, 6, 7), (−3, 4, 12, 13), (−8, 9, 72, 73) a (−9, 10, 90, 91 ) všechny se řídí tímto vzorem. Protože každý vnitřní kruh, který je definován n +1 se může stát ohraničujícím kruhem (definovaným -n) v jiném těsnění, tato těsnění mohou být vnořené. To je ukázáno na obrázku vpravo, který obsahuje tato postupná těsnění s n běží od 2 do 20.

Viz také

Poznámky

  1. ^ Satija, I. I., Motýl ve světě Iglesias Waseas: Příběh nejvíce fascinujícího kvantového fraktálu (Bristol: Publikování IOP, 2016), str. 5.
  2. ^ McMullen, Curtis T. (3. října 1997). "Hausdorffova dimenze a konformní dynamika III: Výpočet dimenze ", Abel.Math.Harvard.edu. Přístup: 27. října 2018.
  3. ^ Počítání kruhů a ergodická teorie Kleinianových skupin Hee Oh Brown. University prosinec 2009
  4. ^ Ronald L. Graham, Jeffrey C. Lagarias, Colin M. Mallows, Alan R. Wilks a Catherine H. Yan; „Apollonian Circle Packings: Number Theory“ J. The Number Number, 100 (2003), 1-45

Reference

  • Benoit B. Mandelbrot: Fraktální geometrie přírody, W H Freeman, 1982, ISBN  0-7167-1186-9
  • Paul D. Bourke: "Úvod do Apollónového fraktálu ". Počítače a grafika, svazek 30, vydání 1, leden 2006, strany 134–136.
  • David Mumford, Caroline Series David Wright: Indrovy perly: Vize Felixe Kleina, Cambridge University Press, 2002, ISBN  0-521-35253-3
  • Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks: Beyond the Descartes Circle Theorem„The American Mathematical Monthly, sv. 109, č. 4 (duben, 2002), s. 338–361, (arXiv: math.MG/0101066 v1 9. ledna 2001 )

externí odkazy