Konstruktivní polygon - Constructible polygon
V matematice, a konstruovatelný mnohoúhelník je pravidelný mnohoúhelník to může být konstruováno s kompasem a pravítkem. Například obyčejný Pentagon je konstruovatelný s kompasem a pravítkem, zatímco je běžný sedmiúhelník není. Existuje nekonečně mnoho konstruktivních polygonů, ale je známo pouze 31 s lichým počtem stran.
Podmínky konstruovatelnosti
Některé pravidelné mnohoúhelníky lze snadno sestavit pomocí kompasu a pravítka; ostatní nejsou. The starořečtí matematici věděl, jak sestrojit pravidelný mnohoúhelník se 3, 4 nebo 5 stranami,[1]:p. xi a věděli, jak sestrojit regulární polygon s dvojnásobným počtem stran daného regulárního polygonu.[1]:str. 49–50 To vedlo k položení otázky: je možné postavit Všechno pravidelné mnohoúhelníky s kompasem a pravítkem? Pokud ne, tak n-gony (to jsou polygony s n hrany) jsou konstruovatelné a které ne?
Carl Friedrich Gauss prokázal konstruktivitu pravidelného 17-gon v roce 1796. O pět let později vyvinul teorii Gaussovské období v jeho Disquisitiones Arithmeticae. Tato teorie mu umožnila formulovat a dostatečný stav pro konstruovatelnost pravidelných mnohoúhelníků. Gauss bez důkazu uvedl, že tato podmínka také byla nutné, ale nikdy nezveřejnil svůj důkaz. Úplný důkaz nutnosti poskytl Pierre Wantzel v roce 1837. Výsledek je znám jako Gauss – Wantzelova věta:
- Pravidelný n-gon (tj. mnohoúhelník s n strany) mohou být konstruovány kompasem a pravítkem tehdy a jen tehdy n je produktem síly 2 a libovolného počtu odlišných Fermat připraví (včetně žádného).
(Fermat prime je a prvočíslo formuláře )
Aby se geometrický problém zmenšil na problém čistého teorie čísel, důkaz používá skutečnost, že pravidelný n-gon je konstruovatelný právě tehdy, když kosinus, , je konstruovatelné číslo —To je, lze napsat ve smyslu čtyř základních aritmetických operací a extrakce druhé odmocniny. Ekvivalentně pravidelný n-gon je konstruovatelný, pokud existuje vykořenit z nth cyklotomický polynom je konstruovatelný.
Podrobné výsledky Gaussovy teorie
Přeformulování Gauss-Wantzelovy věty:
- Pravidelný n-gon je konstruovatelný s přímkou a kompasem tehdy a jen tehdy n = 2kstr1str2...strt kde k a t jsou nezáporná celá čísla a stri(když t > 0) jsou odlišné Fermatovy prvočísla.
Těch pět známých Fermat připraví jsou:
Protože existuje 31 kombinací kdekoli od jednoho do pěti Fermatových prvočísel, existuje 31 známých konstruovatelných polygonů s lichým počtem stran.
Dalších osmadvacet Fermatových čísel, F5 přes F32, je známo, že jsou kompozitní.[2]
Tak pravidelný n-gon je konstruovatelný, pokud
- n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960, 1020, 1024, 1028, 1088, 1280, 1285, 1360, 1536, 1542 , 1632, 1920, 2040, 2048, ... (sekvence A003401 v OEIS ),
zatímco obyčejný n-gon není konstruovatelný pomocí kompasu a pravítka, pokud
- n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99, 100, 101, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127 , ... (sekvence A004169 v OEIS ).
Spojení s Pascalovým trojúhelníkem
Jelikož existuje 5 známých Fermatových prvočísel, víme o 31 číslech, která jsou produkty odlišných Fermatových prvočísel, a tedy 31 konstruovatelných lichých pravidelných mnohoúhelníků. Jedná se o 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295 (sekvence A045544 v OEIS ). Jak komentoval John Conway Kniha čísel, tato čísla, jsou-li zapsána binárně, se rovnají prvním 32 řádkům znaku modulo -2 Pascalův trojúhelník, minus horní řádek, což odpovídá a monogon. (Z tohoto důvodu tvoří jedničky v takovém seznamu přibližnou hodnotu k Sierpińského trojúhelník.) Tento vzor se poté rozpadne, protože další číslo Fermat je složené (4294967297 = 641 × 6700417), takže následující řádky neodpovídají konstruovatelným polygonům. Není známo, zda ještě existují Fermatovy prvočísla, a proto není známo, kolik lichých jednostranných konstruovatelných pravidelných polygonů existuje. Obecně platí, že pokud existují q Fermat prvočísla, pak jsou 2q−1 liché jednostranné pravidelné konstruovatelné polygony.
Obecná teorie
Ve světle pozdějších prací Galoisova teorie, byly objasněny zásady těchto důkazů. Je přímé ukázat z analytická geometrie že konstruovatelné délky musí pocházet ze základních délek řešením nějaké posloupnosti kvadratické rovnice.[3] Ve smyslu teorie pole, takové délky musí být obsaženy v rozšíření pole generovaném věží z kvadratické rozšíření. Z toho vyplývá, že pole generované konstrukcemi bude mít vždy stupeň nad základním polem, což je síla dvou.
V konkrétním případě pravidelného n-gon, otázka se redukuje na otázku konstrukci délky
- cos 2π/n ,
což je trigonometrické číslo a tedy algebraické číslo. Toto číslo leží v n-th cyklotomické pole - a ve skutečnosti v jeho skutečném podpole, což je a úplně skutečné pole a a Racionální vektorový prostor z dimenze
- ½φ (n),
kde φ (n) je Eulerova totientová funkce. Výsledek Wantzela sestává z výpočtu, který ukazuje, že φ (n) je mocninou 2 přesně v uvedených případech.
Pokud jde o konstrukci Gauss, když je skupina Galois 2-skupina, vyplývá z toho, že má posloupnost podskupin objednávek
- 1, 2, 4, 8, ...
které jsou vnořené, každý v dalším (a kompoziční série, v teorie skupin podmínky), něco jednoduchého k prokázání indukcí v tomto případě abelianská skupina. Proto jsou uvnitř cyklotomického pole vnořená podpole, každé druhého stupně nad předcházejícím. Generátory pro každé takové pole lze zapsat pomocí Gaussovské období teorie. Například pro n = 17 existuje období, které je součtem osmi kořenů jednoty, jeden, který je součtem čtyř kořenů jednoty, a jeden, který je součtem dvou, což je
- cos 2π/17 .
Každý z nich je kořenem a kvadratická rovnice pokud jde o předchozí. Tyto rovnice navíc mají nemovitý spíše než komplex kořeny, takže v zásadě lze vyřešit geometrickou konstrukcí: je to proto, že vše probíhá uvnitř zcela reálného pole.
Tímto způsobem lze v současné době chápat výsledek Gauss; pro skutečný výpočet rovnic, které mají být vyřešeny, mohou být periody čtvercově porovnány s „nižšími“ periody docela proveditelným algoritmem.
Stavby kompasů a pravítek
Stavby kompasů a pravítek jsou známé pro všechny známé konstruovatelné polygony. Li n = str·q s str = 2 nebo str a q coprime, an n-gon může být sestaven z a str-gon a a q-gon.
- Li str = 2, nakreslete a q-gon a půlit jeden z jeho středových úhlů. Z toho 2q-gon může být sestaven.
- Li str > 2, zapište a str-gon a a q-gon ve stejném kruhu takovým způsobem, že sdílejí vrchol. Protože str a q jsou relativně prvotřídní, existují celá čísla A,b takhle ap + bq = 1. Pak 2aπ / q + 2bπ / p = 2π / pq. Z toho, a str·q-gon může být sestaven.
Stačí tedy najít konstrukci kompasu a pravítka n-gons kde n je Fermat prime.
- Konstrukce rovnostranného trojúhelníku je jednoduchá a od té doby je známá Starověk. Vidět rovnostranný trojúhelník.
- Konstrukce pro pravidelný pětiúhelník byly popsány oběma Euklid (Elementy, asi 300 př. nl) a dále Ptolemaios (Almagest, přibližně 150 nl). Vidět Pentagon.
- Ačkoli Gauss dokázal že běžný 17-gon je konstruovatelný, ve skutečnosti ne ukázat jak to udělat. Za první stavbu stojí Erchinger, několik let po Gaussově práci. Vidět heptadekagon.
- První explicitní konstrukce regulárního 257-gon byly dány Magnus Georg Paucker (1822)[4] a Friedrich Julius Richelot (1832).[5]
- Konstrukce pro obyčejné 65537-gon byl poprvé dán Johann Gustav Hermes (1894). Stavba je velmi složitá; Hermes strávil 10 let dokončováním 200stránkového rukopisu.[6]
Galerie
Zleva doprava, stavby a 15-gon, 17-gon, 257-gon a 65537-gon. Je ukázána pouze první fáze konstrukce 65537-gon; konstrukce 15-gon, 17-gon a 257-gon jsou uvedeny kompletní.
Ostatní stavby
Koncept konstruktivity popsaný v tomto článku platí konkrétně pro kompas a pravítko konstrukce. Další konstrukce jsou možné, pokud jsou povoleny jiné nástroje. Takzvaný konstrukce neusis například využít a výrazný pravítko. Konstrukce jsou matematickou idealizací a předpokládá se, že jsou provedeny přesně.
Pravidelný mnohoúhelník s n strany lze zkonstruovat pomocí pravítka, kompasu a úhlového trisektoru tehdy a jen tehdy kde r, s, k ≥ 0 a kde stri jsou odlišné Pierpont připravuje větší než 3 (prvočísla formuláře [7]:Thm. 2
Viz také
Reference
- ^ A b Bold, Benjamin. Slavné problémy geometrie a jak je řešit, Dover Publications, 1982 (orig. 1969).
- ^ Fermatův faktoringový stav Archivováno 2016-02-10 na Wayback Machine Wilfrid Keller.
- ^ Cox, David A. (2012), „Theorem 10.1.6“, Galoisova teorie, Pure and Applied Mathematics (2. vyd.), John Wiley & Sons, str. 259, doi:10.1002/9781118218457, ISBN 978-1-118-07205-9.
- ^ Magnus Georg Paucker (1822). „Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundersiebenundfünfzig-Ecks in den Kreis“. Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (v němčině). 2: 160–219.
- ^ Friedrich Julius Richelot (1832). "De Resolutione algebraica aequationis x257 = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata ". Journal für die reine und angewandte Mathematik (v latině). 9: 1–26, 146–161, 209–230, 337–358. doi:10,1515 / crll.1832.9.337.
- ^ Johann Gustav Hermes (1894). „Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile“. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (v němčině). Göttingen. 3: 170–186.
- ^ Gleason, Andrew M. (Březen 1988). "Úhlová trisekce, sedmiúhelník a triskaidekagon". Americký matematický měsíčník. 95 (3): 185–194. doi:10.2307/2323624.
externí odkazy
- Duane W. DeTemple (1991). „Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygonal Constructions“. Americký matematický měsíčník. 98 (2): 97–108. doi:10.2307/2323939. JSTOR 2323939. PAN 1089454.
- Christian Gottlieb (1999). „Jednoduchá a přímá konstrukce pravidelného 257 gonu“. Matematický zpravodaj. 21 (1): 31–37. doi:10.1007 / BF03024829. PAN 1665155.
- Pravidelné mnohoúhelníkové vzorce, Zeptejte se Dr. Math FAQ.
- Carl Schick: Weiche Primzahlen und das 257-Eck: eine analytische Lösung des 257-Ecks. Zürich: C. Schick, 2008. ISBN 978-3-9522917-1-9.
- 65537 gon, přesná konstrukce pro 1. stranu, za použití Quadratrix Hippias a GeoGebra jako další pomůcky se stručným popisem (německy)