Věta Apolloniuss - Apolloniuss theorem - Wikipedia


zelená plocha = červená plocha
v geometrie, Apollóniova věta je teorém vztahující se k délce a medián a trojúhelník na délku jeho stran. Uvádí, že „součet čtverců libovolných dvou stran libovolného trojúhelníku se rovná dvojnásobku čtverce na polovině třetí strany, spolu s dvojnásobkem čtverce na střední části půlící třetí stranu“.
Konkrétně v libovolném trojúhelníku ABC, pokud INZERÁT je tedy medián
Je to speciální případ z Stewartova věta. Pro rovnoramenný trojúhelník s |AB| = |AC|, medián INZERÁT je kolmá na před naším letopočtem a věta se redukuje na Pythagorova věta pro trojúhelník ADB (nebo trojúhelník ADC). Ze skutečnosti, že úhlopříčky a rovnoběžník rozdělit jeden na druhého, věta je ekvivalentní k paralelogramový zákon.
Věta je pojmenována po starogréckém matematikovi Apollonius z Pergy.
Důkaz

Věta může být prokázána jako speciální případ Stewartovy věty, nebo může být prokázána pomocí vektorů (viz paralelogramový zákon ). Následuje nezávislý důkaz využívající zákon kosinů.[1]
Nechte trojúhelník mít strany A, b, C s mediánem d tažené na stranu A. Nechat m být délka segmentů A tvořený mediánem, tak m je polovina A. Nechte úhly mezi nimi A a d být θ a θ ', kde θ zahrnuje b a θ ' zahrnuje C. Pak θ ' je doplněk θ a cos θ ' = −cos θ. The zákon kosinů pro θ a θ ' tvrdí, že
Přidejte první a třetí rovnici k získání
podle potřeby.
Reference
- ^ Godfrey, Charles; Siddons, Arthur Warry (1908). Moderní geometrie. University Press. str.20.
externí odkazy
- Apollóniova věta na PlanetMath.
- David B. Surowski: Pokročilá středoškolská matematika. str. 27