Quadratrix Hippias - Quadratrix of Hippias - Wikipedia

quadratrix (červená); snímek E a F, který dokončil 60% svých pohybů

The quadratrix nebo trisectrix z Hippias (taky quadratrix Dinostratus) je křivka, který je vytvořen rovnoměrným pohybem. Je to jeden z nejstarších příkladů a kinematický křivka, tj. křivka vytvořená pohybem. Jeho objev je přičítán řeckému sofistovi Hippias z Elis, který jej použil kolem roku 420 př. n. l. ve snaze vyřešit problém s úhlovou trisekcí (proto trisectrix ). Později kolem roku 350 př. N.l. Dinostratus použil jej ve snaze vyřešit problém kvadratura kruhu (proto quadratrix ).

Definice

quadratrix jako rovinná křivka (A=1)

quadratrix jako funkce (A=1)

Zvažte čtverec abeceda s vepsaným čtvrtkruhem uprostřed A, takže strana čtverce je poloměr kruhu. Nechat E být bod, který cestuje konstantní úhlovou rychlostí po oblouku čtvrtkruhy od D na B. Navíc bod F cestuje konstantní rychlostí z D na A na úsečce INZERÁT, takovým způsobem, že E a F začít současně v D a dorazit současně do B a A. Nyní je kvadratrix definován jako místo průsečíku rovnoběžky s AB přes F a úsečkový segment AE.^[1][2]

Pokud někdo umístí takový čtverec abeceda s délkou strany A v (kartézský) souřadnicový systém se stranou AB na X-osa a vrchol A v počátku je potom kvadratix popsán rovinnou křivkou ${ displaystyle gamma: (0, { tfrac { pi} {2}}] rightarrow mathbb {R} ^ {2}}$ s:

${ displaystyle gamma (t) = { begin {pmatrix} x (t) y (t) end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} { frac {2a} { pi}} t cot (t) { frac {2a} { pi}} t end {pmatrix}}}$

Tento popis lze také použít spíše k analytické než geometrické definici kvadratrixu a k jejímu rozšíření za ${ displaystyle (0, { tfrac { pi} {2}}]}$ interval. Zůstává však nedefinováno u singularit ${ displaystyle postýlka (t)}$ kromě případu ${ displaystyle t = 0}$, kde kvůli ${ displaystyle lim _ {t až 0} t postýlka (t) = 1}$ singularita je odstranitelná, a proto poskytuje kontinuální rovinnou křivku na intervalu ${ displaystyle (- pi, pi)}$ ^[3][4]

Chcete-li popsat kvadratrix spíše jako jednoduchou funkci než rovinnou křivku, je výhodné přepnout y- osa a X- osa, to znamená umístit stranu AB na y-osi spíše než na X-osa. Potom je kvadratrix dána následující funkcí F(X):^[5][6]

${ displaystyle f (x) = x cdot cot left ({ frac { pi} {2a}} cdot x right)}$

Úhlová trisekce

quadratrix kompas

úhlová trisekce

Třídění libovolného úhlu pouze pomocí pravítka a kompasů je nemožné. Pokud je však kvadratrix povolen jako další nástroj, je možné rozdělit libovolný úhel na n stejné segmenty, a tedy trisekce (n = 3) je možné. Z praktického hlediska lze kvadratrix nakreslit pomocí a šablona nebo quadratrix kompas (viz výkres).^[1][2]

Protože podle definice čtyřúhelníku je procházející úhel úměrný procházejícímu segmentu strany přidružených čtverců, který tento segment na straně dělí na n stejné části také vytvoří rozdělení příslušného úhlu. Rozdělení úsečky na n stejné části s pravítkem a kompasem jsou možné díky interceptní věta.

Pro daný úhel miláček (≤ 90 °) postavte čtverec abeceda přes nohu AB. Druhá noha úhlu protíná kvadratrix čtverce v bodě G a rovnoběžka s nohou AB přes G protíná stranu INZERÁT náměstí v F. Nyní segment AF odpovídá úhlu miláček a vzhledem k definici čtyřúhelníku jakékoli rozdělení segmentu AF v n ekvidistantní části poskytují odpovídající rozdělení úhlu miláček do n díly stejné velikosti. Rozdělit segment AF do n ekvidistantních částí postupujte následovně. Nakreslete paprsek s původem v A a poté na něj nakreslete n ekvidistantních segmentů (libovolné délky). Připojte koncový bod Ó posledního segmentu s F a nakreslete čáry rovnoběžně s Z přes všechny koncové body zbývajících n - 1 segment zapnutý AO, tyto paralelní čáry rozdělují segment AF na INZERÁT do n ekvidistantní segmenty. Nyní nakreslete rovnoběžné čáry do AB prostřednictvím koncových bodů těchto segmentů AF, budou tyto rovnoběžky protínat trisectrix. Spojení těchto průsečíků s A získá rozdělení úhlu miláček do n díly stejné velikosti.^[5]

Protože ne všechny body trisectrixu lze sestrojit pouze pomocí kružnice a kompasu, je to opravdu nutné jako další nástroj vedle kompasu a kružnice. Je však možné zkonstruovat hustou podmnožinu trisectrix pomocí kruhu a kompasu, takže i když nemůžete zajistit přesné rozdělení úhlu na n částí bez dané trisectrix, můžete sestavit libovolně blízkou aproximaci pomocí kruhu a kompasu samostatně.^[2][3]

Srovnání kruhu

kvadratura čtvrtiny kruhu s poloměrem 1

Samotné umocnění kruhu pomocí pravítka a kompasu je nemožné. Pokud však dovolíme kvadratrix Hippias jako další konstrukční nástroj, kvadratura kruhu bude možná díky Dinostratova věta. Umožňuje jednomu otočit čtvrtkruh do čtverce stejné oblasti, proto má čtverec s dvojnásobnou délkou strany stejnou plochu jako celý kruh.

Podle Dinostratovy věty kvadratrix rozděluje jednu ze stran přidruženého čtverce v poměru ${ displaystyle { tfrac {2} { pi}}}$.^[1] Pro daný čtvrtkruh s poloměrem r jeden vytvoří přidružený čtverec abeceda s délkou strany r. Quadratrix protíná stranu AB v J s ${ displaystyle left | { overline {AJ}} right | = { tfrac {2} { pi}} r}$. Nyní jeden vytvoří úsečkový segment JK o délce r kolmé na AB. Pak linka prošla A a K. protíná prodloužení strany před naším letopočtem v L a od interceptní věta následuje ${ displaystyle left | { overline {BL}} right | = { tfrac { pi} {2}} r}$. Prodlužování AB doprava novým úsečkovým segmentem ${ displaystyle left | { overline {BO}} right | = { tfrac {r} {2}}}$ získá obdélník BLNO s bočnicemi BL a BO jehož plocha odpovídá ploše čtvrtkruhu. Tento obdélník lze pomocí transformovat na čtverec stejné oblasti Euklidova věta o geometrickém průměru. Jeden rozšiřuje stranu NA úsečkou ${ displaystyle left | { overline {OQ}} right | = left | { overline {BO}} right | = { tfrac {r} {2}}}$ a nakreslí půlkruh vpravo od NQ, který má NQ jako jeho průměr. Rozšíření BO splňuje půlkruh dovnitř R a kvůli Thalesova věta úsečka NEBO je výška pravoúhlého trojúhelníku QNR. Lze tedy použít větu o geometrickém průměru, což znamená, že NEBO tvoří stranu čtverce OUSR se stejnou oblastí jako obdélník BLNO a tedy jako čtvrtkruh.^[7]

Všimněte si, že bod J, kde se quadratrix setkává se stranou AB přidruženého čtverce, je jedním z bodů kvadratrixu, který nelze zkonstruovat pouze pomocí pravítka a kompasu a dokonce ani pomocí kvadratrixového kompasu založeného na původní geometrické definici (viz výkres). To je způsobeno skutečností, že 2 rovnoměrně se pohybující čáry se shodují, a proto neexistuje žádný jedinečný průsečík. Avšak spoléhání se na zobecněnou definici kvadratrixu, jak to umožňuje funkce nebo planární křivka, umožňuje J být bodem na quadratrix.^[8][9]

Historické prameny

Quadratrix je zmíněn v pracích Proclus (412–485), Pappus Alexandrijský (3. a 4. století) a Iamblichus (asi 240 - asi 325). Proclus jmenuje Hippias jako vynálezce křivky zvané quadratrix a popisuje jinde, jak Hippias použil křivku na problém trisekce. Pappus zmiňuje pouze to, jak Dinostratus použil křivku s názvem quadratrix, Nicomedes a další k zarovnání kruhu. Nezmiňuje ani Hippias, ani nepřipisuje vynález quadratrix konkrétní osobě. Iamblichus jen píše do jednoho řádku, že křivka zvaná kvadratrix byla použita Nicomedesem k umocnění kruhu.^[10][11][12]

Ačkoli na základě Proclusova názvu křivky je možné, že ji sám Hippias použil k vyrovnání kruhu nebo nějaké jiné křivočaré figury, většina historiků matematiky předpokládá, že Hippias vymyslel křivku, ale použil ji pouze pro trisekci úhlů. K jeho použití k vyrovnání kruhu došlo až o několik desítek let později a bylo to kvůli matematikům jako Dinostratus a Nicomedes. Tato interpretace historických pramenů sahá až k německému matematikovi a historikovi Moritz Cantor.^[11][12]

Viz také

• Hippias
• Řecká matematika

Poznámky

Reference

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Okouzlující důkazy: Cesta do elegantní matematiky. MAA 2010, ISBN  9780883853481, s. 146–147 (výňatek, str. 146, v Knihy Google )
• Felix Klein: Slavné problémy elementární geometrie. Cosimo 2007 (Nachdruck), ISBN  9781602064171, str. 57–58 (výňatek, str. 57, v Knihy Google ) (kompletní kopie online na archive.org )
• Audun Holme: Geometrie: Naše kulturní dědictví. Springer, 2010, ISBN  9783642144400, str. 114–116 (výňatek, str. 114, v Knihy Google )
• Thomas Little Heath: Historie řecké matematiky. Svazek 1. Od Thalese po Euklida. Clarendon Press, 1921 (Nachdruck Elibron Classics 2006), str. 225–230 (online kopie na archive.org )
• Horst Hischer: Klassische Probleme der Antike - Beispiele zur "Historischen Verankerung". In: Blankenagel, Jürgen & Spiegel, Wolfgang (Hrsg.): Mathematikdidaktik aus Begeisterung für die Mathematik - Festschrift für Harald Scheid. Stuttgart / Düsseldorf / Lipsko: Klett 2000, s. 97-118 (německy)
• Horst Hischer: Die drei klassischen Probleme der Mathematik. Historische Befunde und didaktische Aspekte. Franzbecker, Hildesheim, druhé vydání 2018, ISBN  978-3-88120-518-4.
• Hans-Wolfgang Henn: Elementare Geometrie und Algebra. Vieweg + Teubner, 2003, s. 45–48 „Die Quadratur des Kreises“ (výňatek, str. 45, v Knihy Google ) (Německy)

externí odkazy

• Michael D. Huberty, Ko Hayashi, Chia Vang: Hippiasova Quadratrix
• Weisstein, Eric W. „Quadratrix of Hippias“. MathWorld.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Quadratrix of Hippias“, MacTutor Historie archivu matematiky, University of St Andrews.