Ptolemysova tabulka akordů - Ptolemys table of chords - Wikipedia

The tabulka akordů, vytvořený řecký astronom, geometr a geograf Ptolemaios v Egypt během 2. století našeho letopočtu, je a trigonometrická tabulka v knize I, kapitole 11, Ptolemaiově Almagest,[1] pojednání o matematická astronomie. Je to v zásadě ekvivalentní s tabulkou hodnot sinus funkce. Byla to nejstarší trigonometrická tabulka dostatečně rozsáhlá pro mnoho praktických účelů, včetně astronomických (dřívější tabulka akordů od Hipparchus dal akordy pouze pro oblouky, které byly násobky 7+1/2° = π/24 radiány).[2] Uběhla staletí, než byly vytvořeny rozsáhlejší trigonometrické tabulky. Jednou z takových tabulek je Canon Sinuum vytvořeno na konci 16. století.

Funkce akordů a tabulka

Příklad: Délka akordu pod a (109+1/2) ° oblouk je přibližně 98.

A akord a kruh je úsečka, jejíž koncové body jsou na kružnici. Ptolemaios použil kružnici, jejíž průměr je 120. Tabeloval délku akordu, jehož koncové body jsou odděleny obloukem n stupňů, pro n od 1/2 na 180 v krocích po1/2. V moderní notaci odpovídá délka akordu oblouku θ stupňů je

Tak jako θ jde z 0 na 180, akord a θ° oblouk se pohybuje od 0 do 120. U malých oblouků je akord na úhlu oblouku ve stupních jako π je 3, nebo přesněji lze poměr nastavit tak blízko, jak je požadováno π/3 ≈ 1.04719755 děláním θ dost malý. Tak, pro oblouk 1/2°, délka akordu je o něco větší než úhel oblouku ve stupních. Jak se oblouk zvyšuje, poměr akordu k oblouku klesá. Když oblouk dosáhne 60 °, délka akordu se přesně rovná počtu stupňů v oblouku, tj. Akord 60 ° = 60. U oblouků větších než 60 ° je akord menší než oblouk, až do oblouku 180 ° je dosaženo, když je akord pouze 120.

Frakční části délek akordů byly vyjádřeny v sexagesimal (základ 60) číslic. Například tam, kde se uvádí, že délka akordu podřízená obloukem 112 ° je 99 29 5, má délku

zaokrouhleno na nejbližší1/602.[1]

Za sloupci pro oblouk a akord je třetí sloupec označen jako „šedesátiny“. Pro obloukθ°, položka ve sloupci „šedesátá léta“ je

Toto je průměrný počet šedesátin jednotky, kterou je třeba přidat k akordu (θ°) pokaždé, když se úhel zvýší o jednu minutu oblouku, mezi vstupem proθ° a to pro (θ + 1/2) °. Proto se používá pro lineární interpolace. Glowatzki a Göttsche ukázali, že Ptolemaios musel vypočítat akordy na pět sexesimálních míst, aby dosáhl stupně přesnosti ve sloupci „šedesátých“.[3]

Jak Ptolemaios počítal akordy

Kapitola 10 knihy I Almagest představuje geometrický věty používané pro výpočet akordů. Ptolemaios použil geometrické uvažování na základě návrhu 10 knihy XIII z Euklidova Elementy najít akordy 72 ° a 36 °. Tento návrh uvádí, že pokud bude rovnostranný Pentagon je zapsáno do kruhu, pak se plocha čtverce na straně pětiúhelníku rovná součtu ploch čtverců na stranách čtverce šestiúhelník a desetiúhelník ve stejném kruhu.

Použil Ptolemaiova věta na čtyřúhelnících vepsaných do kruhu pro odvození vzorců pro akord půloblouku, akord součtu dvou oblouků a akord rozdílu dvou oblouků. Věta říká, že pro a čtyřúhelník zapsáno v a kruh, součin délek úhlopříček se rovná součtu součinů dvou párů délek protilehlých stran. Odvození trigonometrických identit závisí na a cyklický čtyřúhelník ve kterém jedna strana je průměr kruhu.

Najít akordy oblouků 1 ° a 1/2° použil aproximace založené na Aristarchova nerovnost. Nerovnost uvádí, že pro oblouky α a β, pokud 0 <β < α <90 °, tedy

Ptolemaios ukázal, že pro oblouky 1 ° a 1/2°, aproximace správně dávají první dvě sexesimální místa za celočíselnou částí.

Číselná soustava a vzhled nepřeložené tabulky

Hlavní článek: Řecké číslice

Délky oblouků kruhu ve stupních a celočíselné části délek akordů byly vyjádřeny v a základna 10 číselná soustava která použila 21 písmen dopisu Řecká abeceda s významy uvedenými v následující tabulce a symbolem „∠ ′“ to znamená 1/2 a zvednutý kruh „○“, který vyplňuje prázdné místo (ve skutečnosti představuje nulu). Dva z písmen, v následující tabulce označených jako „archaický“, se v řeckém jazyce před několika lety nepoužíval Almagest byl napsán, ale stále se používal jako číslice a hudební noty.

Tak například oblouk 143+1/2° je vyjádřeno jako ρμγ∠ ′. (Protože tabulka dosahuje pouze 180 °, nepoužívají se řecké číslice 200 a výše.)

Frakční části délek akordů vyžadovaly velkou přesnost a byly uvedeny ve dvou sloupcích v tabulce: První sloupec udává celočíselný násobek 1/60, v rozsahu 0–59, druhý celočíselný násobek 1/602 = 1/3600, také v rozsahu 0–59.

Tedy v Heibergově vydání Almagest s tabulkou akordů na stranách 48–63, začátek tabulky, který odpovídá obloukům z 1/2° na 7+1/2°, vypadá takto:

Později v tabulce je možné vidět povahu číslic základny 10 vyjadřujících celočíselné části oblouku a délku akordu. Proto je oblouk 85 ° zapsán jako πε (π pro 80 a ε pro 5) a nerozděleno na 60 + 25. Odpovídající délka akordu je 81 plus zlomková část. Celá část začíná πα, rovněž není rozdělen na 60 + 21. Ale zlomková část, 4/60 + 15/602, je psáno jako δ, pro 4, v 1/60 sloupec, následovaný ιε, pro 15, v 1/602 sloupec.

Tabulka má 45 řádků na každé z osmi stránek, tedy celkem 360 řádků.

Viz také

Reference

  1. ^ A b Toomer, G. J. (1998), Ptolemaiosův Almagest, Princeton University Press, ISBN  0-691-00260-6
  2. ^ Thurston, 235–236.
  3. ^ Ernst Glowatzki a Helmut Göttsche, Die Sehnentafel des Klaudios Ptolemaios. Nach den historischen Formelplänen neuberechnet., München, 1976.

externí odkazy