Kruhy Apollonius - Circles of Apollonius

The kruhy Apollónia jsou některé z několika sad kruhů přidružených k Apollonius z Pergy, proslulý řecký geometr. Většina z těchto kruhů se nachází v rovinný Euklidovská geometrie, ale analogy byly definovány na jiných površích; například protějšky na povrchu koule lze definovat prostřednictvím stereografická projekce.

Hlavní použití tohoto termínu jsou pětinásobná:

Apollonius ukázal, že kružnici lze definovat jako množinu bodů v rovině, které mají určenou poměr vzdáleností ke dvěma pevným bodům, známým jako ohniska. Tento Apollonian kruh je základem problému pronásledování Apollónia. Jedná se o konkrétní případ první rodiny popsané v # 2.
The Apollonian kruhy jsou dvě rodiny vzájemně ortogonální kruhy. První rodina se skládá z kruhů se všemi možnými poměry vzdálenosti ke dvěma pevným ohniskům (stejné kruhy jako v # 1), zatímco druhá rodina se skládá ze všech možných kruhů, které procházejí oběma ohnisky. Tyto kruhy tvoří základ bipolární souřadnice.
The kruhy Apollónia trojúhelníku jsou tři kruhy, z nichž každý prochází jedním vrcholem trojúhelníku a udržuje konstantní poměr vzdáleností k dalším dvěma. The isodynamické body a Lemoine linka trojúhelníku lze vyřešit pomocí těchto kruhů Apollónia.
Apolloniův problém je sestrojit kružnice, které jsou současně tečné ke třem zadaným kružnicím. Řešení tohoto problému se někdy nazývají kruhy Apollónia.
The Apollonian těsnění-jeden z prvních fraktály kdy byl popsán - je soubor vzájemně tečných kruhů, vytvořený iterativním řešením Apolloniovho problému.

Apollóniova definice kruhu

Obrázek 1. Apollóniova definice kruhu.

Kruh je obvykle definován jako množina bodů P na danou vzdálenost r (poloměr kruhu) z daného bodu (střed kruhu). Existují však i jiné, ekvivalentní definice kruhu. Apollonius objevil, že kruh lze definovat jako množinu bodů P které mají dané poměr vzdáleností k = d₁/d₂ na dva dané body (označené A a B na obrázku 1). Tyto dva body se někdy nazývají ohniska.

Důkaz použití vektorů v euklidovských prostorech

Nechat d₁, d₂ být nerovná kladná reálná čísla C být vnitřním dělícím bodem AB v poměru d₁ : d₂ a D vnější bod dělení AB ve stejném poměru, d₁ : d₂.

{ displaystyle { overrightarrow { mathrm {PC}}} = { frac {d_ {2} { overrightarrow { mathrm {PA}}} + d_ {1} { overrightarrow { mathrm {PB}}} } {d_ {2} + d_ {1}}}, { overrightarrow { mathrm {PD}}} = { frac {d_ {2} { overrightarrow { mathrm {PA}}} - d_ {1 } { overrightarrow { mathrm {PB}}}} {d_ {2} -d_ {1}}}.}

Pak,

{ displaystyle mathrm {PA}: mathrm {PB} = d_ {1}: d_ {2}.}

{ displaystyle Leftrightarrow d_ {2} | { overrightarrow { mathrm {PA}}} | = d_ {1} | { overrightarrow { mathrm {PB}}} |.}

{ displaystyle Leftrightarrow d_ {2} ^ {2} | { overrightarrow { mathrm {PA}}} | ^ {2} = d_ {1} ^ {2} | { overrightarrow { mathrm {PB}} } | ^ {2}.}

{ displaystyle Leftrightarrow (d_ {2} { overrightarrow { mathrm {PA}}} + d_ {1} { overrightarrow { mathrm {PB}}}) cdot (d_ {2} { overrightarrow { mathrm {PA}}} - d_ {1} { overrightarrow { mathrm {PB}}}) = 0.}

{ displaystyle Leftrightarrow { frac {d_ {2} { overrightarrow { mathrm {PA}}} + d_ {1} { overrightarrow { mathrm {PB}}}} {d_ {2} + d_ {1 }}} cdot { frac {d_ {2} { overrightarrow { mathrm {PA}}} - d_ {1} { overrightarrow { mathrm {PB}}}} {d_ {2} -d_ {1 }}} = 0.}

{ displaystyle Leftrightarrow { overrightarrow { mathrm {PC}}} cdot { overrightarrow { mathrm {PD}}} = 0.}

{ displaystyle Leftrightarrow { overrightarrow { mathrm {PC}}} = { vec {0}} vee { overrightarrow { mathrm {PD}}} = { vec {0}} vee { overrightarrow { mathrm {PC}}} perp { overrightarrow { mathrm {PD}}}.}

{ displaystyle Leftrightarrow mathrm {P} = mathrm {C} vee mathrm {P} = mathrm {D} vee angle { mathrm {CPD}} = 90 ^ { circ}.}

Proto jde o to P je na kruhu, který má průměr CD.

Apollonius Pursuit Problem

Problém pronásledování Apollónia spočívá v hledání místa, kde loď vyplula z jednoho bodu A rychlostí proti_A zachytí jinou loď a opustí jiný bod B rychlostí proti_B. Min-time odposlech obou lodí je pomocí přímých cest. Pokud jsou rychlosti lodí udržovány na konstantní hodnotě, je jejich rychlostní poměr definován μ. Pokud se obě lodě v budoucnu srazí nebo se setkají, Já, potom vzdálenosti každého z nich souvisí rovnicí:^[1]

{ displaystyle a = mu b}

Srovnáme-li obě strany, získáme:

{ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2} mu ^ {2}}

{ displaystyle a ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}}

{ displaystyle b ^ {2} = (d-x) ^ {2} + y ^ {2}}

{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = [(d-x) ^ {2} + y ^ {2}] mu ^ {2}}

Rozšiřování:

{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = [d ^ {2} + x ^ {2} -2dx + y ^ {2}] mu ^ {2}}

Další rozšíření:

{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = x ^ {2} mu ^ {2} + y ^ {2} mu ^ {2} + d ^ {2} mu ^ {2} -2dx mu ^ {2}}

Přenesení na levou stranu:

{ displaystyle x ^ {2} -x ^ {2} mu ^ {2} + y ^ {2} -y ^ {2} mu ^ {2} -d ^ {2} mu ^ {2} + 2dx mu ^ {2} = 0}

Factoring:

{ displaystyle x ^ {2} (1- mu ^ {2}) + y ^ {2} (1- mu ^ {2}) - d ^ {2} mu ^ {2} + 2dx mu ^ {2} = 0}

Dělení ${ displaystyle 1- mu ^ {2}}$ :

{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} - { frac {d ^ {2} mu ^ {2}} {1- mu ^ {2}}} + { frac {2dx mu ^ {2}} {1- mu ^ {2}}} = 0}

Dokončení náměstí:

{ displaystyle left (x + { frac {d mu ^ {2}} {1- mu ^ {2}}} right) ^ {2} - { frac {d ^ {2} mu ^ {4}} {(1- mu ^ {2}) ^ {2}}} - { frac {d ^ {2} mu ^ {2}} {1- mu ^ {2}}} + y ^ {2} = 0}

Přeneste nepravidelné výrazy na pravou stranu:

{ displaystyle { begin {aligned} left (x + { frac {d mu ^ {2}} {1- mu ^ {2}}} right) ^ {2} + y ^ {2} & = { frac {d ^ {2} mu ^ {4}} {(1- mu ^ {2}) ^ {2}}} + { frac {d ^ {2} mu ^ {2} } {1- mu ^ {2}}} & = { frac {d ^ {2} mu ^ {4}} {(1- mu ^ {2}) ^ {2}}} + { frac {d ^ {2} mu ^ {2}} {1- mu ^ {2}}} { frac {(1- mu ^ {2})}} {(1- mu ^ { 2})}} & = { frac {d ^ {2} mu ^ {4} + d ^ {2} mu ^ {2} -d ^ {2} mu ^ {4}} { (1- mu ^ {2}) ^ {2}}} & = { frac {d ^ {2} mu ^ {2}} {(1- mu ^ {2}) ^ {2 }}} end {zarovnáno}}}

Pak:

{ displaystyle left (x + { frac {d mu ^ {2}} {1- mu ^ {2}}} right) ^ {2} + y ^ {2} = left ({ frac {d mu} {1- mu ^ {2}}} vpravo) ^ {2}}

Proto musí bod ležet na kružnici, jak ji definoval Apollonius, přičemž její počáteční body jsou ohniska.

Kruhy sdílející radikální osu

Obrázek 2. Sada Apollonian kruhů. Každý modrý kruh protíná každý červený kruh v pravém úhlu a naopak. Každý červený kruh prochází dvěma ložisky, která odpovídají bodům A a B na obrázku 1.

Kruhy definované apollonským pronásledovatelským problémem pro stejné dva body A a B, ale s měnícími se poměry obou rychlostí, jsou od sebe navzájem oddělené a tvoří spojitou rodinu, která pokrývá celou rovinu; tato rodina kruhů je známá jako hyperbolická tužka. Další rodina kruhů, kruhy, které procházejí oběma A a B, se také nazývají tužkou nebo konkrétněji tužkou eliptická tužka. Tyto dvě tužky Apollonian kruhy protínají se v správné úhly a tvoří základ bipolární souřadnicový systém. V každé tužce mají libovolné dva kruhy stejné radikální osa; dvě radikální osy obou tužek jsou kolmé a středy kruhů z jedné tužky leží na radikální ose druhé tužky.

Řešení Apollóniova problému

Apolloniův problém může mít až osm řešení. Tři dané kruhy jsou zobrazeny černě, zatímco kruhy řešení jsou barevné.

v Geometrie euklidovské roviny, Apolloniův problém je postavit kruhy to jsou tečna na tři dané kruhy v rovině.

Tři dané kruhy mají obecně osm různých kruhů, které jsou k nim tečné a každý kruh řešení uzavírá nebo vylučuje tři dané kruhy jiným způsobem: v každém řešení je uzavřena jiná podmnožina tří kruhů.

Apollonian těsnění

Obrázek 4. Symetrické apollonské těsnění, nazývané také Leibnizovo těsnění, po svém vynálezci Gottfried Leibniz.

Opakovaným řešením Apolloniova problému s nalezením vepsaného kruhu se mezery mezi vzájemně tangenciálními kružnicemi lze libovolně jemně vyplnit, tvořit Apollonian těsnění, také známý jako a Leibniz balení nebo Apollonian balení.^[2] Toto těsnění je a fraktální, být si podobní a mít a dimenze d to není přesně známo, ale je to zhruba 1,3,^[3] což je vyšší než u a pravidelný (nebo napravitelný ) křivka (d = 1) ale menší než letadlo (d = 2). Apollonian těsnění bylo poprvé popsáno Gottfried Leibniz v 17. století a je zakřiveným předchůdcem 20. století Sierpińského trojúhelník.^[4] Apollónské těsnění má také hluboké vazby na další pole matematiky; například je to sada limitů Kleinianské skupiny;^[5] a podívejte se také na Věta o kruhovém balení.

Isodynamické body trojúhelníku

The kruhy Apollónia může také označovat tři speciální kruhy ${ displaystyle { mathcal {C}} _ {1}, { mathcal {C}} _ {2}, { mathcal {C}} _ {3}}$ definovaný libovolným trojúhelníkem ${ displaystyle mathrm {A_ {1} A_ {2} A_ {3}}}$ . Kruh ${ displaystyle { mathcal {C}} _ {1}}$ je definován jako jedinečný kruh procházející vrcholem trojúhelníku ${ displaystyle mathrm {A_ {1}}}$ který udržuje konstantní poměr vzdáleností k dalším dvěma vrcholům ${ displaystyle mathrm {A_ {2}}}$ a ${ displaystyle mathrm {A_ {3}}}$ (viz Apolloniova definice kruh výše). Podobně kruh ${ displaystyle { mathcal {C}} _ {2}}$ je definován jako jedinečný kruh procházející vrcholem trojúhelníku ${ displaystyle mathrm {A_ {2}}}$ který udržuje konstantní poměr vzdáleností k dalším dvěma vrcholům ${ displaystyle mathrm {A_ {1}}}$ a ${ displaystyle mathrm {A_ {3}}}$ a tak dále pro kruh ${ displaystyle { mathcal {C}} _ {3}}$ .

Všechny tři kruhy protínají obvod z trojúhelník kolmo. Všechny tři kruhy procházejí dvěma body, které jsou známé jako isodynamické body ${ displaystyle S}$ a ${ displaystyle S ^ { prime}}$ trojúhelníku. Přímka spojující tyto společné průsečíky je radikální osa pro všechny tři kruhy. Dva izodynamické body jsou inverze navzájem ve vztahu k obvod trojúhelníku.

Středy těchto tří kruhů spadají na jednu linii ( Lemoine linka). Tato přímka je kolmá k radikální ose, což je přímka určená izodynamickými body.

Viz také

Apolloniův bod

Reference

^ I. Weintraub, E. Garcia a M. Pachter, „Optimální strategie vedení pro obranu nemanevrovatelného cíle ve 3 dimenzích“, v IET Control Theory & Applications, sv. 14, č. 11, s. 1531-1538, 23 7 2020, doi: 10.1049 / iet-cta.2019.0541.
^ Kasner, E .; Supnick, F. (1943). „Apollonianské balení kruhů“. Sborník Národní akademie věd USA. 29 (11): 378–384. doi:10.1073 / pnas.29.11.378. PMC 1078636. PMID 16588629.
^ Boyd, D.W. (1973). "Vylepšené hranice pro konstanty balení disku". Aequationes Mathematicae. 9: 99–106. doi:10.1007 / BF01838194.
Boyd, D.W. (1973). „Zbytková dimenze apollonského obalu“. Mathematika. 20 (2): 170–174. doi:10.1112 / S0025579300004745.
McMullen, Curtis, T. (1998). „Hausdorffova dimenze a konformní dynamika III: Výpočet dimenze“ (PDF). American Journal of Mathematics. 120 (4): 691–721. doi:10.1353 / ajm.1998.0031.
^ Mandelbrot, B. (1983). Fraktální geometrie přírody. New York: W.H. Freemane. str.170. ISBN 978-0-7167-1186-5.
Aste, T. a Weaire, D. (2008). Snaha o dokonalé zabalení (2. vyd.). New York: Taylor a Francis. str.131 –138. ISBN 978-1-4200-6817-7.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
^ Mumford, D., Series, C. a Wright, D. (2002). Indrovy perly: Vize Felixe Kleina. Cambridge: Cambridge University Press. str.196 –223. ISBN 0-521-35253-3.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

Bibliografie

Ogilvy, C.S. (1990) Exkurze v geometriiDover. ISBN 0-486-26530-7.
Johnson, R.A. (1960) Pokročilá euklidovská geometrieDover.

[1] I. Weintraub, E. Garcia a M. Pachter, „Optimální strategie vedení pro obranu nemanevrovatelného cíle ve 3 dimenzích“, v IET Control Theory & Applications, sv. 14, č. 11, s. 1531-1538, 23 7 2020, doi: 10.1049 / iet-cta.2019.0541.

[2] Kasner, E .; Supnick, F. (1943). „Apollonianské balení kruhů“. Sborník Národní akademie věd USA. 29 (11): 378–384. doi:10.1073 / pnas.29.11.378. PMC 1078636. PMID 16588629.

[boyd_1973-3] Boyd, D.W. (1973). "Vylepšené hranice pro konstanty balení disku". Aequationes Mathematicae. 9: 99–106. doi:10.1007 / BF01838194.
Boyd, D.W. (1973). „Zbytková dimenze apollonského obalu“. Mathematika. 20 (2): 170–174. doi:10.1112 / S0025579300004745.
McMullen, Curtis, T. (1998). „Hausdorffova dimenze a konformní dynamika III: Výpočet dimenze“ (PDF). American Journal of Mathematics. 120 (4): 691–721. doi:10.1353 / ajm.1998.0031.

[4] Mandelbrot, B. (1983). Fraktální geometrie přírody. New York: W.H. Freemane. str.170. ISBN 978-0-7167-1186-5.
Aste, T. a Weaire, D. (2008). Snaha o dokonalé zabalení (2. vyd.). New York: Taylor a Francis. str.131 –138. ISBN 978-1-4200-6817-7.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[5] Mumford, D., Series, C. a Wright, D. (2002). Indrovy perly: Vize Felixe Kleina. Cambridge: Cambridge University Press. str.196 –223. ISBN 0-521-35253-3.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]