Cyklický čtyřúhelník - Cyclic quadrilateral

Příklady cyklických čtyřúhelníků.

v Euklidovská geometrie, a cyklický čtyřúhelník nebo vepsaný čtyřúhelník je čtyřúhelník jehož vrcholy všichni leží na jednom kruh. Tento kruh se nazývá obvod nebo opsaná kružnice a vrcholy se říká, že jsou koncyklický. Střed kruhu a jeho poloměr se nazývají circumcenter a circumradius resp. Jiná jména pro tyto čtyřúhelníky jsou koncyklický čtyřúhelník a chordal čtyřúhelník, druhé od stran čtyřúhelníku akordy z kruhového kruhu. Obvykle se předpokládá, že čtyřúhelník je konvexní, ale existují i zkřížené cyklické čtyřstěny. Níže uvedené vzorce a vlastnosti jsou platné v konvexním případě.

Slovo cyklické pochází z Starořečtina κύκλος (kuklos), což znamená „kruh“ nebo „kolo“.

Všechno trojúhelníky mít obvod, ale ne všechny čtyřúhelníky ano. Příkladem čtyřúhelníku, který nemůže být cyklický, je non-square kosočtverec. Sekce charakterizace níže uvádí co nezbytné a dostatečné podmínky čtyřúhelník musí splňovat, aby měl obvod.

Speciální případy

Žádný náměstí, obdélník, rovnoramenný lichoběžník nebo antiparalelogram je cyklický. A papírový drak je cyklický kdyby a jen kdyby má dva pravé úhly. A bicentrický čtyřúhelník je cyklický čtyřúhelník, který také je tangenciální a ex-bicentrický čtyřúhelník je cyklický čtyřúhelník, který také je ex-tangenciální. A harmonický čtyřúhelník je cyklický čtyřúhelník, ve kterém je součin délek protilehlých stran stejný.

Charakterizace

Cyklický čtyřúhelník ABCD

Circumcenter

Konvexní čtyřúhelník je cyklický kdyby a jen kdyby čtyři kolmý půlící čáry do stran jsou souběžně. Tento společný bod je circumcenter.^[1]

Doplňkové úhly

Konvexní čtyřúhelník $abeceda$ je cyklický právě tehdy, jsou-li jeho opačné úhly doplňkový, to je^[1]^[2]

{ displaystyle alpha + gamma = beta + delta = pi radians (= 180 ^ { circ}).}

Přímá věta byla Proposition 22 v Book 3 of Euklid je Elementy.^[3] Ekvivalentně je konvexní čtyřúhelník cyklický právě tehdy, když každý vnější úhel se rovná opaku vnitřní úhel.

V roce 1836 Duncan Gregory zobecnil tento výsledek následovně: Vzhledem k jakékoli konvexní cyklické 2n-gon, pak dva součty střídat vnitřní úhly jsou rovny (n-1) ${ displaystyle pi}$ .^[4]

Vezmeme-li stereografickou projekci (poloviční úhlovou tečnu) každého úhlu, lze ji znovu vyjádřit,

{ displaystyle { frac { tan { frac { alpha} {2}} + tan { frac { gamma} {2}}} {1- tan { frac { alpha} {2} } tan { frac { gamma} {2}}}} = { frac { tan { frac { beta} {2}} + tan { frac { delta} {2}}} { 1- tan { frac { beta} {2}} tan { frac { delta} {2}}}} = infty.}

Což z toho vyplývá^[5]

{ displaystyle tan { frac { alpha} {2}} tan { frac { gamma} {2}} = tan { frac { beta} {2}} { tan { frac { delta} {2}}} = 1}

Úhly mezi stranami a úhlopříčkami

Konvexní čtyřúhelník $abeceda$ je cyklický právě tehdy, když úhel mezi stranou a úhlopříčka se rovná úhlu mezi protilehlou stranou a druhou úhlopříčkou.^[6] To je například

{ displaystyle úhel ACB = úhel ADB.}

Pascal Points

abeceda je cyklický čtyřúhelník. E je průsečík úhlopříček a F je průsečík prodloužení stran před naším letopočtem a INZERÁT.

{ displaystyle omega}

je kruh, jehož průměr je segment, EF. P a Q jsou Pascalovy body tvořené kružnicí

{ displaystyle omega}

.

Další nezbytné a dostatečné podmínky pro konvexní čtyřúhelník $abeceda$ být cyklický jsou: let $E$ být průsečíkem úhlopříček, nechť $F$ být průsečíkem prodloužení stran $INZERÁT$ a $před naším letopočtem$ , nechť ${ displaystyle omega}$ být kruh, jehož průměr je segment, $EF$ a nechte $P$ a $Q$ být body Pascal po stranách $AB$ a $CD$ tvořený kruhem ${ displaystyle omega}$ .
(1) $abeceda$ je cyklický čtyřúhelník právě tehdy, když body $P$ a $Q$ jsou kolineární se středem $Ó$ , z kruhu ${ displaystyle omega}$ .
(2) $abeceda$ je cyklický čtyřúhelník právě tehdy, když body $P$ a $Q$ jsou středy stran $AB$ a $CD$ .^[2]

Průsečík úhlopříček

Pokud dva řádky, jeden obsahující segment $AC$ a další obsahující segment $BD$ , protínají v $P$ , pak čtyři body $A$ , $B$ , $C$ , $D$ jsou koncyklické právě tehdy^[7]

{ displaystyle displaystyle AP cdot PC = BP cdot PD.}

Křižovatka $P$ může být interní nebo externí vůči kruhu. V prvním případě je cyklický čtyřúhelník $abeceda$ , a v druhém případě je cyklický čtyřúhelník $ABDC$ . Když je křižovatka interní, rovnost uvádí, že produkt délky segmentu, do kterého $P$ rozděluje jednu úhlopříčku, která se rovná té druhé. Toto je známé jako věta o protínajících se akordech protože úhlopříčky cyklického čtyřúhelníku jsou akordy circumcircle.

Ptolemaiova věta

Ptolemaiova věta vyjadřuje součin délek dvou úhlopříček $E$ a $F$ cyklického čtyřúhelníku, který se rovná součtu produktů opačných stran:^[8]^{:s. 25}^[2]

{ displaystyle displaystyle ef = ac + bd.}

The konverzovat je také pravda. To znamená, že pokud je tato rovnice splněna v konvexním čtyřúhelníku, vytvoří se cyklický čtyřúhelník.

Diagonální trojúhelník

abeceda je cyklický čtyřúhelník. EFG je úhlopříčný trojúhelník abeceda. Bod T křižovatky bimediánů z abeceda patří do devítibodového kruhu EFG.

V konvexním čtyřúhelníku $abeceda$ , nechť $EFG$ být úhlopříčný trojúhelník $abeceda$ a nechte ${ displaystyle omega}$ být devítibodový kruh $EFG$ . $abeceda$ je cyklický právě tehdy, když je průsečíkem bimédiánů $abeceda$ patří do devítibodového kruhu ${ displaystyle omega}$ .^[9]^[10]^[2]

Plocha

The plocha $K.$ cyklického čtyřúhelníku se stranami $A$ , $b$ , $C$ , $d$ darováno Brahmaguptův vzorec^[8]^:str.24

{ displaystyle K = { sqrt {(s-a) (s-b) (s-c) (s-d)}} ,}

kde $s$ , semiperimetr, je $s = 1 / 2 (A + b + C + d)$ . Tohle je důsledek z Bretschneiderův vzorec pro obecný čtyřúhelník, protože opačné úhly jsou v cyklickém případě doplňkové. Pokud také $d = 0$ , cyklický čtyřúhelník se stane trojúhelníkem a vzorec se zredukuje na Heronův vzorec.

Cyklický čtyřúhelník má maximální plocha mezi všemi čtyřúhelníky se stejnou délkou strany (bez ohledu na pořadí). Toto je další důsledek Bretschneiderova vzorce. Lze to také prokázat pomocí počet.^[11]

Čtyři nerovné délky, každá menší než součet ostatních tří, jsou stranami každé ze tří nekongruentních cyklických čtyřstěn,^[12] které podle Brahmaguptova vzorce mají všechny stejnou oblast. Konkrétně pro strany $A$ , $b$ , $C$ , a $d$ , boční $A$ může být naproti kterékoli straně $b$ , boční $C$ nebo boční $d$ .

Oblast cyklického čtyřúhelníku s po sobě následujícími stranami $A$ , $b$ , $C$ , $d$ a úhel $B$ mezi stranami $A$ a $b$ lze vyjádřit jako^[8]^{:s. 25}

{ displaystyle K = { tfrac {1} {2}} (ab + cd) sin {B}}

nebo^[8]^:str.26

{ displaystyle K = { tfrac {1} {2}} (ac + bd) sin { theta}}

kde $θ$ je úhel mezi úhlopříčkami. Pokud $A$ není pravý úhel, oblast lze také vyjádřit jako^[8]^:str.26

{ displaystyle K = { tfrac {1} {4}} (a ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} + d ^ {2}) tan {A}.}

Další vzorec je^[13]^:83

{ displaystyle displaystyle K = 2R ^ {2} sin {A} sin {B} sin { theta}}

kde $R$ je poloměr obvod. Jako přímý důsledek^[14]

{ displaystyle K leq 2R ^ {2}}

kde existuje rovnost právě tehdy, když je čtyřúhelník čtvercový.

Úhlopříčky

V cyklickém čtyřúhelníku s následnými vrcholy $A$ , $B$ , $C$ , $D$ a po stranách $A = AB$ , $b = před naším letopočtem$ , $C = CD$ , a $d = DA$ , délky úhlopříček $p = AC$ a $q = BD$ lze vyjádřit z hlediska stran jako^[8]^:str.25,^[15]^[16]^{:p. 84}

{ displaystyle p = { sqrt { frac {(ac + bd) (reklama + bc)} {ab + cd}}}}

a

{ displaystyle q = { sqrt { frac {(ac + bd) (ab + cd)} {reklama + bc}}}}

tak ukazuje Ptolemaiova věta

{ displaystyle pq = ac + bd.}

Podle Ptolemaiova druhá věta,^[8]^:str.25,^[15]

{ displaystyle { frac {p} {q}} = { frac {reklama + bc} {ab + cd}}}

pomocí stejných notací jako výše.

Pro součet úhlopříček máme nerovnost^[17]^{:str.123, # 2975}

{ displaystyle p + q geq 2 { sqrt {ac + bd}}.}

Rovnost platí kdyby a jen kdyby úhlopříčky mají stejnou délku, což lze prokázat pomocí Nerovnost AM-GM.

Navíc,^[17]^{:64, # 1639}

{ displaystyle (p + q) ^ {2} leq (a + c) ^ {2} + (b + d) ^ {2}.}

V jakémkoli konvexním čtyřúhelníku rozdělují obě úhlopříčky čtyřúhelník na čtyři trojúhelníky; v cyklickém čtyřúhelníku jsou protilehlé páry těchto čtyř trojúhelníků podobný navzájem.

Li $M$ a $N$ jsou středy úhlopříček $AC$ a $BD$ , pak^[18]

{ displaystyle { frac {MN} {EF}} = { frac {1} {2}} vlevo | { frac {AC} {BD}} - { frac {BD} {AC}} vpravo |}

kde $E$ a $F$ jsou průsečíky prodloužení protilehlých stran.

Li $abeceda$ je cyklický čtyřúhelník, kde $AC$ splňuje $BD$ na $E$ , pak^[19]

{ displaystyle { frac {AE} {CE}} = { frac {AB} {CB}} cdot { frac {AD} {CD}}.}

Sada stran, které mohou tvořit cyklický čtyřúhelník, může být uspořádána do kterékoli ze tří odlišných sekvencí, z nichž každá může tvořit cyklický čtyřúhelník stejné oblasti ve stejném obvodu (stejné oblasti jsou podle Brahmaguptova vzorce plochy). Jakékoli dva z těchto cyklických čtyřúhelníků mají společnou jednu délku úhlopříčky.^[16]^{:p. 84}

Úhlové vzorce

Pro cyklický čtyřúhelník s po sobě jdoucími stranami $A$ , $b$ , $C$ , $d$ , semiperimetr $s$ a úhel $A$ mezi stranami $A$ a $d$ , trigonometrické funkce z $A$ jsou dány^[20]

{ displaystyle cos A = { frac {a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2}} {2 (reklama + bc)}},}

{ displaystyle sin A = { frac {2 { sqrt {(s-a) (s-b) (s-c) (s-d)}}} {(reklama + bc)}},}

{ displaystyle tan { frac {A} {2}} = { sqrt { frac {(s-a) (s-d)} {(s-b) (s-c)}}}.}

Úhel $θ$ mezi úhlopříčkami vyhovuje^[8]^:str.26

{ displaystyle tan { frac { theta} {2}} = { sqrt { frac {(s-b) (s-d)} {(s-a) (s-c)}}}}

Pokud rozšíření protilehlých stran $A$ a $C$ protínají se pod úhlem $φ$ , pak

{ displaystyle cos { frac { varphi} {2}} = { sqrt { frac {(sb) (sd) (b + d) ^ {2}} {(ab + cd) (reklama + bc )}}}}

kde $s$ je semiperimetr.^[8]^:str.31

Parameshvarův obvodový vzorec

Cyklický čtyřúhelník s po sobě jdoucími stranami $A$ , $b$ , $C$ , $d$ a semiperimetr $s$ má circumradius ( poloměr z obvod ) dána^[15]^[21]

{ displaystyle R = { frac {1} {4}} { sqrt { frac {(ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)} {(sa) (sb) (sc) (sd )}}}.}

To odvodil indický matematik Vatasseri Parameshvara v 15. století.

Použitím Brahmaguptův vzorec, Parameshvarův vzorec lze přepracovat jako

{ displaystyle 4KR = { sqrt {(ab + cd) (ac + bd) (reklama + bc)}}}

kde $K.$ je oblast cyklického čtyřúhelníku.

Anticentrum a kolineárnosti

Čtyři úsečky, každý kolmý na jednu stranu cyklického čtyřúhelníku a procházející protilehlou stranou střed, jsou souběžně.^[22]^{:str. 131;}^[23] Tyto úsečky se nazývají maltitudes,^[24] což je zkratka pro středovou nadmořskou výšku. Jejich společný bod se nazývá anticenter. Má tu vlastnost, že je odrazem circumcenter v "vrchol těžiště". V cyklickém čtyřúhelníku jsou tedy circumcenter, „těžiště vrcholů“ a anticentrum kolineární.^[23]

Pokud se úhlopříčky cyklického čtyřúhelníku protínají v $P$ a střední body úhlopříček jsou $M$ a $N$ , pak je antienterent čtyřúhelníku ortocentrum z trojúhelník $MNP$ .

Další vlastnosti

Japonská věta

V cyklickém čtyřúhelníku $abeceda$ , stimulátory M₁, M₂, M₃, M₄ (viz obrázek vpravo) v trojúhelníky $DAB$ , $ABC$ , $BCD$ , a $CDA$ jsou vrcholy a obdélník. Toto je jedna z vět známých jako Japonská věta. The ortocentra stejných čtyř trojúhelníků jsou vrcholy čtyřúhelníku shodný na $abeceda$ a centroidy v těchto čtyřech trojúhelnících jsou vrcholy jiného cyklického čtyřúhelníku.^[6]
V cyklickém čtyřúhelníku $abeceda$ s cirkumcentrem $Ó$ , nechť $P$ být bodem, kde jsou úhlopříčky $AC$ a $BD$ protínají. Pak úhel $APB$ je aritmetický průměr úhlů $AOB$ a $TRESKA$ . To je přímý důsledek věta o vepsaném úhlu a teorém o vnějším úhlu.
Neexistují cyklické čtyřstěny s racionální oblastí a s nerovnými racionálními stranami v obou aritmetický nebo geometrický průběh.^[25]

Pokud má cyklický čtyřúhelník boční délky, které tvoří aritmetický postup čtyřúhelník je také ex-bicentrický.
Pokud jsou protilehlé strany cyklického čtyřúhelníku prodlouženy, aby se setkaly v $E$ a $F$ , pak interní úhlové přímky úhlů v $E$ a $F$ jsou kolmé.^[12]

Brahmagupta čtyřúhelníky

A Brahmagupta čtyřúhelník^[26] je cyklický čtyřúhelník s celočíselnými stranami, celočíselnými úhlopříčkami a celočíselnou oblastí. Všechny čtyřúhelníky Brahmagupta se stranami $A$ , $b$ , $C$ , $d$ , úhlopříčky $E$ , $F$ , plocha $K.$ a circumradius $R$ lze získat pomocí zúčtovací jmenovatelé z následujících výrazů zahrnujících racionální parametry $t$ , $u$ , a $proti$ :

{ displaystyle a = [t (u + v) + (1-uv)] [u + v-t (1-uv)]}

{ displaystyle b = (1 + u ^ {2}) (v-t) (1 + tv)}

{ displaystyle c = t (1 + u ^ {2}) (1 + v ^ {2})}

{ displaystyle d = (1 + v ^ {2}) (u-t) (1 + tu)}

{ displaystyle e = u (1 + t ^ {2}) (1 + v ^ {2})}

{ displaystyle f = v (1 + t ^ {2}) (1 + u ^ {2})}

{ displaystyle K = uv [2t (1-uv) - (u + v) (1-t ^ {2})] [2 (u + v) t + (1-uv) (1-t ^ {2} )]}}

{ displaystyle 4R = (1 + u ^ {2}) (1 + v ^ {2}) (1 + t ^ {2}).}

Ortodiagonální případ

Circumradius a oblast

Pro cyklický čtyřúhelník to také je ortodiagonální (má kolmé úhlopříčky), předpokládejme, že průsečík úhlopříček rozdělí jednu úhlopříčku na segmenty délek $p 1$ a $p 2$ a rozděluje druhou úhlopříčku na segmenty délek $q 1$ a $q 2$ . Pak^[27] (první rovnost je Proposition 11 in Archimedes ' Kniha lemmatů )

{ displaystyle D ^ {2} = p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2} = a ^ {2} + c ^ {2} = b ^ {2} + d ^ {2}}

kde $D$ je průměr z obvod. To platí, protože úhlopříčky jsou kolmé akordy kruhu. Tyto rovnice naznačují, že circumradius $R$ lze vyjádřit jako

{ displaystyle R = { tfrac {1} {2}} { sqrt {p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2}}}}

nebo, pokud jde o strany čtyřúhelníku, jako^[22]

{ displaystyle R = { tfrac {1} {2}} { sqrt {a ^ {2} + c ^ {2}}} = { tfrac {1} {2}} { sqrt {b ^ { 2} + d ^ {2}}}.}

Z toho také vyplývá^[22]

{ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = 8R ^ {2}.}

Tedy podle Eulerova čtyřstranná věta, lze poloměr vyjádřit úhlopříčkami $p$ a $q$ a vzdálenost $X$ mezi středy úhlopříček jako

{ displaystyle R = { sqrt { frac {p ^ {2} + q ^ {2} + 4x ^ {2}} {8}}}.}

Vzorec pro plocha $K.$ cyklického ortodiagonálního čtyřúhelníku, pokud jde o čtyři strany, se získá přímo při kombinaci Ptolemaiova věta a vzorec pro plocha ortodiagonálního čtyřúhelníku. Výsledek je^[28]^{:str. 222}

{ displaystyle K = { tfrac {1} {2}} (ac + bd).}

Další vlastnosti

V cyklickém ortodiagonálním čtyřúhelníku je anticenter se shoduje s bodem, kde se protínají úhlopříčky.^[22]
Brahmaguptova věta uvádí, že pro cyklický čtyřúhelník to je také ortodiagonální, kolmá z kterékoli strany na průsečík úhlopříček protíná protilehlou stranu.^[22]
Pokud je cyklický čtyřúhelník také ortodiagonální, vzdálenost od circumcenter na kteroukoli stranu se rovná polovině délky opačné strany.^[22]
V cyklickém ortodiagonálním čtyřúhelníku se vzdálenost mezi středy diagonál rovná vzdálenosti mezi circumcenterem a bodem, kde se diagonály protínají.^[22]

Cyklické sférické čtyřstěny

v sférická geometrie, sférický čtyřúhelník vytvořený ze čtyř protínajících se větších kruhů je cyklický právě tehdy, když jsou součty opačných úhlů stejné, tj. α + γ = β + δ pro po sobě jdoucí úhly čtyřúhelníku α, β, γ, δ.^[29] Jeden směr této věty prokázal I. A. Lexell v roce 1786. Lexell^[30] ukázal, že v kulovém čtyřúhelníku zapsaném do malého kruhu koule jsou součty opačných úhlů stejné a že v popsaném čtyřúhelníku jsou součty protilehlých stran stejné. První z těchto vět je sférický analog rovinné věty a druhá věta je jeho dvojí, tj. Výsledek záměny velkých kruhů a jejich pólů.^[31] Kiper a kol.^[32] prokázal obrácení věty: Pokud jsou součty opačných stran ve sférickém čtyřúhelníku stejné, existuje pro tento čtyřúhelník kruh pro psaní.

Viz také

Reference

^ ^A ^b Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), "10. Cyklické čtyřstěny", Klasifikace čtyřúhelníků: Studie definice„Výzkum matematického vzdělávání, IAP, s. 63–65, ISBN 978-1-59311-695-8
^ ^A ^b ^C ^d Fraivert, David; Sigler, Avi; Stupel, Moshe (2020), „Nezbytné a dostatečné vlastnosti pro cyklický čtyřúhelník“, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 51 (6): 913–938, doi:10.1080 / 0020739X.2019.1683772, S2CID 209930435
^ Joyce, D. E. (červen 1997), „Book 3, Proposition 22“, Euklidovy prvky, Clarkova univerzita
^ Gregory, Duncan (1836), „Geometrická věta“, Cambridge Mathematical Journal, 1: 92.
^ Hajja, Mowaffaq (2008), "Podmínka cyklického omezitelného čtyřúhelníku" (PDF), Fórum Geometricorum, 8: 103–6
^ ^A ^b Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004), „2.3 Cyklické čtyřkolky“, Poklady matematické olympiády, Springer, str.44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8, PAN 2025063
^ Bradley, Christopher J. (2007), Algebra geometrie: kartézské, plošné a projektivní souřadnice, Highperception, str. 179, ISBN 978-1906338008, OCLC 213434422
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ Durell, C. V .; Robson, A. (2003) [1930], Pokročilá trigonometrie, Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8
^ Fraivert, David (červenec 2019). "Nové body, které patří do devítibodového kruhu". Matematický věstník. 103 (557): 222–232. doi:10.1017 / mag.2019.53.
^ Fraivert, David (2018). "Nové aplikace metody komplexních čísel v geometrii cyklických čtyřúhelníků" (PDF). International Journal of Geometry. 7 (1): 5–16.
^ Peter, Thomas (září 2003), „Maximalizace plochy čtyřúhelníku“, The College Mathematics Journal, 34 (4): 315–6, doi:10.2307/3595770, JSTOR 3595770
^ ^A ^b Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. (1967), „3.2 Cyklické čtyřúhelníky; Brahmaguptův vzorec“, Geometrie Revisited, Mathematical Association of America, str. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
^ Prasolov, Viktor, Problémy v rovině a objemové geometrii: v.1 Rovinná geometrie (PDF), archivovány z originál (PDF) 21. září 2018, vyvoláno 6. listopadu 2011
^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009), „4.3 Cyklické, tangenciální a bicentrické čtyřúhelníky“, Když je méně více: Vizualizace základních nerovností, Mathematical Association of America, str. 64, ISBN 978-0-88385-342-9
^ ^A ^b ^C Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), „Na úhlopříčkách cyklického čtyřúhelníku“ (PDF), Fórum Geometricorum, 7: 147–9
^ ^A ^b Johnson, Roger A., Pokročilá euklidovská geometrie, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
^ ^A ^b Nerovnosti navržené v „Crux Mathematicorum ", 2007, [1].
^ "abeceda je cyklický čtyřúhelník. Nechat M, N být středy úhlopříček AC, BD respektive ... " Umění řešení problémů. 2010.
^ A. Bogomolny, Identita v (cyklických) čtyřúhelnících, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles,[2], Zpřístupněno 18. března 2014.
^ Siddons, A. W .; Hughes, R. T. (1929), Trigonometrie, Cambridge University Press, str. 202, OCLC 429528983
^ Hoehn, Larry (březen 2000), „Circumradius cyklického čtyřúhelníku“, Matematický věstník, 84 (499): 69–70, doi:10.2307/3621477, JSTOR 3621477
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2. vyd.), Courier Dover, s. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC 78063045
^ ^A ^b Honsberger, Ross (1995), „4.2 Cyklické čtyřstěny“, Epizody v euklidovské geometrii devatenáctého a dvacátého století, Nová matematická knihovna, 37, Cambridge University Press, s. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
^ Weisstein, Eric W. „Maltitude“. MathWorld.
^ Buchholz, R. H .; MacDougall, J. A. (1999), „Heron čtyřúhelníky se stranami v aritmetické nebo geometrické posloupnosti“, Bulletin of Australian Mathematical Society, 59 (2): 263–9, doi:10.1017 / S0004972700032883, PAN 1680787
^ Sastry, K.R.S. (2002). „Brahmagupta quadrilaterals“ (PDF). Fórum Geometricorum. 2: 167–173.
^ Posamentier, Alfred S .; Salkind, Charles T. (1970), „Řešení: 4–23 Dokažte, že součet čtverců měr segmentů vytvořených dvěma kolmými akordy se rovná čtverci míry měrky průměru dané kružnice.“, Náročné problémy v geometrii (2. vyd.), Courier Dover, str.104–5, ISBN 978-0-486-69154-1
^ Josefsson, Martin (2016), „Vlastnosti pythagorovských čtyřúhelníků“, Matematický věstník, 100 (Červenec): 213–224, doi:10.1017 / mag.2016.57.
^ Wimmer, Lienhard (2011). „Cyklické polygony v neeuklidovské geometrii“. Elemente der Mathematik. 66 (2): 74–82. doi:10,4171 / EM / 173.
^ Lexell, A. J. (1786). „De proprietatibus cirklorum in superficie sphaerica descriptorum“. Acta Acad. Sci. Petropol. 6 (1): 58–103.
^ Rosenfeld, B. A. (1988). Historie neeuklidovské geometrie - Springer. Studie z dějin matematiky a fyzikálních věd. 12. doi:10.1007/978-1-4419-8680-1. ISBN 978-1-4612-6449-1.
^ Kiper, Gökhan; Söylemez, Eres (1. května 2012). "Homotetické spojení podobné jitterbugům". Mechanismus a teorie strojů. 51: 145–158. doi:10.1016 / j.mechmachtheory.2011.11.014.

Další čtení

D. Fraivert: Čtyřúhelníky v Pascalových bodech zapsané do cyklického čtyřúhelníku

externí odkazy

[Usiskin-1] A ^b Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), "10. Cyklické čtyřstěny", Klasifikace čtyřúhelníků: Studie definice„Výzkum matematického vzdělávání, IAP, s. 63–65, ISBN 978-1-59311-695-8

[Fraivert-2] A ^b ^C ^d Fraivert, David; Sigler, Avi; Stupel, Moshe (2020), „Nezbytné a dostatečné vlastnosti pro cyklický čtyřúhelník“, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 51 (6): 913–938, doi:10.1080 / 0020739X.2019.1683772, S2CID 209930435

[3] Joyce, D. E. (červen 1997), „Book 3, Proposition 22“, Euklidovy prvky, Clarkova univerzita

[4] Gregory, Duncan (1836), „Geometrická věta“, Cambridge Mathematical Journal, 1: 92.

[5] Hajja, Mowaffaq (2008), "Podmínka cyklického omezitelného čtyřúhelníku" (PDF), Fórum Geometricorum, 8: 103–6

[Andreescu-6] A ^b Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004), „2.3 Cyklické čtyřkolky“, Poklady matematické olympiády, Springer, str.44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8, PAN 2025063

[7] Bradley, Christopher J. (2007), Algebra geometrie: kartézské, plošné a projektivní souřadnice, Highperception, str. 179, ISBN 978-1906338008, OCLC 213434422

[Durell-8] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ Durell, C. V .; Robson, A. (2003) [1930], Pokročilá trigonometrie, Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8

[9] Fraivert, David (červenec 2019). "Nové body, které patří do devítibodového kruhu". Matematický věstník. 103 (557): 222–232. doi:10.1017 / mag.2019.53.

[10] Fraivert, David (2018). "Nové aplikace metody komplexních čísel v geometrii cyklických čtyřúhelníků" (PDF). International Journal of Geometry. 7 (1): 5–16.

[11] Peter, Thomas (září 2003), „Maximalizace plochy čtyřúhelníku“, The College Mathematics Journal, 34 (4): 315–6, doi:10.2307/3595770, JSTOR 3595770

[Coxeter-12] A ^b Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. (1967), „3.2 Cyklické čtyřúhelníky; Brahmaguptův vzorec“, Geometrie Revisited, Mathematical Association of America, str. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2

[13] Prasolov, Viktor, Problémy v rovině a objemové geometrii: v.1 Rovinná geometrie (PDF), archivovány z originál (PDF) 21. září 2018, vyvoláno 6. listopadu 2011

[Alsina-14] Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009), „4.3 Cyklické, tangenciální a bicentrické čtyřúhelníky“, Když je méně více: Vizualizace základních nerovností, Mathematical Association of America, str. 64, ISBN 978-0-88385-342-9

[Alsina2-15] A ^b ^C Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), „Na úhlopříčkách cyklického čtyřúhelníku“ (PDF), Fórum Geometricorum, 7: 147–9

[Johnson-16] A ^b Johnson, Roger A., Pokročilá euklidovská geometrie, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).

[Crux-17] A ^b Nerovnosti navržené v „Crux Mathematicorum ", 2007, [1].

[18] "abeceda je cyklický čtyřúhelník. Nechat M, N být středy úhlopříček AC, BD respektive ... " Umění řešení problémů. 2010.

[19] A. Bogomolny, Identita v (cyklických) čtyřúhelnících, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles,[2], Zpřístupněno 18. března 2014.

[20] Siddons, A. W .; Hughes, R. T. (1929), Trigonometrie, Cambridge University Press, str. 202, OCLC 429528983

[21] Hoehn, Larry (březen 2000), „Circumradius cyklického čtyřúhelníku“, Matematický věstník, 84 (499): 69–70, doi:10.2307/3621477, JSTOR 3621477

[Altshiller-Court-22] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2. vyd.), Courier Dover, s. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC 78063045

[Honsberger-23] A ^b Honsberger, Ross (1995), „4.2 Cyklické čtyřstěny“, Epizody v euklidovské geometrii devatenáctého a dvacátého století, Nová matematická knihovna, 37, Cambridge University Press, s. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0

[24] Weisstein, Eric W. „Maltitude“. MathWorld.

[Buchholz-25] Buchholz, R. H .; MacDougall, J. A. (1999), „Heron čtyřúhelníky se stranami v aritmetické nebo geometrické posloupnosti“, Bulletin of Australian Mathematical Society, 59 (2): 263–9, doi:10.1017 / S0004972700032883, PAN 1680787

[26] Sastry, K.R.S. (2002). „Brahmagupta quadrilaterals“ (PDF). Fórum Geometricorum. 2: 167–173.

[27] Posamentier, Alfred S .; Salkind, Charles T. (1970), „Řešení: 4–23 Dokažte, že součet čtverců měr segmentů vytvořených dvěma kolmými akordy se rovná čtverci míry měrky průměru dané kružnice.“, Náročné problémy v geometrii (2. vyd.), Courier Dover, str.104–5, ISBN 978-0-486-69154-1

[28] Josefsson, Martin (2016), „Vlastnosti pythagorovských čtyřúhelníků“, Matematický věstník, 100 (Červenec): 213–224, doi:10.1017 / mag.2016.57.

[29] Wimmer, Lienhard (2011). „Cyklické polygony v neeuklidovské geometrii“. Elemente der Mathematik. 66 (2): 74–82. doi:10,4171 / EM / 173.

[30] Lexell, A. J. (1786). „De proprietatibus cirklorum in superficie sphaerica descriptorum“. Acta Acad. Sci. Petropol. 6 (1): 58–103.

[31] Rosenfeld, B. A. (1988). Historie neeuklidovské geometrie - Springer. Studie z dějin matematiky a fyzikálních věd. 12. doi:10.1007/978-1-4419-8680-1. ISBN 978-1-4612-6449-1.

[32] Kiper, Gökhan; Söylemez, Eres (1. května 2012). "Homotetické spojení podobné jitterbugům". Mechanismus a teorie strojů. 51: 145–158. doi:10.1016 / j.mechmachtheory.2011.11.014.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]